Cercetare de Ex - Institutul de Mecanica Solidelor

INSTITUTUL DE MECANICA SOLIDELOR
ACADEMIA ROMANA
Str. Ctin Mille nr. 15, C.P. 1-863, 010141 Bucuresti
Programul: Cercetare de Excelenta
Modul: II Proiecte de Dezvoltare a Resurselor Umane pentru Cercetare
Tip proiect: Proiecte de cercetare in sprijinul programelor post-doctorale
Cod proiect: 1/2005
Grant postdoc CEEX,
contract nr. 1531/7 aprilie 2006
tema :
PROGRAM POST DOCTORAL PRIVIND DEZVOLTAREA DE NOI TEORII
CUPLATE ATOMISTIC-CONTINUE CU APLICATII LA MODELAREA
NANOCONTACTELOR SI A INDENTARII
SINTEZA 2007
Colectiv
Dr. mat. Veturia Chiroiu - director de program
Dr. ing. Dan Dumitriu - cercetator postdoctoral
Dr. mat. Miruna Beldiman - cercetator postdoctoral
Cuprinsul lucrarii
1. Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica
1.1. Potentiali interatomici
1.2. Frontiere de tranzitie
2. Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe
3. Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice
4. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei
de contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala
5. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea
omogena a doua plane atomice
5.1. Descrierea miscarii dislocatiilor
5.2. Indentarea la fluaj
6. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte
termice caracterizate prin gradienti de temperatura
6.1. Relaxarea termoelastica
7. Simularea unor experiente virtuale de indentare
8. Metode si algoritmi computationali
9. Programarea stocastica multiobiectiv
9.1. Clase speciale de probleme vectoriale de echilibru
10. Probleme de echilibru cu valori multimi
10.1. Probleme ponderate de echilibru
1

11. Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru
11.1. Metode de scalarizare pentru clase de inegalitati variationale
12. Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica
computationala
Rezumatul proiectului
Modelarea la scara nanometrica este un domeniu nou de cercetare cu un potential semnificativ
de simulare computationala. Nanostiinta ajuta la intelegerea unor subiecte stiintifice importante
cum ar fi nanocontactele si indentarea. Scopul proiectului este modelarea nanocontactelor si a
indentarii cu ajutorul unor noi teorii cuplate atomistic-continue. Indentarea este insotita de o serie
de fenomene: (a) avalansa discontinuitatilor energiei de contact, (b) histerezis pronuntat la ciclii
incarcare-descarcare, (c) difuzie atomica locala, (d) fluaj, (e) generarea si multiplicarea
dislocatiilor, (f) forfecarea omogena a planelor atomice, (g) curgere plastica, (h) relaxare, (i)
formarea gradientilor de temperatura. Aceste fenomene au fost puse in evidenta experimental, dar
nu au fost explicate pana in prezent nici cu teoriile existente si nici experimental. Scopul
proiectului este de a intelege si explica aceste fenomene. Obiectivele constau in dezvoltarea de
modele noi ale suprafetelor in contact la scara macroscopica, mezoscopica si nanoscopica,
modelarea nanoscopica a contactului si a indentarii incluzand fenomenele mentionate mai sus,
simularea unor experiente virtuale de indentare si comparatii cu rezultatele experientelor reale.
Ne asteptam ca rezultatele sa fie calitativ si cantitativ in acord cu rezultatele experientelor gasite
in literatura, acolo unde exista. Odata ce simularile numerice demonstreaza fiabilitatea acestor
metode noi, simularile pot fi privite ca experiente simulate realistic pe computer. Ideea consta in
utilizarea ulterioara a simularilor la scara atomica pentru a descoperi noi tipuri de experiente. Ne
intereseaza in special studiul nanocontactelor de tip ceramica-nanotuburi de carbon. Vom intelege
in ce mod teoriile cuplate atomistice-mezoscopice-macroscopice pot explica plauzibil
mecanismele complexe care insotesc indentarea, si pot fi un instrument pretios la interpretarea
datelor si la proiectarea unor noi experiente.
Obiective 2007
a) Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica
b) Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe
c) Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice
d) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de
contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala
e) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea
omogena a doua plane atomice
f) Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice
caracterizate prin gradienti de temperatura
g) Simularea unor experiente virtuale de indentare
h) Metode si algoritmi computationali
i) Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica computationala
2

Prezentarea lucrarii (cu referire la rezultatele originale)
1. Dezvoltarea de modele cuplate atomistic-continue in nanomecanica
În aceasta parte a lucrarii se prezintă o serie de potenţiali interatomici care sunt utilizaţi atât
în dinamica moleculară cât şi în modelele cuplate atomistic-continue care combină modele ale
mediului continuu cu teorii la scară atomică şi cuantică. O categorie specială o constituie
modelele multi-scară care cuplează o regiune descrisă atomistic cu regiuni învecinate descrise
continuu, prin metoda elementului finit. Fiecare model se bazează pe o anumită reprezentare a
energiei potenţiale de deformaţie. In lucrare (care se bazeaza pe lucrarile publicate in reviste de
specialitate) s-au aplicat metodele cuplate atomistic-continue pentru descrirea comportarii
dinamice a nanotuburilor de carbon supuse la intindere, compresiune, incovoiere si torsiune
(Chiroiu, Dumitriu si Fibi 2007, Mitu, Dumitriu et al. 2007, Teodorescu si Chiroiu 2007).
În problemele de termodinamică, se introduce temperatura ca un parametru de control, şi se
efectuează simularea moleculară a sistemului pentru o temperatură constantă. Pentru a menţine o
temperatură de referinţă, se folosesc metode constrânse care restricţionează energia cinetică totală
a sistemului, sau metode stocastice de tip Langevin. În mecanica statistică, ansamblul canonic
reprezentativ se poate construi considerând un număr mare de sisteme, care sunt replica mentală a
unor sisteme fizice (fiecare având un volum V cu N atomi), şi aranjându-le împreună pentru a
forma un bloc tridimensional. Acest bloc se scufundă apoi într-o baie caldă aflată la temperatura
T . Presupunând că suprafeţele care separă elementele din bloc sunt permeabile la schimbări de
energie, atunci toate elementele din bloc vor atinge după un timp aceeaşi temperatură T . Un
astfel de bloc izolat termic formează un ansamblu canonic.
Potrivit cu această metodă, sistemul şi baia caldă sunt cuplate şi formează un sistem
compozit, cu o dinamică continuă deterministă. Teoria se bazează pe extensia spaţiului
variabilelor dinamice a sistemului, dincolo de coordonatele şi impulsurile particulelor reale,
pentru a include o coordonată fantomă adiţională s şi impulsul său conjugat p s , care acţionează
ca o baie caldă pentru particulele reale. Prin această metodă se poate selecta un Hamiltonian
pentru sistemul extins şi, simultan, variabilele sistemului fizic real se pot lega de cele ale unui
sistem virtual, astfel încât funcţia de partiţie microcanonică a sistemului virtual extins să fie
proporţională cu funcţia de partiţie canonică a sistemului fizic real.
Avem prin urmare sistemul real ( ri, p i)
, sistemul virtual ( ri, p
i)
, sistemul real extins
( ri, pi, s, p s)
şi sistemul virtual extins ( ri, pi, s, p
s)
. Hamiltonianul sistemului virtual extins este
definit astfel
N 2 2
* pi ps
H = ∑ + H( r ) ln
2 ij + + gkBT s
2ms 2Q
,
i= 1 i
unde g este numărul gradelor de libertate, k B constanta lui Boltzmann, Q este un parametru
care se comportă ca o masă asociată mişcării coordonatei s , iar r i , p i , r i şi p i sunt coordonatele
şi impulsurile canonice ale tuturor particulelor reale şi virtuale. Deoarece Hamiltonianul H este
energia potenţială pentru ambele sisteme, real şi virtual, primii doi termeni din relatia de mai sus
reprezintă energia cinetică şi energia potenţială a sistemului fizic, iar următorii doi termeni
reprezintă energia cinetică şi energia potenţială asociate gradelor de libertate adiţionale.
Coordonatele virtuale şi timpul sunt legate de coordonatele fizice reale prin relaţiile
ri = r
i,
1
pi = p
i,
s
1
dt = dt
.
s
3

