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13.3 ENERGIA EM UM CAPACITOR
Figura 13.4: Superfície de Gauss cilíndrica em cabos coaxiais
O campo elétrico entre os fios que constituem o cabo coaxial é radial e tem sentido
do fio de raio menor para o fio de raio maior. Então, podemos aplicar a lei de
Gauss escolhendo uma superfície gaussiana cilíndrica, de raio r, concêntrica com o
eixo dos fios. Assim, para esta superfície, temos:
Q
∫ E r
• nˆ
dA =
ε
Para o comprimento L do cabo coaxial, a superfície de Gauss tem uma área lateral
que vale
A = 2π r L . Então:
Assim, o campo elétrico entre os fios é:
A diferença de potencial entre os fios é:
V −V
= −
a
b
a
∫b
r r
E • dl =
Q
E (2π
r L)
=
ε
0
Q
E =
2π
ε 0
L r
0
Q b dr Q
∫ =
2π ε L a
0
r 2π
ε
0
⎛ b ⎞
ln⎜
⎟
L ⎝ a ⎠
Para calcular a quantidade de energia armazenada em um capacitor, vamos utilizar
um capacitor de placas planas e paralelas mas o raciocínio pode ser estendido a um
capacitor qualquer, independentemente da forma e dos condutores que o
constituem.
Consideremos, então, um capacitor de placas planas e paralelas. Quando ele está
sendo carregado, há um acúmulo de cargas elétricas de um dado sinal em uma das
placas do capacitor, o que provoca a repulsão de cargas de mesmo sinal na outra
placa do capacitor. Esse acúmulo faz com que, em um determinado instante, cada
placa contenha a mesma carga q (em módulo).
Observe, no entanto que uma das placas conterá um excesso de cargas positivas e
a outra placa um excesso de cargas negativas, estabelecendo assim um campo
elétrico E v entre as placas do capacitor. A diferença de potencial entre as duas
placas é, então, V = q / C , sendo C a capacitância do capacitor.
Imagine, agora, que se queira acumular mais uma carga elementar positiva dq na
placa positiva. A diferença de potencial entre as placas fica aumentada. Esse
aumento é equivalente ao trabalho por unidade de carga que seria necessário para
transferir essa mesma carga elementar positiva dq da placa negativa para a placa
positiva do capacitor. Preste bem atenção na palavra “equivalente”, pois
durante o processo de carga do capacitor NÃO tem cargas atravessando de
um lado para outro. A razão é simples: se isso acontecesse, ele não
acumularia cargas, função principal de um capacitor. Enfim, o trabalho por
unidade de carga é armazenado no capacitor sob a forma de energia potencial
elétrica U , dada por:
A capacitância é, então:
Q
C =
V −V
a
b
2π ε
0
L
=
⎛ b ⎞
ln⎜
⎟
⎝ a ⎠
dU = V dq =
q
dq
C
A energia potencial armazenada quando o capacitor é carregado até ter uma carga
total Q é:
ATIVIDADE 13.3
Considere o capacitor de cabos coaxiais do Exemplo 13.3. O que acontece no limite
quando, b >> a ?
2
1 q 1 Q
U = dq
2
∫ =
C 2 C
Que também pode ser escrita em termos da diferença de potencial e da
capacitância:
216
217