fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

temos, da Figura 29.3:
r
dl
dx iˆ
r
P
= 0iˆ
y ˆ
r
= ′
+
P
j
'= x′
iˆ
(lembre que
Então:
Então:
r ' é o vetor-posição de dl
r no sistema de coordenadas escolhido).
r − r ' = −x′
iˆ
+ y
P
r r r
dl
× ( −
') = dx′
iˆ
× [( −x′
) iˆ
+ y ˆ] j = y dx′
kˆ
P
onde o unitário kˆ tem a direção perpendicular à folha de papel e o sentido para
fora dela. Portanto:
r
B
O resultado da integral é:
r
dB
P
µ i y dx′
0
P
2 2
4π
[( x′
) + y ]
ˆj
= 3/2
P
r µ
0
i
dB = y
4π
P
kˆ
dx′
+ y
L / 2
= ∫
P
fio ∫−
L / 2 2 2 3/2
[( x′
)
P
]
P
kˆ
EXEMPLO 29.2
Campo gerado por um fio infinito
Solução: No caso do fio infinito, a integral do Exemplo 29.1 fica:
I
y
dx′
= ∫ + ∞
P
− ∞
2
− ′ + 2
[( x ) ]
3/2
P
x yP
Fazendo -u = xP − x′
vem d x′ = du e a integral fica:
Então:
+∞ du 1 u
I =
=
=
∫
2 2 2
2
[ u + y ] 1 y
−∞ 2 2 3/2 2
[ u + yP
] y
p
p
P
−∞
r
B
µ
0
i yP
2 µ i
× =
2
4π
y 2π
y
=
0
O módulo de B r varia com o inverso da distância ao fio e o vetor está no plano
perpendicular ao fio. A Figura 29.4 mostra as linhas de força do vetor B r . A
corrente, representada pelo ponto central, tem o sentido para fora da página.
P
P
kˆ
+∞
2
+ L 2
+ L / 2 dx′
1 x'
1 ⎡ L / 2
− L / 2 ⎤
∫ =
= ⎢
−
−L
/ 2 2 2 3/2 2
2
[( x′
) + y ] y
P
P
[( ) ( ) ] [ ] [ ] ⎥ ⎥
2 2 2
2
2 2 2
2 2 1/
x'
+ y
1 y ⎢⎣
+
1/
P ( L / 2) yP
( L / 2) + y
p
P ⎦
−L
2
o que dá:
ou:
r
B
µ
0
i
y
4π
1
2
y
2 L
= P
2 2 1/
P [ L + yP
]
2
r µ
0
i
B =
2 π y
P
L
2 2
[ L + 4y
]
ATIVIDADE 29.1
Determine B r para um ponto Q, simétrico ao ponto P do Exemplo 29.1.
P
1/2
kˆ
kˆ
Figura 29.4: Linhas de força da indução magnética de um fio longo.
Dos Exemplos 29.1 e 29.2, bem como a Atividade 29.1 podemos
extrair uma maneira de determinar a direção do campo magnético em um
ponto P do espaço, gerado por um fio conduzindo uma corrente elétrica.
Basta, com a mão direita aberta, fazer coincidir o polegar com o sentido da
corrente elétrica no fio. Em seguida, fechemos a mão. A direção da indução
magnética em P será perpendicular ao plano contendo P e o fio e o sentido,
o de fechamento da mão.
EXEMPLO 29.3
Considere o circuito abaixo (Figura 29.5), onde as linhas curvas são semicírculos
com centro comum C . O raio do maior semicírculo é b e o do menor é a = b/ 2 .
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