Cercetare de Ex - Institutul de Mecanica Solidelor

Procedura de minimizare modifică iterativ cei şapte parametri până se obţine minimizarea
următoarei funcţii obiectiv:
N
∑
sim k exp k
Ξ= ⎡htip ( P ) −htip
( P ) ⎤
⎣ ⎦
k = 1
sim k
unde N este numărul de puncte de comparaţie, hvarf ( P ) este valoarea simulată a adâncimii de
k
k
pătrundere a capului indenterului în material pentru o apăsare cu forţa P , la timpul t , iar
exp k
k
hvarf ( P ) este valoarea experimentală a adâncimii de pătrundere pentru forţa de apăsare P .
Procedura de minimizare folosită constă în aplicarea succesivă a două metode de tip
gradient, şi anume mai întăi metoda Gauss-Newton şi apoi metoda Levenberg-Marquardt
(Nocedal şi Wright 1999, Ponthot şi Kleinermann 2006). Au fost folosite subrutinele Gauss-
Newton şi Levenberg-Marquardt ale librăriei Fortran IMSL (Visual Numerics Inc. 1997).
Metoda Gauss-Newton constă în următoarea corectare iterativă:
p+ 1 p p p −1
p
x = x −µ [ H ] ( ∇Ξ)
,
⎡∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ∂Ξ ⎤
unde p este numărul iteraţiei, ∇Ξ = ⎢ y,0
* * ⎥ este
⎣∂E ∂ν ∂σ ∂R ∂β ∂Hkin ∂Hnl⎦
p
gradientul funcţiei obiectiv, H este matricea Hessiană iar p µ este un parametru de căutare a
p −1 p
celei mai mici valori a funcţiei obiectiv Ξ de-a lungul direcţiei de căutare [ H ] ( ∇Ξ)
.
Metoda Levenberg-Marquardt constă în următoarea corectare iterativă a vectorului x:
p+ 1 p p T p p −1
p T p
x = x − [( J ) J +ξ I] ( J ) Ξ ,
unde Jacobianul ( ) T
J = ∇Ξ , iar p ξ este un parametru de căutare al celei mai mici valori a
funcţiei obiectiv de-a lungul direcţiei de căutare. De remarcat faptul că matricile
2
,
T
p
H şi
p T p p −1
p T
[( J ) J +ξ I] ( J ) trebuie să fie pozitiv definite pentru ca direcţia de căutare să fie o
direcţie descendentă, de diminuare a funcţiei obiectiv.
Aplicând procedura de minimizare de mai sus problemei inverse de identificare a celor
şapte parametri elasto-plastici de material, rezultatele obţinute au fost satisfăcătoare. Identificarea
parametrilor s-a efectuat cu succes, astfel, în unul din cazurile studiate, după cum ilustrează fig. 5
s-a reuşit minimizarea funcţiei obiectiv de la Ξ initial = 0.03 [µm 2 -12
] până la Ξ = 1.28⋅ 10 [µm 2 ].
Fig. 5. Descreşterea log10 Ξ cu numărul de iteraţii efectuate.
min
13