Din Hamiltonianul
numesc ecuaţiile termostat ale lui Nosé-Hoover
*
H rezultă ecuaţiile de mişcare pentru sistemul fizic, ecuaţii care se mai
dri
pi
= ,
dt
mi
dp
2
i
dη 1 ⎛ p ⎞
i
= Fi −η pi,
= ⎜∑ −gkBT⎟,
dt
dt
Q⎝ i mi
⎠
unde η este numit coeficientul de frecare al băii deoarece caracterizează frecarea din interiorul
băii. Acest coeficient nu este o constantă şi poate avea atât valori pozitive cât şi negative, fiind
legat de un mecanism negativ de feedback. Ultima ecuaţie controlează funcţionarea băii calde.
Din această ecuaţie observăm că dacă energia cinetică totală este mai mare decât 1
gkBT, atunci
2
dη
şi deci η sunt pozitive. Acest fapt produce frecare în interiorul băii şi ca urmare mişcarea
dt
atomilor este decelerată şi energia cinetică a băii scade. Dacă energia cinetică totală este mai mică
decât 1
gkBT, atunci
2
dη
şi deci η sunt negative, şi ca rezultat baia se încălzeşte şi mişcarea
dt
atomilor este accelerată.
În modelele cuplate atomistic-continue, interfeţele care despart regiunile modelate atomistic
de cele modelate continuu se analizează în mod special. În metodele cuplate, se face o descriere
atomistică pentru anumite regiuni din material şi o descriere continuă pentru alte regiuni din
material. Regiunea de tranziţie sau frontiera dintre regiunea atomică şi regiunea continuă
(interfaţa tampon, sau pad) necesită o atenţie deosebită. Această interfaţă este modelată în aşa fel
încât interacţiunile nelocale dintre atomi să fie luate în consideraţie. O altă metodă de a descrie
interfaţa dintre domeniul continuu şi domeniul atomistic este tranziţia prin scara mezoscopică de
la microni la milimetri. Această metodă este utilă în modelarea propagării fisurilor macroscopice.
Se presupune că fisura are o mişcare în derivă cu vârful fisurii executând o mişcare de difuzie,
pentru a reflecta efectul vitezei de oscilaţie a fisurii observată la nivel atomic, în traiectoria fisurii
observată macroscopic. Componenta de difuzie este caracterizată de un proces stocastic Wiener.
Se utilizează modelul Einstein al dinamicii Browniene (Rafii-Tabar 2000)
1
2
D= ∑ | r( t) −r(0)|
,
2st t
unde t este timpul de întârziere, s dimensiunea spaţiului difuziv ( s = 2 în cazul prezent), iar r
este coordonata atomului din vârful fisurii. În acest model, propagarea fisurii se modelează în trei
scări metrice diferite.
2. Relatii constitutive pentru stari de tensiune multiaxiale si complexe
Construirea relatiilor constitutive pentru stari de tensiune miltiaxiale si complexe se bazeaza
pe studiul geometriei diferenţiale afine, care a fost iniţiat de Ţiţeica în 1910, cu o lucrare
remarcabilă asupra unei clase particulare de suprafeţe hiperbolice invariante la o transformare
Bächlund. Suprafeţele sale sunt cunoscute sub numele de sfere afine (Affinsphäaren) deoarece ele
sunt analogul sferelor din geometria diferenţială afină. Din aceasta teorie cuplata cu o metoda de
optimizare si rezultate experimentale, se construiesc teorii constitutive care se verifica
experimental pentru materialele nanostructurate (Munteanu si Donescu 2002, 2004, Teodorescu,
Chiroiu, Dumitriu şi Munteanu 2007) si pentru materialele auxetice (Munteanu si Dumitriu
2007). Problema determinarii relatiilor constitutive din rezultate experimentale a condus la
generalizarea si extinderea rezultatelor din analiza convexa. Asa au luat nastere domenii
noi ale matematicii cum ar fi convexitatea generalizata si analiza convexa abstracta.
4

Considerăm o suprafată Σ scrisă parametric sub forma Monge r = xe1 + ye2 + z( x, y) e3.
Se
2 2 2 2
ştie că prima şi a doua formă fudamentală sunt date de I = (1 + zx) dx + 2 zxzydxdy + (1 + zy) dy si
1
2 2
II = ( zxxdx + 2 zxydxdy + z yydy
). Aici, indicii x, y reprezintă derivate parţiale
2 2
1+
z + z
∂ z
= z
∂x
x
x y
etc. Curbura medie şi curbura gaussiană a suprafeţei Σ se scriu sub forma
Η=
2 2
(1 + zx) zyy − 2 zxzyzxy + (1 + zy) zxx
2 2 3/2
2(1 + zx + zy)
,
z z − z
Κ=
(1 )
xx yy
2
xy
2 2
+ zx + zy
2
Introducem variabilele independente p şi ψ , p = zx
, y z ψ = , şi variabila dependentă ξ ,
ξ p = x , ξ ψp
= y . Avem
zyy
ξ σσ =
2
zxxzyy − zxy
,
zxx
ξ ψψ =
2
zxxzyy − zxy
,
zxy
ξ pψ
=
2
zxxzyy − zxy
si
2 1
ξppξψψ −ξ pψ
= 2 2 2
Κ (1 + p +ψ )
2
A
. În contextul elasticităţii nelineare avem Κ= 2 2 2
(1 +σ + X )
,
2 ∂σ
unde A =
∂ε | X
1
, A fiind viteza lagrangiană de undă. În continuare presupunem că K =− 2
a
,
a= const.
În acest caz, relatiile de baza pe care se bazeaza metoda de determinare a legilor
constitutive utilizand datele experimentale sunt
cu α( X ) arbitrar.
2
= (1 +σ + ) σ | X > 0 , σ > 0 ;
∂ε ∂ε
2
∂σ 2 2 ∂σ
X
2 2
| X a
2 2
a σ σ 1+
X
ε= [arctan( ) + ] +α(
X ) ,
2 3/2 2 2 2
2(1 + X ) 1+ X 1+σ
+ X
3. Modelarea indentarii pentru folii subtiri cu constrangeri geometrice
Dinamica foliilor subtiri cu geometrie constransa a fost studiata cu diferite metode de
simulare. S-au considerat folii alcatuite din materiale anizotrope granulare, cu structura interna.
Structurile stratificate periodic, în care două plane atomice formează un strat care se repetă,
au un aranjament de tipul AABBAABB... Atomii A şi B diferă ca dimensiune. Presupunem că
atomul A are dimensiuni mai mari decât atomul B. Interfaţa A/B este deformată deoarece atomii
A sunt supuşi la compresiune iar atomii B la întindere (fig.1). Efectul deformației asupra
constantelor elastice într-o astfel de structură a fost studiat de către Jankowski şi Tsakalakos
(1985) şi de Jankowski (1988). Pentru a explica creşterea valorilor constantelor elastice observată
experimental, autorii au studiat dependența constantelor elastice de deformația elastică inițială.
Rezultatele au indicat creşteri mari ale valorilor constantelor elastice C 11, C 12 şi C 66 precum şi a
2
valorii modulului biaxial Y[100] = C11 + C12 − 2 C13 / C33
pentru un singur strat de Cu, Ag şi Au
supus la tensiune biaxială. Rezultate similare au fost raportate şi pentru Au-Ni, Cu-Pd şi Ag-Pd.
De exemplu, pentru o superlatice Cu-Ni cu 66% Cu se obține Y [100]=0,23 TPa . Această valoare
depăşeşte cu 50% valoarea modulului elastic al unui aliaj Cu-Ni cu aceeaşi concentrație de Cu
.
5

pentru care Y [100] = 0,14 TPa (Chiroiu si Chiroiu 2003). Delsanto, Provenzano şi Uberall (1992)
au studiat cazul structurilor deformate biaxial în planul (111), utilizând aceeaşi metodă de calcul.
Ei au pus în evidență sensibilitatea modulului biaxial Y[111] în raport cu semnul deformației
inițiale. Astfel, pentru o structură ideală având proprietăți mediate care să caracterizeze metalele
Cu, Au şi Ag, modulul biaxial Y[111] creşte cu 65% pentru ε = −0.03, iar pentru ε = 0,03
modulul biaxial descreşte cu 40%.
De asemenea, s-a observat că valoarea maximă a modulului biaxial se obține pentru o
grosime a stratului de 0,8−1,2 nm, şi pentru o lungime de undă a compoziției modulate de
1,66−2,5 mm. Efectul acusto-elastic defineşte dependența de tensiune a vitezelor de propagare ale
sunetului într-un mediu elastic deformat. Prin măsurarea variațiilor produse în vitezele de
propagare ale undelor se pot evalua tensiunile inițiale din material. Benson şi Raelson au descris
acest fenomen în anul 1959 (Toupin şi Bernstein 1961) şi au prezentat o metodă de determinare a
tensiunilor într-un material elastic izotrop utilizând polarizarea transversală a undelor sonore.
Fig. 1. Distribuția deformațiilor într-o structură A/B.
4. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de
contact, comportament histeretic si difuzia atomica locala
Fenomenele de avalansa ale discontinuitatilor energiei de contact, comportamentul
histeretic si difuzia atomica locala sunt consecinte ale faptului ca frecarea dintre suprafete
depinde de viteza relativa, timp, incarcare, admite memorie si comportament de tip stick-slip.
Componenta adezivă a frecării se datorează forţelor de legătură între suprafeţele aflate în
contact. Rezistenţa la alunecare (forfecare) a unei legături adezive care depinde de fapt de aria
reală de contact, determină forţa de frecare. Forţa de frecare este astfel proporţională cu aria reală
de contact. Mişcarea relativă apare atunci când forţele externe sunt suficient de mari ca să
depăşească rezistenţa de adeziune a suprafeţelor. O teorie mai grosieră a frecării presupune că
6

