CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

Definiţie O formă bilibiară g: V V K se numeşte
a) simetrică dacă g(x,y) = g(y,x) , x ,y V
b) antisimetrică dacă g(x,y) = - g(y,x). x ,y V.
Fie Vn un spaţiu vectorial n-dimensional , B ={e1,e2,…,en} o bază
n
în spaţiul vectorial Vn şi doi vectori oarecare x = i i e x şi yj = n
Expresia formei biliniare g , pentru vectorii x şi y,va fi dată de
g(x,y)=g( i i e x
n
i 1
n
, j j
j
e y
1
n
n
i 1
) = x i y j g ei
, e j
i 1 j 1
Notând cu aij = g(ei,ej), i,j = 1,2,…,n , se scrie sub forma
g(x,y) = aijx
i y j
n
i,
j 1
,
.
j
j j e y
1
numită expresia analitică a formei biliniare g ,iar matricea A = (aij) se numeşte matricea
formei biliniare g , în raport cu baza B .
t
Dacă notăm cu X = x , x2
,..., xn
t
1 şi cu Y = y 1,
y2
,..., yn
expresia se scrie matriceal sub forma g(x,y) = t XAY
atunci
Corespondenţa prin care fiecărei forme biliniare g i se asociază o matrice pătratică A, este
un izomorfism de spaţii vectoriale.In plus ,unei forme biliniare simetrice (antisimetrice),întro
bază dată în spaţiul vectorial Vn , i se asociază o matrice simetrică (antisimetrică).
Teoremă Dacă Ω Mn ( K ) este matricea de trecere de la bazaB
la bazaB' , in spaţiul vectorial Vn , iar A şi A' sunt
matricele associate formei biliniare g în raport cu cele
două baze ,atunci A' = t ΩAΩ
Rangul matricei A defineşte rangul formei biliniare g. Acesta este un invariant la
schimbarea de bază . In aceste conditii, se justifică notiunea de formă biliniară nedegenerată
(degenerată), ca fiind acea formă biliniară g:V V K a cărei matrice A, în raport cu o
bază B a spaţiului vectorial V, este nedegenerată (degenerată) .
.