fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

o vetor campo elétrico em P; então:
isto é:
r
E = E iˆ + E ˆj
+ E kˆ
x
y
r
E • ds
r = E dx( iˆ
• iˆ)
+ E dy ( ˆj
• ˆ) j + E dz ( kˆ
• kˆ)
x
r
E • ds
r = Ex dx + E
y
dy + E
y
z
z
z
dz
(12.3)
(12.4)
∂V
∂
=
∂x
∂x
( x
∂V
∂
=
∂y
∂y
( x
∂V
∂
=
∂z
∂z
( x
2
2
2
1
2 2
+ y + z )
1
2 2
+ y + z )
1
2 2
+ y + z )
1
2
1
2
1
2
=
=
=
1
2 2
( x
1
2 2
( x
1
2 2
( x
2 x
2 2
+ y + z )
2 y
2 2
+ y + z )
2 z
2 2
+ y + z )
3
2
3
2
3
2
=
( x
2
=
( x
=
( x
2
2
x
2 2
+ y + z )
y
2 2
+ y + z )
z
2 2
+ y + z )
3
2
3
2
3
2
Lembrando que:
∂V
∂V
∂V
dV = dx + dy + dz
(12.5)
∂x
∂y
∂z
o potencial V(x,y,z) pode ser escrito como:
∂V
∂V
∂V
V = ∫ dV = ∫ dx + dy + dz
(12.6)
∂x
∂y
∂z
Da equação (12-1), com as equações (12.5) e (12.6) vem, então, que:
∂V
∂V
∂V
dx + dy + dz = − ( Ex dx + E
y
dy + Ez
dz)
∂x
∂y
∂z
de onde tiramos:
∂V
∂V
∂V
E x
= − E y
= − E z
= −
(12.7)
∂ x
∂ y
∂ z
Das equações (12.7), temos:
E ∂V
x
= − = −
x
∂x
+
2 2 2
( x + y z
E ∂V
y
= − = −
y
∂y
+
2 2 2
( x + y z
E ∂V
z
= − = −
z
∂z
+
2 2 2
( x + y z
)
3
2
)
)
3
2
3
2
r r
Como:
= x iˆ + y j + z kˆ
, =
que:
r
r
( x + y + z ) e E = E iˆ + E j + E kˆ
, vem
1
2 2 2 2
r
r
r
r
r
Q x i + y j + z kˆ
Q
1 Q
E =
= =
3
3/ 2
2
4πε
2 2 2
0
2
( x + y + z ) 4πε
0
r 4πε
0
r r
x
y
z
que são as relações entre o potencial no ponto P e o campo elétrico neste ponto.
ou:
r 1 Q
E = rˆ
2
4πε 0
r
EXEMPLO 12.4
O potencial em um ponto P situado à distância r de uma carga Q que gera o
campo elétrico é:
Calcule o campo elétrico neste ponto.
V =
1
4πε
0
Q
r
EXEMPLO 12.5
O potencial elétrico de um dipolo, em um ponto P do espaço de coordenadas (x,y)
é:
1
V =
4π ε
0
r
p • rˆ
2
r
2 2 2 2
Solução: Temos que: r = ( x + y + z ) . Então:
1
em que o vetor rˆ é o unitário da direção que une o centro do dipolo ao ponto P
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