Cercetare de Ex - Institutul de Mecanica Solidelor

6. Modelarea indentarii incluzand fenomenele de curgere plastica, relaxare si efecte termice
caracterizate prin gradienti de temperatura
Mecanismul de relaxare în solide cu comportament vâscoelastic poate fi explicat prin
variaţia câmpului de tensiune în material. Considerăm două stări ale unui sistem mecanic,
caracterizate prin două valori diferite ale energiei, separate printr-un potenţial barieră sau energie
de activare, de amplitudine H . Înainte de aplicarea forţei exterioare, sistemul se află în starea sa
de energie minimă. Prin aplicarea unei forţe exterioare, energia sistemului creşte. Dacă sistemul
poate depăşi potenţialul barieră, atunci este posibilă tranziţia de la prima stare la starea a doua, şi
sistemul se relaxează deoarece diferenţa dintre energiile celor două stări se pierde. Pentru a
descrie matematic fenomenul de relaxare a tensiunilor utilizăm modelele reologice. În fig.2 sunt
reprezentate câteva modele reologice, şi anume un element elastic Hooke care descrie
comportarea elastică (fig.2a), un element Newton pentru a descrie comportarea vâscoasă (fig.2b),
un element St. Venant pentru descrierea amortizării coulombiene (fig.2c), şi un element Zener
pentru descrierea relaxării tensiunilor (fig.2d). Elementul Zener constă dintr-un element
Hooke legat în paralel cu un element Newton, şi un element adiţional Hooke legat în serie.
Fig. 2. Modele reologice: a) element Hooke; b) element Newton ; c) element St. Venant; d) element Zener.
Relaxarea termoelastică a fost confirmată experimental de câtre Zener în 1937. Pornind de
la această lucrare, Lifshitz şi Roukes (2000) au dezvoltat un model de relaxare termoelastică
pentru bara Euler-Bernoulli. Prezentăm în continuare acest model. Legea constitutivă a barei se
consideră de forma
1
ν
ε z = σ z +α T , ε x =ε y =− σ x +α∆ T ,
E
E
unde α este coeficientul de expansiune termică, E modulul de elasticitate Young, ν
coeficientul lui Poisson şi T temperatura absolută. Ecuaţia de mişcare devine
2 2
∂ ux ∂ ⎛ ∂ u ⎞
x
ρ A + EI 0
2 2 ⎜ y + Eα I
2 T ⎟=
,
∂t ∂z ⎝ ∂z
⎠
unde inerţia termică I T este definit astfel IT= x∆Tdd x y.
Ecuaţia de transfer termic în prezenţa
cuplării termoelastice în direcţia y se scrie
∫
A
2 2
⎛ 1+
ν ⎞∂∆T
∂ ∆T ∆ E ∂ u
⎜1+ 2∆
E ⎟ = Dth + y ,
2 2
⎝ 1−2ν⎠ ∂t ∂x α ∂x
9