fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Tal que o campo é dado por ( σ r′
dr′
cosφ
dθ
′
E z ) =
zˆ
P ∫
.
2 2
4π
ε ( r′
+ z )
2
0
P
r
φ ( σ 2π
R r′
dr′
E z
P
) = d
zˆ
.
2 2
4
∫ θ ′
π ε
0 ∫0
( r′
+ z )
3/2
2 2
E como cos = y
P/
r′
+ z P
:
0
P
A integração em θ′ pode ser feita imediatamente e dá um fator
simples:
2 2
u = r′ + z
P
→ du = 2 r′
dr′
2 π . A integral é
Figura 5.4: Disco plano com distribuição superficial de carga homogênea.
Então, o campo elétrico no ponto situado à distâcia z do centro do anel é:
′
( r′
R
∫0
′
2 2
r dr 1 R + z
2 2
P du 1/2 R + z
P
=
= −u
|
2 2 3/2 2 3/2
2
+ z ) 2
∫z
z
P
P u
P
E(
z
P
1 dq 2πσ
r dr
) = ∫ dE =
2
2 2
4
∫ =
π ε r 4πε
∫
( r + z )
0
R
0 0
.
3 / 2
P
Finalmente, substituindo na expressão para o campo. Vem:
Esta integral foi feita no Exemplo 4.3. O resultado então é:
r
E(
z
P
σ ⎡
) = ⎢1
−
2ε
0 ⎢
⎣
z
P
2
R + z
2
P
⎤
⎥ zˆ.
⎥
⎦
(5.4)
r
E(
z
P
σ ⎡
) = ⎢1
−
2ε
0 ⎢
⎣
z ⎤
P
⎥ zˆ.
2 2
R + z ⎥
P ⎦
(5.5)
Atividade 5.3
Calcule o campo elétrico para pontos muito distantes do disco do exemplo 5.3
Atividade 5.4
Qual seria o valor do campo elétrico caso
considerar o disco como um plano infinito de cargas?
R >> z
P ? Nesse caso você poderia
EXEMPLO 5.4
SOLUÇÃO ALTERNATIVA PARA O PROBLEMA DO DISCO CARREGADO
Ao invés de resolvermos o problema com a integração direta do campo como acima,
podemos resolver o problema dividindo o disco em elementos de área dσ, constituidos
por anéis de raio r e espessura dr como mostrado na Figura 5.4.
O elemento de área do anel é: da = (2π
r)
dr
5.3 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM
TRÊS DIMENSÕES
O exemplo 5.5 mostra a dificuldade de calcularmos o campo elétrico de
distribuições contínuas de carga, por causa das integrais (no caso mais geral, triplas)
que aparecem durante o cálculo e exigem muito trabalho. É possível evitar ter que
efetuar essas integrais e resolver o mesmo problema em algumas linhas efetuando no
máximo uma integral unidimensional. O que nos proporciona isso é a lei de Gauss, que
veremos na próxima unidade.
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