forţa de frecare apare datorită solidarizării asperităţilor care oferă rezistenţă la mişcarea relativă.
Mişcarea relativă apare atunci când asperităţile cedează. Potrivit cu teoria deformării, forţa de
frecare rezultă din săparea asperităţii mai moale a unei suprafeţe de către asperitatea mai dură a
celeilalte suprafeţe. Componenta dominantă a frecării depinde de proprietăţile materiale ale
suprafeţelor în contact.
Ca urmare a componentelor frecării, coeficientul de frecare se poate scrie ca o sumă dintre
S yy tan α
trei termeni µ= + tan θ+ , unde S yy şi H sunt rezistenţa la rupere şi ecruisarea
H π
materialului mai slab, θ unghiul asperităţii şi α unghiul asperităţii conice. In lucrare, fenomenul
indentarii a fost generalizat prin includerea modelelor de tip Preisach (dezvoltate in Badea şi
Nicolescu 2003, Chiroiu 2003) care face posibila includerea in algoritm a ecuatiilor care descriu
discontinuitatile energiei de contact, asociate cu legile histeretice si difuziei atomice locale.
5. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de fluaj, miscarea dislocatiilor si forfecarea
omogena a doua plane atomice
Prezentam pe scurt ideile de baza pe care se bazeaza abordarea noastra privind modelarea
indentarii pentru includerea fluajului, a miscarii dislocatiilor si a forfecarii omogene a planelor
atomice. Raspunsul unui material cu structura interna, granulat, care contine defecte, microfisuri,
goluri si care este solicitat atat termic cat si mecanic, se masoara in raport cu tensorul
macroscopic al ratei deformatiei D si cu tensorul tensiunii σ . Legile care stau la baza descrierii
2 p
acestor materiale sunt ecuatia de miscare divσ =ρ v si ecuatia caldurii ρ cT = k∇ T+σD, unde
v= u
este viteza, iar u, ρ , cvsi
k noteaza vectorul deplasarii, densitatea de masa, caldura specifica
p
si respectiv conductivitatea termica. D reprezinta partea plastica a tensorului de deformatie D ,
1
D fiind definit ca partea simetrica a gradientului vitezei de deformatie Dij = ( vi, j + vj,
i ) . In
2
comportarea elasto-viscoplastica, D se descompune intr-o parte elastica e D si o parte plastica
p
e p
D , deci D= D + D . Spinul asociat W este definit ca partea antisimetrica a gradientului
1
vitezelor, intr-un mod analog cu vartejul in mecanica fluidelor Wij = ( vi, j − vj,
i ) . In mod analog,
2
e
p
e p
W se descompune intr-o parte elastica W si alta plastica W : W = W + W . Este util sa scriem
1
si tensorul deformatie ε ij = ( ui, j + uj,
i ) ca o suma dintre o parte elastica
2
e ε si una plastica p ε .
Pentru cele mai multe materiale raspunsul elastic este liniar, putand fi exprimat prin legea lui
e
Hooke pentru deformatii mari, scrisa sub forma incrementala: σ = C⋅D −γ∆T
, unde γ este
coeficientul termic al tensiunii la deformatie constanta, σ este tensorul rate al tensiunilor Cauchy
σ , iar C tensorul constantelor elastice. Exista cateva alegeri pentru σ , cea mai des utilizata fiind
aceea a tensorului Jaumann de tip rate al tensiunilor Cauchy, scris sub forma σ=σ+ω⋅σ−σ⋅ω
,
unde ω este spinul definit ca diferenta dintre spinul de material W si spinul plastic p W :
p ω= W − W . Deformatia macroplastica si spinul plastic sunt produse de miscarea dislocatiilor.
p p
Avem nevoie de legi constitutive pentru D si W , bazate pe cunoasterea microstructurii si a
proprietatilor mecanice ale materialului. Ne intereseaza modul in care putem determina aceste
proprietati prin teste de indentare/nanoindentare.
Tensiunea indusa de o dislocatie arbitrara de tip loop intr-un punct arbitrar Px ( ) se poate
calcula cu ecuatia Peach-Koehler
v
7

µ ∂ µ ∂
σ ( P) =− b ε ∇′ Rdx′ − b ε ∇′ Rdx′
−
∫ ∫
2 2
αβ
8π C
m imα ∂x′ i
β
8π
C
m imβ
∂x′
i
α
3
µ ∂ R ∂ 2
− bmεimk( −δαβ ∇′
R) dx′
k
4 π(1 −ν) ∫ ∂x′ C
i∂x′ α∂x′ β ∂x′
i
unde i b este vectorul lui Burgers, ε ijk este tensorul de permutare, µ este modulul de forfecare, ν
este coeficientul lui Poisson si R = || x− x′ || este raza definita ca o norma dintre punctul P si curba
dislocatiei. Aceasta integrala se poate calcula numeric. Cand un indenter (stanta) este presat pe
suprafata unei probe aflata la o anumita temperatura, atunci el patrunde in material si deformatia
depinde de temperatura si de fluaj. Presupunem in continuare ca legea constitutiva este data de
n q n q
c b ⎛ Qc
⎞
ε = A
σ
1 ( ) ( ) exp −
E d ⎜ RT ⎟,
F b ⎛ Qc
⎞
u = Au 2 ( 2 ) ( ) exp −
⎝ ⎠ Eu d ⎜ RT ⎟,
⎝ ⎠
c
unde ε este rata deformatiei efective la fluaj, u este viteza indenterului, A1, A 2 sunt constante,
σ este tensiunea de curgere von Mises, u este deplasarea indenterului, F forta de apasare a
indenterului, E modulul lui Young la temperatura probei, b magnitudinea vectorului lui Burgers,
d dimensiunea granulelor materialului, R constanta gazelor si T temperatura (Mukherjee et al.
1969, Cadek 1988). Atunci cand T si d sunt constante in timpul indentarii pentru o forta F data,
exponentul n si K sunt dati de (Fujiwara si Otsuka 1999)
sau
1 ⎛ ∂(ln
u
) ⎞
n = ⎜1− ⎟
2 ⎝ ∂(ln
u)
⎠Td
,
n u
F u
2
, K =
Eu ( )
q
b Qc
( ) exp
K = A2d ⎛ ⎞
⎜− RT ⎟
⎝ ⎠ .
Pentru d constant, energia de activare la fluaj este
⎛∂(ln K)
⎞
Qc=−R⎜ (1/ T )
⎟
⎝ ∂ ⎠ d
.
Daca notam cu A aria de contact, ea este proportionala cu 2
u . La echilibru presiunea de
indentare p este p = F (duritate Meyer). Atunci cand frecarea dintre indenter si material este
A
foarte mica si poate fi neglijata, tensiunea de curgere reprezentativa σ poate fi aproximata in
zona plastica prin (Tabor 1951, Johnson 1970, Bolshakov si Pharr 1998)
In final avem
p
σ≈ α F . 2 3 u
n q
σ
Qc
( ) ( ) exp
d(ln u)
ε u
ind =
= = A3
u dt
E
b
d
⎛ ⎞
⎜− RT ⎟,
⎝ ⎠
⎛ ∂(ln εind
) ⎞
n = ⎜ [ln( / E)]
⎟ ,
⎝∂ σ ⎠Td
,
unde σ este masura tensiunilor von Mises in zona plastica, ε ind este rata deformatiei la indentare,
A 3 este o constanta si n masoara senzivitatea la tensiune a ratei deformatiei de indentare ε ind .
8

6. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice
caracterizate prin gradienti de temperatura
Mecanismul de relaxare în solide cu comportament vâscoelastic poate fi explicat prin
variaţia câmpului de tensiune în material. Considerăm două stări ale unui sistem mecanic,
caracterizate prin două valori diferite ale energiei, separate printr-un potenţial barieră sau energie
de activare, de amplitudine H . Înainte de aplicarea forţei exterioare, sistemul se află în starea sa
de energie minimă. Prin aplicarea unei forţe exterioare, energia sistemului creşte. Dacă sistemul
poate depăşi potenţialul barieră, atunci este posibilă tranziţia de la prima stare la starea a doua, şi
sistemul se relaxează deoarece diferenţa dintre energiile celor două stări se pierde. Pentru a
descrie matematic fenomenul de relaxare a tensiunilor utilizăm modelele reologice. În fig.2 sunt
reprezentate câteva modele reologice, şi anume un element elastic Hooke care descrie
comportarea elastică (fig.2a), un element Newton pentru a descrie comportarea vâscoasă (fig.2b),
un element St. Venant pentru descrierea amortizării coulombiene (fig.2c), şi un element Zener
pentru descrierea relaxării tensiunilor (fig.2d). Elementul Zener constă dintr-un element
Hooke legat în paralel cu un element Newton, şi un element adiţional Hooke legat în serie.
Fig. 2. Modele reologice: a) element Hooke; b) element Newton ; c) element St. Venant; d) element Zener.
Relaxarea termoelastică a fost confirmată experimental de câtre Zener în 1937. Pornind de
la această lucrare, Lifshitz şi Roukes (2000) au dezvoltat un model de relaxare termoelastică
pentru bara Euler-Bernoulli. Prezentăm în continuare acest model. Legea constitutivă a barei se
consideră de forma
1
ν
ε z = σ z +α T , ε x =ε y =− σ x +α∆ T ,
E
E
unde α este coeficientul de expansiune termică, E modulul de elasticitate Young, ν
coeficientul lui Poisson şi T temperatura absolută. Ecuaţia de mişcare devine
2 2
∂ ux ∂ ⎛ ∂ u ⎞
x
ρ A + EI 0
2 2 ⎜ y + Eα I
2 T ⎟=
,
∂t ∂z ⎝ ∂z
⎠
unde inerţia termică I T este definit astfel IT= x∆Tdd x y.
Ecuaţia de transfer termic în prezenţa
cuplării termoelastice în direcţia y se scrie
∫
A
2 2
⎛ 1+
ν ⎞∂∆T
∂ ∆T ∆ E ∂ u
⎜1+ 2∆
E ⎟ = Dth + y ,
2 2
⎝ 1−2ν⎠ ∂t ∂x α ∂x
9

