Cercetare de Ex - Institutul de Mecanica Solidelor

11. Metode de rezolvare pentru probleme de echilibru
Ideea de baza in metoda proiectiei este de a stabili, folosind notiunea de proiectie, o
problema de punct fix echivalenta cu problema de echilibru ce trebuie rezolvata. Dar pentru
convergenta acestui algoritm sunt necesare ipoteze de monotonie si continuitate Lipschitz, ceea
ce determina imposibilitatea aplicarii lui in numeroase cazuri.O alta tehnica de rezolvare a unei
inegalitati variationale este cautarea unei ecuatii Wiener-Hopf echivalente. Echivalenta a fost
studiata pentru prima data de P.Shi (1991) si S.M. Robinson (1992), dar ca pas al unui algoritm
au fost utilizate prima oara de D.Sun.
Dar tehnica proiectiei si a ecuatiilor Wiener-Hopf nu pot fi utilizate pentru anumite clase de
probleme de echilibru, care implica functii neliniare nediferentiabile, motiv pentru care a fost
introdusa tehnica principiului auxiliar. Aceasta tehnica consta in gasirea principiului variational
auxiliar si in demonstrarea faptului ca solutia problemei auxiliare (in general de echilibru sau
inegalitate variationala) este solutia problemei initiale. S-a observat ca poate fi folosita pentru
gasirea unor probleme de optimizare diferentiabila echivalente, ceea ce ne permite sa construim
functii gap. Glowinski, Lions si Tremolieres (1981) au introdus aceasta tehnica in studiul
existentei solutiilor pentru inegalitati variationale mixte. Se stie ca un numar important de metode
numerice pot fi obtinute ca si cazuri particulare ale tehnicii principiului variational auxiliar.
Pentru anumite clase de probleme de echilibru am propus metode de acest tip (Beldiman, Preda,
Batatorescu 2007).
Fie H un spatiu Hilbert real finit dimensional si K ⊂ H o multime nevida, inchisa si
convexa.
Fie φ ( ⋅⋅ , ) :H× H→∪
{ +∞}
o bifunctie continua si F ( ⋅⋅ , ) :K× K→
o functie
neliniara.
Consideram urmatoarea problema de quasi-echilibru generalizata:
- Sa se gaseasca u∈ K astfel incit
Fu,v+ φ v,u−φ u,u≥0, ∀v∈K. ( ) ( ) ( )
Am construit un algoritm pentru rezolvarea acestei probleme si am stabilit, in conditii de σpseudomonotonicitate
in raport cu F functie ξ-strimb simetrica, convergenta acestei metode
predictor-corector. Fie u∈ K , ρ> 0 , α > 0 si β constante reale. Acum cautam un w∈ K care
satisface urmatoarea problema auxiliara mixta de quasi-echilibru:
( ) ( )
ρ F(w,v) +〈 w −u, v − w〉+ρφ v,w −ρφ w,w ≥0, ∀v∈K. Bazandu-ne pe aceasta problema auxiliara propunem un algoritm iterativ de rezolvare:
- pentru un u0H ∈ , calculam solutia aproximativa un+ 1 prin schema iterativa
2
ρ Fu ,v+〈 u −u−α u −u ,v− u 〉+ρφ v,u −ρφ u ,u ≥β u −v
,
( ) ( ) ( ) ( )
n+ 1 n+ 1 n n n n− 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
∀v∈ K.
S-au analizat in detaliu metodele de scalarizare pentru clase de inegalitati variationale
(Beldiman 2007).
16