CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

Punctul M0 E3 şi subspaţiul vectorial V2 determină subspaţiul afin bidimensional
E3. Un punct M dacă şi numai dacă M 0 M V2, adică vectorii M 0 M , v 1 şi v 2 sunt
coplanari.
Utilizând vectorii de poziţie r şi 0 r corespunzători punctelor M şi respectiv M0,
relaţia de coplanaritate M 0M
v1
v2
se scrie sub forma
r
r
0
v
1
v
2
numită ecuaţia vectorială a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii.
Proiectând ecuaţia pe axele sistemului cartezian de coordonate Oxyz obţinem:
x
y
z
x
y
z
0
0
0
l
1
m
n
1
1
l
2
m
n
2
2
, , R
numite ecuaţiile carteziene sub formă parametrică ale planului printr-un punct, paralel cu
două direcţii.
Relaţia de coplanaritate a vectorilor M 0 M
, v 1 şi v 2 este caracterizată de anularea
produsului mixt al celor trei vectori, adică ( 0 r r , v 1,
v 2 ) = 0. Obţinem astfel ecuaţia
x
l
l
1
2
x
0
y
m
m
1
2
y
0
O
z
r0
n
n
d2
M0
1
2
z
0
0
numită ecuaţia carteziană a planului printr-un punct, paralel cu două direcţii.
v 2
Remarcă. În particular, ecuaţia (1.9) poate fi adaptată şi pentru alte situaţii cunoscute din
geometria elementară, în care un plan este perfect determinat. Anume: planul determinat de o
dreaptă şi un punct nesituat pe dreaptă, planul determinat de două drepte concurente şi
respectiv planul determinat de două drepte paralele.
d1
r
v1
M