fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

A figura 37.2 representa uma oscilação amortecida, com um período
T ´ = 2T
ω´
= 5,0 ou ω ´~ 1, 26; Y = 2, 8 e φ 0 , em unidades arbitrárias.
m
0 =
freqüência seja pequeno. Quando γ tem um valor de um décimo do valor
de ω
0 , a freqüência da oscilação é reduzida em meio por cento enquanto a
amplitude é reduzida em quarenta e sete por cento e a energia é reduzida
em setenta e dois por cento em cada oscilação completa.
EXEMPLO 37.1
Em determinado circuito RLC a energia é reduzida à metade em duas oscilações
completas. Qual a razão entre a constante de amortecimento, γ , e a freqüência
angular de oscilação, ω′ do circuito? Qual a razão entre a freqüência da oscilação
do circuito RLC e a freqüência do circuito LC correspondente?
SOLUÇÃO: A fração da energia eletromagnética dissipada como calor no resistor é
dada por:
E nT ′)
− E[(
n + 2) T ′]
=
= 1 − e
E(
nT ′)
∆ E ( −4γ
T′
E
1
= .
2
−γ
. t
Figura 37.2: Oscilação harmônica amortecida: y = Ym e cos( ω t + φ0)
, com ω ´~ 1, 26 ;
Y = 2,8 e φ 0
m
0 =
, em unidades arbitrárias.
A energia, nos momentos em que a corrente é nula, está totalmente contida
no campo elétrico do capacitor e é igual a:
E
q
2C
′
2
( nT′ ) = m −2nγ
T′
e . (37.11)
A energia no circuito diminui com o passar do tempo e é conveniente
calcular a fração da energia perdida em cada oscilação completa:
Isolando a função exponencial e tomando o logaritmo da expressão resultante e
recordando que T ′ = 2π ω′
, podemos encontrar:
A razão entre ω′ e ω 0 é dada por:
ω′
=
ω
0
γ ln[2]
= = 0,0276 .
ω′ 8π
ω′
2 2
ω′
+ γ
=
1
= 0,986 .
1 + 0,0276
Ou seja, a freqüência da oscilação amortecida é 1,34% menor que a da oscilação
não amortecida.
ATIVIDADE 37.1
∆
E
′ − +
E(
nT′
)
′
= 1 − e
E E(
nT ) E[(
n 1) T ]
−2γ
T ′
=
. (37.12)
Como vimos, a presença de uma resistência no circuito reduz a
frequência da oscilação e causa a diminuição da energia armazenada no
circuito. Quando γ é pequeno (resistência pequena), comparado com ω
0 , a
redução da energia pode ser apreciável, ainda que o efeito sobre o valor da
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Qual a variação relativa na frequência de oscilação de um circuito RLC, com
relação à frequência de oscilação do circuito LC correspondente, quando o valor de
γ é um centésimo do valor de ω
0 ? Que fração da energia inicial é dissipada como
calor no resistor em uma oscilação completa?
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