fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

onde as constantes
q
m e φ
0 dependem das cargas e correntes iniciais do circuito.
Não é dificil mostrar que a equação 36.4 é solução da equação diferencial 36.2.
i = −ω ( )
0
qm sen ωot
+ φ0 . (36.7)
Nesta expressão,
q
m , denominado amplitude da carga no capacitor, é o
PENSE E RESPONDA 36.1
Como você poderia mostrar que uma equação do tipo Acos ( ω t)
( ω t)
q =
0 ou
q = B sen
0 satisfaz a equação 36.2? Mostre que essas duas equações são
soluções da equação 36.2.
Inicialmente, quando ligamos o contato móvel m ao terminal b, temos certa
quantidade de carga no capacitor, q
0, e determinada corrente, i 0 , no circuito. Uma
combinação linear da equação 36.4, também solução da equação diferencial 36.2
que enfatiza este fato é:
q
( i ω ) sen(
ω )
q0 cos(
ω
0t)
+
0 0 0t
= (36.5)
valor máximo atingido pela carga acumulada no capacitor. O valor de
termos dos valores iniciais da carga e da corrente é dado pela equação
Da equação 36.7 temos,
( i ) 2
2
0 0
ω0
q
m em
q m
= q + . (36.8)
i = − im sen( ω
ot
+φ0)
. (36.9)
Assim como a carga no capacitor, a corrente atinge um valor máximo, que é
denominado amplitude da corrente, i m . Observe que
= ω . (36.10)
im 0
q m
A relação entre o valor da constante de fase e os valores iniciais da carga e
da corrente é dada pela equação:
PENSE E RESPONDA 36.2
Como você poderia mostrar que uma combinação linear da equação 36.4, do tipo
( ω t) + Bsen ( ω t)
q = Acos
0
0 satisfaz a equação 36.2? Mostre que essa equação é
solução quando A = qo
e B = i 0
ω0
.
tg
( φ )
−i
0
0
= . (36.11)
ω0
q0
Tanto o valor da carga no capacitor no instante t = 0, como o da corrente no
circuito, nos são fornecidos pela amplitude da carga e por φ
0 , denominado
constante de fase da oscilação.
Como a corrente no circuito é a derivada da carga no capacitor em relação
ao tempo, derivamos a equação 36.5 e obtemos:
dq
i = = −ω
0
q0
sen( ω0t)
+ i0
cos( ω0t)
. (36.6)
dt
Se substituirmos o valor t = 0 nas equações 36.5 e 36.6 encontraremos os
valores iniciais q
0 e i 0 , respectivamente, como é de se esperar.
As equações 36.5 e 36.6 mostram que tanto a carga quanto a corrente
oscilam harmônicamente, ou seja, seu comportamento pode ser descrito
por uma única função harmônica, como são denominadas as funções seno
e cosseno.
A figura 36.2 representa uma oscilação harmônica ( t)
= Y cos( ω t + φ )
y
m
com a constante de fase nula e os demais parâmetros em unidades arbitrárias.
0
0
compacta,
Manipulando a equação 36.6, podemos reescrevê-la de forma mais
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