fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Assim:
2
2
u
1 − du
θ
2 − y θ θ θ
P
sec d
2 − yP
sec θ dθ
=
=
u 2 2 3/2
2 2 2 3/2
3 2
0 ( u + y )
∫θ
1 ( t θ + )
∫θ
y g y
1 y (tg
θ + 1)
∫
P
2
2
Lembrando que t g θ +1 = sec θ temos que:
1 θ
2 − dθ
1 θ
2
1
θ
2
= = cosθ
dθ
senθ
| .
2
2
2 θ
y
∫θ
1
1 secθ
y
∫ − =
θ
1
y
P
2 2
Como tg θ = u/
yP
, sabemos que sen θ = u/
u + yP
. Assim:
senθ
=
Assim obtemos:
I
2
=
∫
1
x
0
+ L
x
0
1
I
2
=
2
y
P
( x
P
P
x − x
P
− x )
0
2
0
+ y
dx′
[( x
2
− x′
) + y ]
[ senθ
− senθ
]
2
1
2
P
2 3/2
P
=
1
⎡
= ⎢
2
y
P ⎢
⎣
u
2
∫
u
1
P
P
e
− du
2
( u + y )
P
2 3/2
P
+ L)
[ x − ( x + L)
]
P
x − ( x
A integral que aparece na expressão de
transformação de variáveis:
P
P
0
0
2
2
P
senθ
=
1
=
y
2
P
+ y
2
P
u
P
2
u + y
−
( x
2 2
[ x − ( x + L)
] + y
P
P
2
P
x − ( x
P
0
0
x
P
− x
0
+ L
x
P
− x
0
x − x
P
0
0
2
− x ) + y
+ L)
2
P
⎤
⎥.
⎥
⎦
E
x pode ser calculada fazendo a
u = x′
− x tal que du = dx′
. Ou seja, o limite de
′
0
integração para x′ = x0
fica u1 = x0
− xP
; e para x = x + L fica u = ( x 0
+ L)
− xP
Então, a primeira integral fica:
x
0
L ( x )
u
P
− x′
dx′
2 − u du 1
I
1 ∫ +
=
= cosθ
|
x
2 2 3/2
2 2 3/2
0 [( x − x′
) + y ]
∫u
1 ( u + y ) y
θ
2
=
θ
1
P
P
P
P
2 .
,
P
2
Uma nova substituição de variáveis: u = yP tgθ
tal que du = yP
sec θ dθ
onde
θ = arctg
u0
nos dá os seguintes limites de integração: θ = arctg , θ
2
y
Assim a integral fica:
− u du
u
y P
1
1
= arctg
P
u P
− y
− y
2
2
2
2
u
2
θ
2
θ
P
2 P
=
=
u 2 2 3/2
2 2 2 3/2
3 2 3/2
1 ( u + y )
∫θ
1 ( t θ + )
∫θ
P yP
g yP
1 y
P
(tg
θ + 1)
∫
tgθ
sec θ dθ
u
tgθ
sec θ dθ
2
2
Lembrando que t g θ +1 = sec θ temos que:
2
1 θ
2 − tgθ
sec θ dθ
1 θ
2 − tgθ
dθ
1 θ
2
1
θ
2
= =
= senθ
dθ
cosθ
| .
θ
3
θ
y
∫
1 sec θ y
∫
− =
θ
1 secθ
y
∫θ
1
y
1
P
2 2
Como tg θ = u/
yP
, sabemos que cosθ = y
P/
u + yP
. Assim:
cosθ
=
1
( x
0
y
− x
P
P
)
2
+ y
O resultado da integral fica, portanto:
1
I1
=
y
P
2
P
e
P
cosθ
=
2
[(
x + L)
− x ]
0
y
P
P
2
P
x
0
L ( x )
u
P
− x′
dx′
2 − u du 1
I
1 ∫ +
==
= cosθ
|
x
2 2 3/2
2 2 3/2
0 [( x − x′
) + y ]
∫u
1 ( u + y ) y
P
θ
2
=
θ
1
P
P
P
P
[ cosθ
− cosθ
]
2
1
⎡
= ⎢
⎢
⎣
1
[(
x + L)
− x ]
0
2
P
+ y
2
P
1
−
( x − x )
0
P
2
+ y
,
+ y
Então o resultado final para as componentes do campo elétrico nos dá:
2
P
2
P
.
⎤
⎥.
⎥
⎦
Essa integral pode ser calculada com uma tabela de integrais ou seguindo os passos
indicados a seguir.
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