CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

coordonatele centrului C sunt date de : a = -m, b = -n, c = -p şi raza
2 2 2
r = m n p q .
Să considerăm în sistemul de coordonate carteziene Oxyz punctul M(x,y,z) , vectorul
de poziţie corespunzător OM
r , r r
, proiecţia Mo(x,y,0) a punctului M pe planul
xOy, u [0,2 ) –unghiul dintre OMo şi direcţia pozitivă a axei Ox, respectiv v [0, ] –
unghiul dintre OM şi direcţia pozitivă a axei Oz (fig.1) . Obţinem
OMo = r cos(90 o - v ) = r sin v , de unde rezultă
Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în punctul C(a,b,c) şi rază r pot fi scrise sub forma
x
y
z
a
b
c
r cos u
r sin u sin v
r cos v
sin v
Fie o dreaptă oarecare prin punctul M0(xo,yo,zo) : x = xo+ l t ,
y = yo+m t , z = zo + n t şi sfera dată de ecuaţia . Intersecţia dintre sferă şi dreaptă se reduce
la studiul sistemului format din ecuaţiile acestora.
Obţinem ecuaţia de gradul al doilea în t
(l 2 +m 2 +n 2 ) t 2 + 2[l(xo-a)+m(yo-b)+n(zo-c)] t + (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 -r 2 =0,
care ne permite să concluzionăm că o dreaptă intersectează o sferă în cel mult două puncte.
Dacă notăm t1, t2 rădăcinile reale ale ecuaţiei de mai sus, valori corespunzătoare punctelor
de intersecţie M1, M2, ale sferei cu dreapa ,printr-un calcul direct obţinem că produsul
distanţelor punctului Mo la punctele de intersecţie M1 respectiv M2 este constant , adică
Numărul real
MoM1 MoM2 = t1t2 (l 2 + m 2 + n 2 ) = (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 - r 2
= (xo-a) 2 +(yo-b) 2 +(zo-c) 2 - r 2 = d 2 – r 2
d desemnând distanţa punctului Mo la centrul sferei, este numit puterea punctului Mo faţă
de sferă .
Fie sferele
(S1) x 2 + y 2 +z 2 + 2m1 x + 2n1 y + 2p1 z + q 1 = 0
(S2) x 2 + y 2 +z 2 + 2m2 x + 2n2 y + 2p2 z + q 2 = 0