fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

Vamos torná-la quantitativa, então:
1
∫ E
r • nˆ
da = Q,
(6.4)
S
ε
em que Q é a carga líquida dentro da superfície. Essa é a lei de Gauss, que é
válida para qualquer superfície fechada.
6.3 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS: CÁLCULO DA INTEGRAL DE
SUPERFÍCIE NA LEI DE GAUSS
O que é preciso saber de matemática para usar a lei de Gauss corretamente?
Antes de mais nada, é preciso saber calcular o fluxo do campo elétrico
∫ E
r
• nˆ
da
sobre uma superfície fechada. Assim:
0
1 - Escolhemos uma superfície compatível com a simetria do problema,
que passa pelo ponto P, onde desejamos calcular a intensidade do
S
no caso da carga puntiforme: o módulo do campo elétrico é constante e normal à
qualquer superfície esférica concêntrica com a carga q .
Se não houver simetria essa integral pode ser bastante complicada e até inútil,
pois para resolvê-la teríamos que conhecer o vetor E r (módulo, direção e sentido) em
todos os pontos da superfície e o objetivo agora é usar a lei de Gauss para simplificar
os cálculos do campo elétrico. A importância da lei de Gauss fica mais clara quando o
problema tratado possui alguma simetria espacial.
EXEMPLO 6.3
Verifique a lei de Gauss para o caso de uma carga puntiforme positiva q .
SOLUÇÃO: Comecemos seguindo os passos indicados no início dessa seção.
1) De acordo com o que vimos anteriormente, as linhas de força do campo
gerado por uma carga q são radiais com origem na carga. Portanto, se escolhermos
uma superfície esférica de raio r (distância da carga ao ponto onde queremos calcular
o campo), a normal a esta superfície terá também direção radial em qualquer ponto;
campo elétrico;
2 - Definimos o elemento de área relevante;
3 - Definimos o vetor unitário normal à essa área;
2) o elemento de área é da e nˆ
da = rˆ
da , sendo da o elemento de área de
uma esfera, como ilustra a figura 6.6. Não vamos precisar de sua forma diferencial.
4 - Fazemos o produto escalar entre E r e nˆ
5 – Calculamos o fluxo da campo elétrico:
r
Φ = ∫ E • nˆ
da =
S
∫
E cos θ da,
S
(6.5)
onde cosθ = Eˆ
⋅nˆ
.
Figura 6.6: Elemento de área de uma superfície esférica.
A que simetria nos referimos acima? Aquelas, por exemplo, como a que vimos
Assim: n ˆ da = rˆ
( r senθ
dφ)
dθ,
114
115