2
Eα T0
unde ∆ E =
CP
este rezistenţa la relaxare, C P fiind capacitatea calorică pe unitatea de volum
la presiune constantă, 0 exp
⎛ H ⎞
Dth = D ⎜− ⎟
⎝ kT ⎠ constanta de difuzie dependentă de temperatură şi T 0
temperatura iniţială. Presupunând că transferul termic se realizează fără timp de întârziere,
frecvenţa devine ω=ω 0 1 +∆ E (1 + f ( ω )) , unde ω0 este frecvenţa de rezonanţă a barei fără
24 ⎡hk ⎛hk ⎞⎤
pierderi termoelastice, f ( ω ) = tan
3 3
hk
⎢ − ⎜ ⎟
2 2
⎥ , h fiind grosimea barei şi k = (1 + i)
⎣ ⎝ ⎠⎦
Relaţia de dispersie cu neglijarea termenilor superiori devine
ω
2Dth
.
Factorul de calitate ia forma
⎡ ∆ E ⎤
ω =ω 0 ⎢1 + (1 + f ( ω))
2 ⎥
⎣ ⎦ .
2
1 Im( ω) EαT0⎛ 6 6 sinhξ+ sinξ⎞
= 2 = ⎜ − 2 3
⎟
Q Re( ω) C ⎝ξ ξ cosh ξ+ cosξ⎠
,
cu ξ= h
ω0
2Dth . Se observă că factorul de calitate depinde puternic de grosimea barei. Zener a
calculat factorul de calitate pentru bara cu secţiune dreptunghiulară
1 Ead −E ωτ
≈ 2 2
Q E 1+ ωτ
2
2
Eα T0ωτ
a
=
, cu τ= 2 2
2
cσ1+ωτ π D
.
Cavităţile, impurităţile, granulele cu orientări diferite, dislocaţiile, introduc o stare
neuniformă de tensiune în material, chiar în absenţa forţelor exterioare. Această stare neuniformă
de tensiune creşte pierderile termoelastice. Însă, dacă lungimea barei este mai mică decât pasul
liber al fotonului termal, conceptul de relaxare termică nu mai este valabil. În cazul cristalului cu
defecte, putem asocia o simetrie fiecărui defect. Dacă simetria defectului este mai slabă decât a
cristalului, apare un dipol elastic care va interacţiona cu câmpul de tensiune. Dacă se atinge
valoarea energiei de activare, se obţine o rearanjare a dipolilor, şi ca urmare apare o relaxare a
tensiunilor în cristal.
7. Simularea unor experiente virtuale de indentare
Cu scopul de a studia comportarea elasto-plastică a unor materiale noi în care materialele
substrat sunt acoperite cu unul sau mai multe straturi subţiri, un prim pas îl constituie studiul
comportării elasto-plastice a unor materiale izotrope.
Indentarea este un procedeu experimental care poate determina simultan mai mulţi
parametri elasto-plastici de material, spre deosebire de alte procedee experimentale care
determină fiecare doar 1-2 parametri deodată (spre exemplu, încercările de tracţiune). În
consecinţă, indentarea poate înlocui cu succes un ansamblu de mai multe alte procedee
experimentale. În acest paragraf, pe baza testelor de nanoindentare se vor identifica şapte
parametri de material: modulul lui Young E şi coeficientul Poisson ν pentru comportarea elastică,
respectiv tensiunea de curgere iniţială uniaxială σ y,0 , parametrii izotropici de ecruisare R, β şi
parametrii de ecruisare cinematică Hkin, Hnl pentru comportarea plastică neliniară. Identificarea
acestor parametri de material este o problemă inversă ce ţine de ingineria suprafeţelor.
th
10

Testul de indentare uniaxială constă în apăsarea verticală a unui indentor rigid pe
semispaţiul materialului ce se doreşte a fi caracterizat (fig.3a). Nanoindeterul înregistrează atât
forţa de apăsare P cât şi adâncimea de pătrundere hvarf a capului sferic al indenterului în
semispaţiul materialului. Capul sferic al indenterului nu este complet rigid, fiind alcătuit dintr-un
material hipoelastic având modulul Young E varf = 1016 GPa şi coeficientul Poisson ν varf = 0.07 .
a)
Fig. 3: a) Schema testului de indentare uniaxială; b) Modelare axisimetrică cu elemente finite a testului de indentare.
Cu ajutorul unui program de element finit pentru deformaţii elasto-plastice finite, s-a reuşit
simularea indentării unui semispaţiu izotrop alcătuit dintr-un material inelastic cu un indenter
având cap sferic. Acest program de element finit este intitulat SPPRc (SPrangPRozessioun fir
contact-Modeller), programul fiind realizat de colaboratorul nostru Dr.-ing. Gaston Rauchs, de la
Laboratoire de Technologies Industrielles, Centre de Recherche Public Henri Tudor, Luxemburg.
Scris în limbaj Fortran, programul SPPRc modelează prin metoda elementelor finite contactul
dintre capul sferic al indenterului şi materialul inelastic. Modelarea axisimetrică cu elemente
finite a capului sferic al indenterului şi a semispaţiului ce constituie materialul este prezentată în
fig.3b, fiind folosite 112 elemente finite patrulatere pentru a modela jumătate din semispaţiul
materialului indentat şi 47 elemente finite patrulatere pentru a modela un sfert din capul sferic al
indenterului. În privinţa contactului dintre capul sferic al indenterului şi materialul indentat,
modelarea acestuia se face împiedicând întrepătrunderea geometrică dintre cele două corpuri în
contact, fapt ce se realizează prin aplicarea unor tracţiuni pe suprafaţa de contact. Aceste tracţiuni
introduse de modelarea contactului se calculează pe baza distanţei locale dintre nodurile
semispaţiului materialului şi proiecţia acestor noduri pe suprafaţa indenterului (Rauchs 2006).
În programul de element finit SPPRc, ecuaţiile constitutive ale materialului inelastic sunt
formulate incremental, sub forma unor legături diferenţiale între deformaţii şi tensiuni (Rauchs
2006). Comportarea plastică a materialului indentat este modelată folosind teoria fluxului J2
izotropic, curgerea plastică fiind determinată de funcţia de curgere f :
⎧ f < 0 pentru comportare elastica,
y ⎪
f = P :( σ −α) −K⎨f=
0 pentru comportare plastica,
⎪
⎩ f > 0 exclus,
y unde K este limita de curgere, α este aşa-numitul “back-stress”, o variabilă internă de răspuns a
S
materialului, σ este tensorul Cauchy al tensiunilor şi P= I −1I⊗I este operatorul deviatoric de
3
proiecţie, I S fiind tensorul unitate simetric de ordinul 4. Variaţia limitei de curgere y K este
descrisă considerând ecruisarea izotropică:
11

t
2 p
∫ y,0
ij ()d ,
0
,0 { β
}
K = 2 σ + [1 −exp( −βs)]
,
3
y y R
unde s =
3
ε τ τ σ este tensiunea de curgere iniţială uniaxială, iar R şi β sunt
parametrii izotropici de ecruisare. Pentru ecruisarea cinematică, s-a folosit formula neliniară
Armstrong-Frederick:
p
α= Hkinε − 2 Hnls α.
3
unde Hkin şi Hnl sunt parametrii de ecruisare cinematică.
Comportarea hipoelastică a materialului indentat este descrisă folosind legea lui Hooke:
S
el
σ = (2 G I +λI⊗I): ε ,
unde G şi λ sunt constantele Lamé.
Pentru a putea caracteriza evoluţia dinamică a procesului de indentare, ecuaţiile constitutive
de mai sus sunt formulate incremental.
În cadrul problemei inverse de identificare de parametri, cei şapte parametri elasto-plastici
de identificat pe baza testelor de nanoindentare sunt: modulul lui Young E şi coeficientul Poisson
ν pentru comportarea elastică, respectiv tensiunea de curgere iniţială uniaxială σ y,0 , parametrii
*
* izotropici de ecruisare R , β şi parametrii de ecruisare cinematică H kin , Hnl pentru comportarea
plastică neliniară. Se notează cu x vectorul ce regrupează cei şapte parametri de identificat:
y,0
* * x = ⎡⎣E ν σ R β Hkin Hnl
⎤⎦
.
Pentru a identifica aceşti şapte parametri de material necunoscuţi, rezultatele obţinute prin
simulare trebuie să corespundă cât mai exact curbei forţă-adâncime de pătrundere obţinute în
urma experimentului de nanoindentare a materialului inelastic ce se doreşte a fi caracterizat.
Figura 4 prezintă un ciclu încărcare-descărcare-reîncărcare-încărcare-descărcare, curba
experimentală forţă-adâncime de pătrundere fiind reprezentată punctat. Necunoscând apriori cei
şapte parametric de identificat, se dau valori arbitrare acestor parametri (în absenţa unei tehnici de
estimare mai elaborate), după care se simulează cu ajutorul programului de element finit SPPRc,
obţinându-se curba simulată forţă-adâncime de pătrundere, reprezentată cu linie continuă în figura
4. După cum se observă, cele două curbe (cea experimentală şi cea simulată) diferă între ele. Se
aplică o procedură de corectare iterativă a acestor parametri, cu scopul minimizării unei funcţii
obiectiv ce exprimă diferenţa dintre curba experimentală şi cea simulată.
Fig. 4. Curbele forţă-adâncime de pătrundere (curbe experimentale şi simulate) pentru un ciclu încărcare-descărcarereîncărcare-încărcare-descărcare.
T
12

Procedura de minimizare modifică iterativ cei şapte parametri până se obţine minimizarea
următoarei funcţii obiectiv:
N
∑
sim k exp k
Ξ= ⎡htip ( P ) −htip
( P ) ⎤
⎣ ⎦
k = 1
sim k
unde N este numărul de puncte de comparaţie, hvarf ( P ) este valoarea simulată a adâncimii de
k
k
pătrundere a capului indenterului în material pentru o apăsare cu forţa P , la timpul t , iar
exp k
k
hvarf ( P ) este valoarea experimentală a adâncimii de pătrundere pentru forţa de apăsare P .
Procedura de minimizare folosită constă în aplicarea succesivă a două metode de tip
gradient, şi anume mai întăi metoda Gauss-Newton şi apoi metoda Levenberg-Marquardt
(Nocedal şi Wright 1999, Ponthot şi Kleinermann 2006). Au fost folosite subrutinele Gauss-
Newton şi Levenberg-Marquardt ale librăriei Fortran IMSL (Visual Numerics Inc. 1997).
Metoda Gauss-Newton constă în următoarea corectare iterativă:
p+ 1 p p p −1
p
x = x −µ [ H ] ( ∇Ξ)
,
⎡∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ⎤
unde p este numărul iteraţiei, ∇Ξ = ⎢ y,0
* * ⎥ este
⎣∂E ∂ν ∂σ ∂R ∂β ∂Hkin ∂Hnl⎦
p
gradientul funcţiei obiectiv, H este matricea Hessiană iar p µ este un parametru de căutare a
p −1 p
celei mai mici valori a funcţiei obiectiv Ξ de-a lungul direcţiei de căutare [ H ] ( ∇Ξ)
.
Metoda Levenberg-Marquardt constă în următoarea corectare iterativă a vectorului x:
p+ 1 p p T p p −1
p T p
x = x − [( J ) J +ξ I] ( J ) Ξ ,
unde Jacobianul ( ) T
J = ∇Ξ , iar p ξ este un parametru de căutare al celei mai mici valori a
funcţiei obiectiv de-a lungul direcţiei de căutare. De remarcat faptul că matricile
2
,
T
p
H şi
p T p p −1
p T
[( J ) J +ξ I] ( J ) trebuie să fie pozitiv definite pentru ca direcţia de căutare să fie o
direcţie descendentă, de diminuare a funcţiei obiectiv.
Aplicând procedura de minimizare de mai sus problemei inverse de identificare a celor
şapte parametri elasto-plastici de material, rezultatele obţinute au fost satisfăcătoare. Identificarea
parametrilor s-a efectuat cu succes, astfel, în unul din cazurile studiate, după cum ilustrează fig. 5
s-a reuşit minimizarea funcţiei obiectiv de la Ξ initial = 0.03 [µm 2 -12
] până la Ξ = 1.28⋅ 10 [µm 2 ].
Fig. 5. Descreşterea log10 Ξ cu numărul de iteraţii efectuate.
min
13

