CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

11. Forme Patratice
Definiţie Se numeşte formă pătratică pe K- spaţiul vectorial
V o aplicaţie h: V K cu proprietatea că există o
formă biliniară simetrică g :V V K aşa încât
h(x) = g(x,x) , x V .
Forma biliniară simetrică g ce defineşte în mod unic forma pătratică h se numeşte
forma polară sau forma dedublată asociată lui h .
Dacă se cunoaşte forma pătratică h atunci forma polară asociată este dată de expresia
1
g(x,y) = [ h(x + y) – h(x) – h(y)]
2
Exemplu. Produsul scalar canonic definit pe spaţiul aritmetic R n defineşte în mod unic
forma pătratică
h(x) =< x,x > = ║x║ 2 , x R n ,
care reprezintă pătratul normei euclidiene .
Să considerăm acum un spaţiu vectorial finit dimensional Vn ,
B ={e1,e2,…,en} o bază a sa şi x =
n
i 1
x
i ei un vector oarecare din Vn .
Expresia analitică a formei pătratice h este dată de
h(x) = g(x,x) =
n
n
i 1 j 1
a ijxixj = t XAX,
unde A = (aij) , i,j = 1,2, …,n este matricea asociată formei biliniare simetrice g .
Matricea şi rangul formei biliniare simetrice g definesc matricea, respectiv rangul
formei pătratice h .
Definiţie Vectorii x,y V se numesc ortogonali în raport cu
forma biliniară simetrică g (sau cu forma pătratică h )
dacă g(x,y) = 0 .