fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Vamos calcular a indução magnética em um ponto P do eixo de simetria e no
interior de um solenóide constituido por espiras circulares de raio a e comprimento
L. A figura 30.11 mostra a geometria do problema:
O resultado dessa integral é obtido com a mudança de variável
ou por consulta em uma tabela de integrais. Temos, então:
z = a tgθ
z2
r µ
0
i N 2 1 z µ
0
i N ⎡ z2
z1
B = a
= ⎢ −
2
2 L a
2 2
2 L
2 2 2 2
z + a
⎢
z
z
1 ⎣ 2
+ a z1
+ a
⎤ r
⎥ k.
⎥
⎦
fazer
Como o solenóide tem um comprimento muito maior que seu raio, podemos
z → + ∞ e z → −∞
, obtendo, então:
2
1
Figura 30.11: Geometria para calcular a indução magnética no eixo do solenóide.
r µ
0
i N
B = = µ
0
n i kˆ.
L
(30.2)
De acordo com a equação (30.1), a indução magnética no ponto P do eixo
do solenóide, gerado por uma espira situada à distância z do ponto P é, na notação
da figura 30.10 (não deixe de comparar esta figura com a figura 30.2 e compare
também esta equação com a equação 30.1):
A importância do solenóide está no fato de podermos obter induções
magnéticas bastante uniformes em regiões próximas a seu centro.
r
dB
2
µ
0
i a
2 2
2 ( z + a )
= 3/2
kˆ
Suponhamos que o solenóide tenha N espiras no seu comprimento L. Então,
o número de espiras por unidade de comprimento é n = N L e o número de espiras
no elemento de comprimento dz é ndz = ( N L)dz
. A indução magnética no ponto
P do eixo do solenóide, gerada pelas espiras contidas em dz, é:
r
dB
2
⎡ µ
0
i a
⎢ 2 2
⎣2(
z + a )
⎤ N ˆ µ
0
i N
⎥ dz k =
⎦ L 2 L ( z
2
a
2
+ a )
= 3/2
2 3/2
dz kˆ.
A indução devida a todas as espiras é a integral dessa expressão sobre todo
o comprimento do solenóide. Então:
r
0
i N
B =
µ a
2 L
2
z2
dz
∫ z 2 2
1 ( z + a )
3/2
kˆ.
438
439