Metodele de tip gradient precum Gauss-Newton şi Levenberg-Marquardt sunt metode de
minimizare locală, fiind necesară o bună iniţializare a parametrilor problemei inverse pentru a
converge către minimul global dorit şi nu către un minim local. Astfel, pentru a evita iniţializările
arbitrare ale celor şapte parametri de identificat, vom încerca găsirea unei metode de iniţializare
mai elaborate. De asemenea, în combinaţie cu metodele de tip gradient s-ar putea folosi şi metode
evoluate de căutare, cum ar fi algoritmii genetici.
8. Metode si algoritmi computationali
In aceasta parte a lucrarii se dezvolta urmatoarele metode (Munteanu si Donescu 2002,
2004) utilizate de noi in solutionarea problemelor de indentare.
1. Metoda directa a imprastierii
2. Metoda inversa a imprastierii
3. Metoda cnoidala
4. Metoda Hirota
5. Metoda echivalentei lineare (LEM)
6. Transformata Bäcklund
7. Analiza Painlevé
9. Programarea stocastica multiobiectiv
In aceasta parte a lucrarii se dezvolta teoria inegalitatilor variationale care isi are originea
in lucrarile lui Stampacchia si Fichera, aparute la inceputul anilor 1960, lucrarile primului fiind
motivate de teoria potentialului, ale celui de-al doilea de mecanica. In acest caz cea mai
importanta teorema de existenta a fost stabilita in 1966 de Hartman si Stampacchia.
Lucrarea de fata sugereaza mai multe moduri de utilizare a teoremelor de existenta pentru
inegalitati variationale scalare in studiul problemelor de optimizare vectoriala. Diferite metode de
scalarizare au fost folosite in studiul inegalitatilor variationale. In demonstrarea rezultatelor de
existenta, pentru inegalitati variationale scalare generalizate, se foloseste teorema Knaster-
Kuratowski-Mazurkiewicz sau diferite extinderi ale acesteia, iar pentru cele vectoriale se folosesc
teoreme de tip Ky Fan-Browder. Pentru rezolvarea problemelor de optimizare si a inegalitatilor
variationale au fost folosite diferite metode numerice incluzand metoda proiectiei si variante ale
acesteia, ecuatiile Wiener-Hopf, tehnica principiului auxiliar, tehnica descompunerii. Ideea de
baza in metoda proiectiei este de a stabili, folosind notiunea de proiectie, o problema de punct fix
echivalenta cu inegalitatea variationala ce trebuie rezolvata. Pentru convergenta acestui tip de
algoritm sunt necesare ipoteze de monotonie si continuitate Lipschitz, ceea ce determina
imposibilitatea aplicarii lui in numeroase cazuri.
Lucrarea dezvolta aspecte ale reconstructiei entropice si ale controlulului statistic al
proceselor tehnologice.
S-a considerat urmatorul model de optimizare multi-criteriala:
( 1
q )
min F ( x),..., F ( x ) , x∈ D
m D ⊂ ; 1
unde D este un set de solutii posibile, F,..., Fq: D→ . Pe scurt, problema multicriteriala
consita in cautarea unor solutii particulare * x ∈ D pentru care toate functiile
F ( x), k = 1, q , prezinta simultan valori mai mari sau cel putin nu descresc. Se studiaza de
k
14

asemenea si diferite clase speciale de probleme vectoriale de echilibru. Astfel s-au extins si
imbunatatit rezultate cunoscute, fiind introduse (Beldiman 2007, Preda si Beldiman 2007):
- clase de probleme mai generale decat cele considerate pana la acum;
- clase mai generale de aplicatii monotone si semimonotone;
- ipoteze de convexitate si inferior semicontinuitate asupra aplicatiilor y〈 Tz, η (y,x) 〉 ,
η si f, si chiar asupra aplicatiilor y 〈 Tz, (y,x) 〉+ f( y) −f(
x)
〈 η 〉+ ( ) − ( ) .
y 〈 A(z,w), (y,x) 〉
y A(z,w), (y,x) f y f x
10. Probleme de echilibru cu valori multimi
η si
Cu ajutorul teoremei lui Ky Fan, obtinem existenta solutiei unei clase de probleme de
echilibru cu functii relaxat α-pseudomonotone atat pe submultimi marginite, cat si nemarginite
ale unui spatiu Banach reflexiv. Apoi, folosind inca o data teorema Kakutani-Fan-Glicksberg
obtinem o solutie pentru o clasa de inegalitati de tip variational cu functii relaxat αsemipseudomonotone
in spatii Banach arbitrare (Beldiman 2008).
Pentru o forma particulara a lui Ψ, rezultate de existenta au fost obtinute de Kang, Huang si
Lee. In cazul set-valued, am obtinut rezultate analoage celor din §9 pentru problemele:
- Sa se gaseasca x∈ K a.i.
si
- Sa se gaseasca x∈ K a.i.
Ψ( u, y,x ) ≥0, ∀ y∈K si u ∈ T( x )
Ψ( v,y,x ) ≥α ( y,x ) , y K si v T( y)
∀ ∈ ∈ .
Relativ la aceste două probleme, avem echivalenta in urmatoarele conditii:
(i1) T general relaxat α-pseudomonotona în raport cu Ψ;
(i2) T hemicontinua în raport cu Ψ, ∀x,y ∈ K fixati;
(i3) Ψ( u, ⋅,x ) convexa ∀x∈K fixat, u ∈ T( x ) ;
(i4) Ψ ( u,x,x) = 0, ∀ x∈K si u∈ T( x ) ;
( ( t ) ) ( ) t ( ) ( )
lim y ,x / t = 0, ∀ x solutie a lui 3.2 si y = 1− t x + ty, t ∈ 0,1 , y∈K. In cazul marginit, pastrand conditiile (i1)-(i3) si (i5) si presupunand
(i6) Ψ ( u, y,x ) +Ψ ( u,x, y) = 0, ∀ x, y∈K si u ∈ T( x)
;
(i7) α ( y, ⋅)
inferior semicontinua ,
obtinem existenta unei solutii a primei probleme.
La fel ca si in cazul single-valued, peste multimi nu neaparat marginite este necesara
conditia suplimentara de coercivitate.
Acum fie X un spatiu Banach nereflexiv, K nevida, convexa si marginita in
(i5) α ( )
*
: 2 X
* ** **
A K× K → aplicatie cu valori multimi, a : X × X → si
Pentru inegalitatea
- Sa se gaseasca x∈Ka.i. *
Ψ (u,y,x) = 0, ∀y∈K si u∈ A y, x ,
**
X ,
* *
Ψ :X × K× K → functii.
( )
poate exista solutie in ipoteze de semipseudomonotonie, hemicontinuitate si continuitate finit
dimensionala a lui A.
15

11. Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru
Ideea de baza in metoda proiectiei este de a stabili, folosind notiunea de proiectie, o
problema de punct fix echivalenta cu problema de echilibru ce trebuie rezolvata. Dar pentru
convergenta acestui algoritm sunt necesare ipoteze de monotonie si continuitate Lipschitz, ceea
ce determina imposibilitatea aplicarii lui in numeroase cazuri.O alta tehnica de rezolvare a unei
inegalitati variationale este cautarea unei ecuatii Wiener-Hopf echivalente. Echivalenta a fost
studiata pentru prima data de P.Shi (1991) si S.M. Robinson (1992), dar ca pas al unui algoritm
au fost utilizate prima oara de D.Sun.
Dar tehnica proiectiei si a ecuatiilor Wiener-Hopf nu pot fi utilizate pentru anumite clase de
probleme de echilibru, care implica functii neliniare nediferentiabile, motiv pentru care a fost
introdusa tehnica principiului auxiliar. Aceasta tehnica consta in gasirea principiului variational
auxiliar si in demonstrarea faptului ca solutia problemei auxiliare (in general de echilibru sau
inegalitate variationala) este solutia problemei initiale. S-a observat ca poate fi folosita pentru
gasirea unor probleme de optimizare diferentiabila echivalente, ceea ce ne permite sa construim
functii gap. Glowinski, Lions si Tremolieres (1981) au introdus aceasta tehnica in studiul
existentei solutiilor pentru inegalitati variationale mixte. Se stie ca un numar important de metode
numerice pot fi obtinute ca si cazuri particulare ale tehnicii principiului variational auxiliar.
Pentru anumite clase de probleme de echilibru am propus metode de acest tip (Beldiman, Preda,
Batatorescu 2007).
Fie H un spatiu Hilbert real finit dimensional si K ⊂ H o multime nevida, inchisa si
convexa.
Fie φ ( ⋅⋅ , ) :H× H→∪
{ +∞}
o bifunctie continua si F ( ⋅⋅ , ) :K× K→
o functie
neliniara.
Consideram urmatoarea problema de quasi-echilibru generalizata:
- Sa se gaseasca u∈ K astfel incit
Fu,v+ φ v,u−φ u,u≥0, ∀v∈K. ( ) ( ) ( )
Am construit un algoritm pentru rezolvarea acestei probleme si am stabilit, in conditii de σpseudomonotonicitate
in raport cu F functie ξ-strimb simetrica, convergenta acestei metode
predictor-corector. Fie u∈ K , ρ> 0 , α > 0 si β constante reale. Acum cautam un w∈ K care
satisface urmatoarea problema auxiliara mixta de quasi-echilibru:
( ) ( )
ρ F(w,v) +〈 w −u, v − w〉+ρφ v,w −ρφ w,w ≥0, ∀v∈K. Bazandu-ne pe aceasta problema auxiliara propunem un algoritm iterativ de rezolvare:
- pentru un u0H ∈ , calculam solutia aproximativa un+ 1 prin schema iterativa
2
ρ Fu ,v+〈 u −u−α u −u ,v− u 〉+ρφ v,u −ρφ u ,u ≥β u −v
,
( ) ( ) ( ) ( )
n+ 1 n+ 1 n n n n− 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
∀v∈ K.
S-au analizat in detaliu metodele de scalarizare pentru clase de inegalitati variationale
(Beldiman 2007).
16

