fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Solução O elemento de força
dF
r sobre um segmento do fio dl
r é:
r r r
dF = i dl × B
EXEMPLO 28.4
Considere o Exemplo 28.3 mas com o fio na forma de uma semicircunferência
fechada em seu diâmetro, com o campo magnético situado no plano do arco,
conforme a figura 28.9.
Ele está no plano xy e tem a direção radial como indicado na figura, porque é
perpendicular ao segmento do fio (que está no plano xy) e ao vetor indução
magnética (que coincide com o eixo Oz).
A força total pode ser obtida escrevendo-se a expressão de
fazendo a integração de 0 a π . Ou seja, sabendo que:
r
dl
= −d l sinθ iˆ
+ d l cosθ
ˆj
,
dF
r em termos de θ , e
com dl = R dθ e B = B kˆ
, temos:
r r r
dF
= i dl × B = ( −i
R sinθ
dθ
iˆ
+ i R cosθ
dθ
ˆ) j × B kˆ
Figura 28.9: arco no plano do campo magnético.
SOLUÇÃO: A força sobre a parte retilínea do fio condutor tem o módulo
tal que:
r
dF
= i R Bcosθ dθ
iˆ
+ iRBsinθdθˆj
F = i l B = i (2 R)
B 2i
R B
1
=
Podemos agora integrar sobre θ e obter:
r
π
π
F = i R Biˆ
∫ cosθ
dθ
+ i R B ˆj
∫ sinθ
dθ
0
0
r
π
π
F i R B ˆj
sinθ
dθ
= iRB[ − cosθ
] ˆj
∫
=
0
0
que é igual:
r
F = 2 i R B ˆj
l 2R
pois = e o fio está perpendicular ao campo. A direção de F r 1 é para a frente
r r
da página pois l × B está dirigido para a frente da página (saindo dela),
(lembre-se que o produto vetorial é feito levando o primeiro vetor na direção do
segundo, sempre pelo menor ângulo formado pelos dois).
Para encontrar a força sobre a parte encurvada do condutor devemos,
inicialmente, encontrar uma expressão para o diferencial da força num segmento
dl . Se θ for o ângulo entre B e dl então o módulo de dF
2
é:
r r
dF = i | dl × B |= i B sinθ
dl
2
ATIVIDADE 28.3
No exemplo anterior, qual é o módulo, direção e sentido da força magnética que
atua na meia circunferência se a corrente elétrica e o campo elétrico tiverem
sentidos opostos aos da Figura 28.8?
e, como dl = Rdθ
, vem que:
dF = i B sinθ
R d .
2
θ
Observe que a direção da força sobre qualquer elemento é a mesma: para trás da
395
396