fundamentos de física iii fundamentos de física iii - Departamento de ...

ATIVIDADE 4.1
Considere que cada metade da barra isolante do Exemplo 4.1 está carregada com
diferentes densidade de carga linear λ
1 e λ
2 . Calcule o campo elétrico a uma distância
x
P
de uma das extremidades da barra, na direção da mesma.
No exemplo 4.2 vamos calcular o campo elétrico para pontos sobre o
eixo vertical da barra.
EXEMPLO 4.2
Considere um fio de comprimento L com densidade superficial de carga λ
uniformemente distribuída, como mostra a figura 4.4. Determine o campo elétrico
no ponto P x P
, y ) .
(
P
= 1 λdx′
dE
[( x x′
) ˆ
dq
i y
2 2
4 [( x x ) y ]
3/2 P
− +
π ε − ′ +
Note que neste caso o vetor unitário que dá a direção de
daí o fator
então:
[( x ′ +
P
0
P
( x
e =
[( x
P
− x′
) iˆ
+ y ˆ
P
j
,
2 2
− x′
) + y ]
ˆ P
1/2
P
P
dE
r dq
é:
2 2 3/2
P
− x ) y ] no denominador. A intensidade do campo elétrico é,
r
E
Geral
P
ˆ]. j
( ⎡ λ x
0
L ( xP
− x′
) dx′
⎤
xP
, yP
) = ⎢
iˆ
4
∫ +
x
2 2
0 [( xP
x ) yP
]
3/2 ⎥
⎣ π ε
0 − ′ + ⎦
⎡ λ x
0
+ ⎢ yP
4
∫ +
x
⎣ π ε
0 0
L
[( x
P
dx′
2
− x′
) + y
]
2 3/2
P
⎤
⎥
ˆ. j
⎦
A segunda integral é mais simples. Vamos começar por ela:
I
dx′
2
− x′
) + y
=
x
0
L
2 ∫ +
x
2
0 [( x
]
3/2
P
P
.
Figura 4.4: Campo elétrico gerado por um fio uniforme.
RESOLUÇÃO: Este é o caso mais geral que podemos construir. Note a posição
genérica do sistema de referência e do ponto de observação.
a) Localização do ponto P : x iˆ
+ y ˆj
b) Localização de dq : x′
iˆ
P
c) Localização do vetor distância entre dq e P : ( x − x′
) iˆ
+ y ˆj
Temos:
P
P
P
A integral pode ser calculada fazendo a transformação de variáveis: u = xP − x′
tal que
′
0
du = −dx′
. O limite de integração para x′ = x0
fica u0 = xP − x0
; e para x = x + L fica
u1 = xP − x0
+ L . Então, a integral fica:
− du
2
+ y )
u
1
u 2
0 ( u
P
Uma nova substituição de variáveis: u = yP tg
onde
∫
θ = arctg
θ
u
y P
3/2
.
tal que du y sec 2
= θ d
P
θ
u0
u1
nos dá os seguintes limites de integração: θ
1
= arctg , θ
2
= arctg
y
P
u P
80
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