12. Initierea unor noi tipuri de experiente pe baza teoriilor de nanomecanica
computationala
Istoria instrumentatiei la nanoscara este relativ scurta, in jur de douazeci de ani. Primele
studii s-au facut 1981 cand Heinrich Rohrer si Gerd Binnig (IBM Research in Zurich), au inventat
microscopul STM (scanning tunnelling microscope). De atunci o serie de masini si instrumente
au fost inventate si construite, incluzand in mod special microscopul AFM (atomic force
microscope). Nanoindentarea este un instrument eficient de investigare a proprietatilor mecanice
ale materialelor la mici dimensiuni. Ne referim la testarea sensibila a adancimii de indentare in
domeniul nanometric prin utilizarea echipamentelor care realizeaza indentari fine si inregistreaza
in acelasi timp forta si deplasarea cu mare acuratete si precizie, si modele de analiza avansate care
interpreteaza datele experimentale pentru a obtine rigiditatea, duritatea si alte proprietati
mecanice. Testele de indentare clasica au fost utilizate initial si sunt utilizate si in prezent pentru a
masura modulul de elasticitate al lui Young si duritatea materialului, pe baza teoriilor clasice
liniare ale elasticitatii, fara sa se obtina informatii privind proprietatile viscoelastice si
capabilitatile de amortizare ale materialelor.
Limitarile metodelor curente de nanoindentare sunt:
▪ calculul modulului de elasticitate al lui Young (bazat pe curba de descarcare) si al duritatii
este limitat la materiale izotrope, liniare;
▪ problemele asociate cu fenomenle de pile-up sau sink-in la frontiera indenterului in timpul
procesului de indentare, continua sa genereze multe discutii;
▪ nu se ofera informati suficiente asupra proprietatilor elastice si vascoelastice pentru
materiale nanostructurate anizotrope, neomogene si neliniare;
▪ nu se obtin informati sufiecinet relativ la evaluarea si masurarea capacitatii de amortizare
a materialelor nanostructurate;
▪ teoriile existente esueaza in afara domeniului mecanicii clasice liniare.
Proprietatile materialelor la dimensiune mica sunt foarte diferite de cele la macroscara.
Principala limita este data de faptul ca efecte intim legate de interactiuni la diferite scari metrice
nu sunt luate in consideratie in teoriile actuale pe care se bazeaza masuratorile prin
nanoindentare.
In prezent, din analiza dinamica se obtin informatii limitate privind amortizarea pentru
materialele cu amortizare redusa, insa pentru materialele cu amortizare mare cum este cauciucul,
rezultatele sunt departe de realitate.
Un rezultat incorect privind capacitatea de amortizare a materialelor poate cauza schimbari
de design care pot cauza reduceri nedorite ale rezistentei si rigiditatii. Noul concept propus consta
in construirea unei linii de indentere care se misca cu viteza v, unele din ele actionand pe fiecare
parte a suprafatei probei in directii opuse, sau actionand pe o parte, cealalata parte a probei fiind
incastrata (fig.6). In acest fel este posibila evaluarea nu numai a proprietatilor elastice dar si a
capacitatii de amortizare, libere de efectul de substrat.
17

Fig.6. Reprezentarea schematica a conceptului a doua indentere care se misca cu aceeasi viteza in aceeasi directie pe
suprafata probei.
Bibliografie
Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (2002). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J.
Global Optim., 22, 3-16.
Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (2005). Generalized vector quasi-variational inequality problems over product
sets, J. Global Optim., 22, 437-449.
Ansari, Q.H., Khan, Z., Siddiqi, A.H. (2005). Weighted variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., 127, 263-283.
Ansari Q.H., Konnov I.V., Yao, J.C. (2002). Characterization of solutions for a vector equilibrium problems, J. Optim.
Theory Appl., 113, 435-447.
Ansari, Q.H., Yao, J.C., Schaible, S. (2002). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J.
Global Optim., 22, 3-16.
Ansari, Q.H., Yao, J.C. (1999). A fixed point theorem and its applications to the system of variational inequalities, Bull.
Austral. Math. Soc., 59, 433-442.
Ansari, Q.H., Oettli, W. Schlager, D. (1997). A generalization of vectorial equilibria, Math. Meth. Oper. Res., 46, 547-
557.
Ansari, Q.H., Schaible, S., Yao, J.C. (2002). System of generalized vector equilibrium problems with applications, J.
Global Optim., 22, 3-16.
Ansari, Q.H., Schable, S., Yao, J.C. (2005). Generalized vector quasi-variational inequality problems over product sets,
J. Global Optim., 22, 437-449.
Ansari, Q.H., Khan, Z., Siddiqi, A.H. (2005). Weighted variational inequalities, J. Optim. Theory Appl., 127, 263-283.
Armstrong-Helvouvry, B., Dupont, P., Canudas De Wit, C. (1994). A survey of models, analysis tools and
compensation methods for the control of machines with friction, Automatica, 30, 7, 1083-1138.
Badea, T., Nicolescu, C.M. (2003). A Preisach model of hysteretic behavior of nonlinear mesoscopic elastic materials
in „Topics in Applied Mechanics” (ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol. 1, cap. 1, Ed. Academiei.
18

Beldiman, M., Stanciu, D. (2007). Inegalitati variationale vectoriale si inegalitati variationale scalare asociate, Conf.
Societatii de Probabilitati si Statistica din Romania, ASE, Facultatea de Cibernetica, Statistica si Informatica
Economica.
Beldiman, M., Ilie, A. (2007). On optimality and duality in multiobjective programming problems, Conf. Societatii de
Probabilitati si Statistica din Romania, ASE, Facultatea de Cibernetica, Statistica si Informatica Economica.
Beldiman, M. (2008). Equilibrium problems with set-valued mappings in Banach spaces, va apare in Nonlin. Anal.
Beldiman, M., Preda, V., Batatorescu, A. (2007). Some results for equilibrium problems systems, EUROPT OMS
Meeting (2 nd Conference on Optimization Methods & Software and 6 th EUROPT Workshop on Advances in
Continuum Optimization), 4-7 iulie 2007, Praga.
Beldiman, M. (2007). A modified predictor-corrector method for a generalized equilibrium problem, Anal. Univ. Buc.,
seria Informatica.
Beldiman, M., Preda, V. (2007). Some existence results for a class of relatively B-pseudomonotone variational
inequalities over product set, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences,
Information Science, 8, 1.
Beldiman, M., Paraschiv, A., Cojocaru, O. (2007). On multiobjective programming problems containing n-set functions,
Anal. Univ. Buc., seria Matematica.
Beldiman, M., Preda, V., Batatorescu, A. (2007), A modified predictor-corrector method for a class of equilibrium
problems .ICIAM 2007 (6 th International Congress on Industrial and Applied Mathematics ), 16-21 iulie 2007, Zurich.
Beldiman, M., Batatorescu, A. (2007). An application of some algorithms for special classes of stochastic models,
EUROXXII 2007 (22 nd European Conference on Operational Research), 8-14 iulie 2007, Praga.
Beldiman, M. (2007). Weighted variational inequalities with set-valued mappings, Revue Roum. Math. Purres Appl.,
52(3), 315-327.
Beldiman, M., Stanciu, D. (2007). On topological properties of solution set for a class of variational inequalities, 6-th
Congress of Romanian Mathematicians, 28 iunie-4 iulie 2007, Bucuresti.
Berger E.J. (2001). Friction modeling for dynamic system simulation, Applied mechanics review.
Blok H. (1940). Fundamental mechanical aspects of boundary lubrication, Society of automotive engineers Journal,
46(2), 54-68.
Bowden, F.P., Tabor D. (1950). The friction and lubrication of solids, part 1, Clarendon Press, Oxford.
Blum, E., Oettli, W. (1994). From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Mathematics
Student, 63, 123-145.
Brezis, H., Nirenberg, L., Stampacchia, G. (1972). A remark on Ky Fan's minimax principle, Boll. Un. Math. Ital., 6,
293-300.
Cadek, J. (1988). Creep in Metallic Materials, Ed. Elsevier, Amsterdam.
Chen, Y. (1999). On the Connectedness of the Solution Set for the Weak Vector Variational Inequality, J. Math. Anal.
Appl., 260, 1-5.
Chen, X.Q., Chang, S.S. (1988). Vector Variational Inequalities and Vector Optimization, Lect. Notes in Economics
and Math. Systems, Springer-Verlag.
Chen, G.Y., Goh, C.I., Yang, X.Q. (2000). On the Gap Functions for Vector Variational Inequalities in Vector
Variational Inequalities and Vector Equilibria (ed. F.Giannessi), 52-57, Ed. Kluwer.
Chen, Y.Q., Li, S.J. (1996). Existence of solutions for a generalized vector variational inequality, J. Optim. Theory
Appl., 90, 321-334.
Chiroiu, V., Chiroiu, C. (2003). Probleme inverse in mecanica, Editura Academiei, Bucuresti.
Chiroiu, V., Donescu, Şt., Munteanu, L. (2005). The different effects of damping on dynamic instability, ASME Fifth
International Conference on Multibody Systems, Nonlinear Dynamics and Controls, IDETC/CIE 2005, 20 th Biennal
Conference on Mechanical Vibration and Noise, VIB4 Nonlinear Dynamics, Optimization and Reliability of
Mechanics, Paper DETC2005-84055, 24-29 septemebrie 2005, Long Beach, California.
Chiroiu, V., Fibi, H., Dumitriu, D. (2007). On the equipments and methods for damping characterization of
nanostructured materials and systems, SGE Safety Goes Europe, Rethimno-Crete, Greece 15-22 iunie 2007.
19

Chiroiu, V., Munteanu, L., Ştiucă, P. (2005). On the modeling of nanostructured materials, in „Topics in Applied
Mechanics” (ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol. 3, cap. 3, Ed. Academiei.
Chiroiu, V. (2003). Identification and inverse problems related to material properties and behavior, in „Topics in
Applied Mechanics” (ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol. 1, cap. 4, Ed. Academiei.
Chiroiu, V., Ştiucă, P., Munteanu, L., Donescu, Şt. (2005). Introducere in nanomecanica, Editura Academiei.
Chiroiu, V., Fibi, H. (2007). On the equipments and methods for damping characterization of nanostructured materials
and systems, SGE Safety Goes Europe, Rethimno-Crete, Greece 15-22 iunie 2007.
Chowdhury, M.S.R., Tan, K.K. (1996). Generalization of Ky Fan minimax inequality with applications to generalized
variational inequalities for pseudomonotone operators and fixed point theorems, J. Math. Anal. Appl., 204, 910-926.
Chowdhury, M.S.R., Tan, K.K. (1997). Generalized variational inequalities for quasimonotone operators and
applications, Bull. Polish Acad. 45, 25-54.
Clarence W. de Silva (2000). Vibration Engineering, Vibration: Fundamentals and Practice, CRC Press, Boca Raton.
Courtney-Pratt, J.S., Eisner E. (1957). The effect of a tangential force on the contact of metallic bodies, Proceedings of
Royal society of London, 238, 529-550.
Curtin, W.A., Miller, F. (2003). Atomistic/continuum coupling in computational material science, Modelling and
Simulation in Materials Science and Engineering, 11, R33–R68.
D’Souza A.F., Dweib A.H. (1990). Self-Excited Vibrations Induce by Dry friction, part 2: Stability and limit cycle
Analysis, J. Sound & Vibration, 137(2), 177-190.
Deimling, K. (1984). Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin.
Delsanto, P.P., Provenzano, V., Uberall, H. (1992). Coherency strain effects in metalic bilayers, J. Phys.: Condens.
Matter, 4, 3915-3928.
Den Hartog (1931). Forced Vibrations with Combined Coulomb and Viscous Friction, ASME APM-53 (9), 107-115.
Dieterich, J.H. (1978). Time dependent friction in the mechanics of stick-slip, Pure and applied geophysics, 116, 790-
806.
Ding, X.P. (2000). Existence of solutions for quasi-equilibrium problems in noncompact topological spaces, Comput.
Math. Appl., 39, 13-21.
Donescu, St., Munteanu, L. (2004). The effect of damping on the stability of dynamical systems, in “Topics in Applied
Mechanics” (ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol.2, cap. 4, Ed. Academiei.
Dumitriu, D., (2007). 3x3 Rotation matrices used to represent 3D Rotations in multibody dynamics. Numerical and
mechanical interpretations of the associated Lagrange multipliers, workshop RICAM - Johann Radon Institute for
Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences, iulie 2007, Linz, Austria.
Dumitriu, D. (2007). Nanoscale modeling of the elastic contact between a rigid indenter and an elastic half-space,
ICIAM 2007 (6 th International Congress on Industrial and Applied Mathematics), 16-21 iulie 2007, Zurich.
Dumitriu, D., Chiroiu, V. (2007). On the modelling of nanocontacts, Rev. Roum. Sci. Techn., serie Mecanique Appl.,
52, 1.
Dumitriu, D., Chiroiu, V. (2006). On the dual equations in contact elasticity, Rev. Roum. Sci. Techn., serie Mecanique
Appl., 51, 3, 261-272.
Dumitriu, D., Rauchs, G., Chiroiu, V. (2007). Optimization procedure for material parameter identification in
indentation testing, SISOM (Simpozionul Anual al Institutului de Mecanica Solidelor), mai 2007, Bucureşti.
Engelbrecht, J. (1991). An introduction to asymmetric solitary waves, Longman Scientific & Technical, John Wiley &
Sons, New York.
Engelbrecht, J., Khamidullin, Y. (1988). On the possible amplification of nonlinear seismic waves, Phys. Earth. Plan.
Int., 50, 39-45.
Eringen, A.C. (1967). Mechanics of Continua, John Wiley&Sons, New-York.
Fan, K. (1984). Some properties of convex sets related to fixed-point theorems, Math. Ann., 266, 519-537.
Feeny B., Guran A. (1998). Historical Review on Dry Friction and Stick-Slip Phenomenon, Applied mechanics review,
51, 5, 8.
20

Ferris, M., Pang, J.S. (1997). Engineering and economic applications of complementarity problems, SIAM Rev. 39,
669-713.
Fichera, G. (1963-1964). Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue
condizioni al contorno, Atti Accad. Naz. Lincei, 8, 91-140.
Flores-Bazan, F. (2000). Existence theorems for generalized noncoercive equilibrium problems:The quasiconvex case,
SIAM J. on Optim.,11, 675-690.
Fujiwara, M., Otsuka, M. (1999). J. Japan. Inst. Metals, 63, 760; (2001), Mater. Sci. Engng, A319, 929.
Hartman, P., Stampacchia, G. (1966). On some non-linear elliptic differential-functional equations, Acta Math., 115,
271-310.
Hess, D.P., Soom, A. (1990). Friction at lubricated line contacts operating at oscillating sliding velocities, Journal of
Tribology, 112, 147-152.
Hughes, T.J.R. (1987). The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis, Englewood Cliffs,
Prentice-Hall, NJ.
Gianessi, F. (1980). Theorems of alternative, quadratic programs and complementarity problems, in „Variational
Inequalities and Complementarity Problems” (ed: R.W. Cottle, F.Giannessi, J.L. Lions), J.Wiley, New York.
Giannessi, F. (ed.) (2000), Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht, Holland.
Glowinski, R., Lions, P., Tremolieres, R. (1981). Numerical Analysis of Variational Inequalities, North-Holland,
Amsterdam.
Ibrahim, R.A. (1992). Friction induced vibration, chatter, squeal, and chaos: Part I: Mechanics of friction, Applied
mechanics review, 49, 107-121.
IMSL Math/Library vol. 1 and 2 - FORTRAN Subroutines for Mathematical Applications (1997). Visual Numerics,
Inc., p. 867-1029 (cap. 8: Optimization).
Jankowski, A.F., Tsakalakos, T. (1985). The effect of strain on the elastic constants of noble metals, J. Phys. F: Met.
Phys., 15, 1279-1292.
Jankowski, A.F. (1988). Modelling the supermodulus effect in metallic multilayers, J. Phys. F: Met. Phys., 18, 413-427.
Kano, M.K., Huang, N.J, Lee, B.S. (2003). Generalized pseudo-monotone set-valued variational-like inequalities,
Indian J. Math., 45, 251-264.
Kato, S., Matsubayashi A. (1978). On the dynamic behavior of machine-tool slideway – 1st report, Bull. J.S.M.E., 13,
170-179.
Kassay, G., Kolumban, I. (2000). Variational inequalities given by semi-pseudomonotone mappings, Nonlin. Anal.
Forum, 5, 35-50.
Kondepudi, R. (2003). Numerical Analysis of Lumped-Parameter Dynamic Systems with Friction, University of
Cincinatti, Master of science thesis.
Konnov, I.V., Yao, J.C. (1997). On the generalized vector variational inequality problems, J. Math. Anal. Appl., 206,
42-58.
Lee, G.M., Kim, S., Lee, B.S. (1996). Generalized Vector Variational Inequality, Appl. Math. Lett., 9, 39-42.
Lifshitz, R., Roukes, M.L. (2000). Phys. Rev. B., 61, 5600.
Luc, D.T. (1989). Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer
Verlag, New York.
Ludema, K.C. (1996). Friction, Wear and Lubrication, CRC Press, Boca Raton.
Mihailescu, M., Chiroiu, V. (2004). Advanced mechanics on shells and intelligent structures, Ed. Academiei,
Bucuresti.
Minty, G.J. (1962). Monotone (nonlinear) operators in Hilbert spaces, Duke Math. J., 29, 341-346.
Mitu, A.M., Dumitriu, D., Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Munteanu, L. (2007). On the nonlocal theory of elastic
nanoindentation, ICSAM (International Conference on Structural Analysis of Advanced Materials), 2-6 septembrie
2007, Patras, Grecia.
21

Mukherjee, A.K., Bird, J.E., Dorn, J.E. (1969). Trans. Am. Soc. Metals, 62, 155.
Munteanu, L., Delsanto, P.P., Chiroiu, C., Donescu, St. (2001). On the behaviour of nonlinear mesoscopic materials,
Analele Ştiinţifice ale Universităţii “Ovidius” Constanţa, Seria Matematică, 41-46.
Munteanu, L., Donescu, Şt. (2002). Introducere în teoria solitonilor. Aplicaţii in Mecanică, Ed. Academiei, Bucureşti.
Munteanu, L., Delsanto, P.P., Dumitriu, D. (2007). On the modeling of the Euler-Bernoulli beams with auxetic patchs,
SISOM (Simpozionul Anual al Institutului de Mecanica Solidelor), mai 2007, Bucureşti.
Munteanu, L. (2003). Statics and dynamics of the thin elastic rod, in „Topics in applied mechanics” (ed. V. Chiroiu, T.
Sireteanu), vol. 1, cap. 10, 267-300, Editura Academiei, Bucureşti.
Munteanu, L., Chiroiu, V., Dumitriu, D., Baldovin, D., Chiroiu, C. (2007). On the eigenfrequency optimization of
Euler-Bernoulli beams with nonlocal damping patches, Rev. Roum. Sci. Techn., serie Mecanique Appl., 52, 2.
Munteanu, L., Donescu, St. (2004). Introduction to Soliton Theory: Applications to Mechanics, Book Series
“Fundamental Theories of Physics”, 143, Kluwer Academic Publishers.
Munteanu, L., Chiroiu, C. (2005). On the mechanical behavior of carbon nanotubes with single-atomic-layer walls,
AMSE: Modelling, Measurement and Control, Series B: Mechanics and Thermics, 74.
Munteanu, L., Dumitriu, D., Rugina, C. (2007). Aspecte ale complexitatii modelarii compozitelor auxetice, Conferinţa
Naţională de Mecanica Solidelor CNMSXXXI, 309-312, 27-29 septembrie 2007, Chisinau.
Munteanu, L., Dumitriu, D., On the auxetic behavior of materials, Conference on Multibody Systems’ Dynamics, 25-
26 octombrie 2007, Piteşti.
Nocedal, J., Wright, S.J. (1999). Numerical Optimization, Springer Verlag, New York.
Noor, M.A. (2005). Invex equilibrium problems, J. Math. Anal. Appl., 302, 463-475.
Noor, M.A., Oettli, W. (1994). On general nonlinear complementarity problems and quasi-equilibria, Le
Mathematiche (Catania), 49, 313-331.
Oden, J.T., Martins J.A.C. (1985). Models and computational methods for dynamic friction phenomenon,
Computational Methods Applied Mechanical Engineering, 52, 527-634.
Ponthot, J.-P., Kleinermann, J.-P., (2006). A cascade optimization methodology for automatic parameter identification
and shape/process optimization in metal forming simulation, Computational Methods Applied Mechanical
Engineering, 195, 5472-5508.
Preda, V., Batatorescu, A., Beldiman, M. (2007). Nondifferentiable Minmax Fractional Programming with Square
Root Terms, Proceedings of the 7-th Balkan Conference on Operational Research, 23-39, Bucuresti.
Preda, V., Beldiman, M., Batatorescu, A. (2007). On variational-like inequalities with generalized monotone mappings,
in „Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems” (ed: I.V. Konnov, D.T. Luc, A.M. Rubinov), 431-452,
Springer.
Rafii-Tabar, H. (2000). Modelling the nano-scale phenomena in condensed matter physics via computer-based
numerical simulations, Phys. Rep., 325, 239-310.
Rauchs, G., (2006). Optimization-based material parameter identification in indentation testing for finite strain elastoplasticity,
ZAMM - Z. Angew. Math. Mech., 86, 7, 539-562.
Rice, J.R., Ruina A.L. (1983). Stability of steady frictional slipping, Journal of applied mechanics, 50, 343-349.
Robinson, M. (1992). Normal maps induced by linear transformations, Math. Opers. Research, 17, 641-714.
Sampson, J.B., Morgan F., Reed D.W., Muskat, M. (1943). Friction behavior during the slip portion of the stick-slip
process, Journal of Applied Physics, 14, 689-700.
Sawanagi, I., Nakaiama, H., Tamino, T. (1985). Theory of Multiobjective Optimization, Academic Press, New-York.
Seifert, T., Schenk, T., Schmidt, I. (2007). Efficient and modular algorithms in modeling finite inelastic deformations:
Objective integration, parameter identification and sub-stepping techniques, Computational Methods Applied
Mechanical Engineering, 196, 2269-2283.
Shenoy, V. B. (2003). Multi-scale modeling strategies in material science – the quasicontinuum method, Bull. Mater.
Sci., 26, 1, 53-62.
Shenoy, V. B. (1998). Quasicontinuum models of atomic-scale mechanics, Teză de doctorat, Brown University,
Providence, RI, USA.
22

Shi, P. (1991). Equivalence of Variational Inequalities with Wiener-Hopf equations, Proc. AMS 111, 339- 346.
Solomon, L. (1969). Elasticitate liniară. Introducere matematică în statica solidului elastic, Editura Academiei.
Stampacchia, G. (1964). Formes biliniaires coercitives sur les ensemble convexes, C.R. Acad Sci. Paris, 258, 4413-
4416.
Stanescu, D.N., Munteanu, L., Chiroiu, V., Pandrea, N. (2007). Dynamical systems. Theory and Applications, vol. 1,
Editura Academiei, Bucureşti.
Stribeck, R. (1902). The key qualities of sliding and roller bearings, Zeitschrift des vereines seutscher ignenieure, 46,
38, 1342-1348 & 46, 39, 1432-1437.
Sun, D. (1994). A projection and contraction method for the non-linear complementarity problem and its extensions,
Math. Numer. Sinica, 16, 183-194.
Ştiucă, P., Chiroiu, V., Nicolescu, C.M. (2004). On the mechanical behavior of nanostructured materials, in „Topics in
Applied Mechanics” (ed. V.Chiroiu, T.Sireteanu), vol. 2, cap. 12, 355-390, Editura Academiei, Bucureşti.
Tadmor, E.B., Ortiz, M., Phillips, R. (1996). Quasicontinuum analysis of defects in solids, Phil. Mag. A, 73, 1529-
1563.
Tadmor, E.B., Smith, G.S., Bernstein, N., Kaxiras, E. (1999). Mixed finite element and atomistic formulation for
complex crystals, Physical Review B, 59, 1, 235–245.
Takagi, H., Dao, M., Fujiwara, M., Otsuka, M (2003). Experimental and computational creep characterization of Al-
Mg solid–solution alloy through instrumented indentation, Philosophical Magazine, 83, 35, 3959-3976.
Tanaka, M., Nakamura, M. (1994). Application of genetic algorithm to plural defects identification, in „Inverse
Problems in Engineering Mechanics” (ed. H.D.Bui, M.Tanaka et al.), 377-382, A.A.Balkema/ Rottardam/Brookfield.
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V., Dumitriu, D., Munteanu, L. (2007). On the dynamics of carbon nanotubes by taking into
consideration the van der Waals force, 2 nd International Conference “Computational Mechanics and Virtual
Engineering” COMEC, 11-13 octombrie 2007, Brasov.
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V. (2007). On the nanomechanics of carbon nanotubes, Trends and Challenges in Applied
Mathematics ICTCAM, 20-23 iunie 2007, Bucureşti.
Teodorescu, P.P. (1984–2002). Sisteme mecanice: modele clasice, I-IV, Editura Tehnică, Bucureşti.
Teodorescu, P.P., Chiroiu, V. (2007). O teorie atomistic-continua a incovoierii nanotuburilor de carbon, Conferinţa
Naţională de Mecanica Solidelor CNMSXXXI, 39-42, 27-29 septembrie 2007, Chişinău.
Teodorescu, P.P., Toma, I. (2004). Nonlinear elastic deformation treated by LEM, in „Topics in Applied Mechanics”
(ed. V. Chiroiu, T. Sireteanu), vol. 2, cap. 13, 391-442, Editura Academiei, Bucureşti.
Teodorescu, P.P., Nicorovici, N.A.P. (2004). Applications of the theory of groups in mechanics and physics, Book
Series “Fundamental Theories of Physics”, 140, Kluwer Academic Publishers.
Teodorescu, P.P., Munteanu, L., Chiroiu, V. (2005). On the wave propagation in chiral media, Proceed. “New Trends
in Continuum Mechanics-2003 Constanta”, 295-302, Editura Thetha Foundation, Bucureşti.
Teodosiu, C. (1982). Elastic models of crystal defects, Ed. Acad., Springer-Verlag.
Teodosiu, C. (1967). Nonlinear theory of materials of grade two with initial stresses and hyperstresses, I, II, Bull.
Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Techn., 15, 95-110.
Tolstoi, D.M., Borisova, G.A., Grigorova, S.R. (1971). Role of intrinsic contact of oscillations in normal direction
during friction, Nature of Friction in Solids, Nauka I Tekhnica, Minsk.
Toma, I. (1995). Metoda echivalenţei liniare şi aplicaţiile ei (Linear equivalence method and its applications). Ed.
Flores, Bucureşti.
Toupin, R.A, Bernstein, B. (1961). Sound waves in deformed perfectly elastic materials. Acoustoelastic effect, J.
Acoust. Soc. Am., 33, 2, 216-225.
Verma, R.U. (1998). On monotone nonlinear variational inequality problems, Com. Math. Univ. Carolinae, 39, 91-98.
Volfson, D., Kudrolli, A., Tsimring L.S. (2004). Anisotropy driven dynamics in vibrated granular rods, Physical
Review E., 70, 051312.
Wells J.H. (1929). Kinetic boundary friction, The Engineer, London 147.
23

Yang, X.Q., Goh, C.J. (2000). Scalarization Method for Vector Variational Inequality, in „Vector Variational
Inequalities and Vector Equilibria” (ed. F.Giannessi), Kluwer Academic Publishers.
Yang, X.Q., Yao, J.C. (2002). Gap functions and existence of set-valued vector variational inequalities, J. Optim.
Theory Appl., 115, 407-417.
Zeidler, E. (1988). Nonlinear functional Analysis and its applications. IV. Applications in Mathematical Physics,
Springer-Verlag.
Zener, C. (1937). Phys. Rev., 52, 230.
Zener, C. (1947). Mechanical behavior of high damping metals, J. Appl. Phys., 18, 1022.
Zener, C. (1948). Elasticity and anelasticity of metals, University of Chicago Press, Chicago III.
Zener, C. (1949). Relaxation phenomena in metals, Physica, 15, 1-2, 111–118.
24