CURS MATEMATICA SEMESTRUL 1.pdf

Dacă corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau complexe C, vom vorbi
atunci despre un spaţiu vectorial real, respectiv spaţiu vectorial complex.
În majoritatea cazurilor vom întâlni spaţii vectoriale peste corpul numerelor reale şi
le vom numi simplu "spaţii vectoriale", iar în celelalte cazuri vom indica câmpul scalarilor.
Dacă notăm cu 0V vectorul nul al grupului aditiv V şi cu 0K scalarul nul, atunci din
axiomele care definesc spaţiul vectorial V peste câmpul K avem următoarele proprietăţi:
Corolar Dacă V este un spaţiu vectorial peste câmpul K, atunci
pentru, x V, K au loc proprietăţile:
Exemple
1) 0K x = 0V
2) 0V = 0V
3) (-1) x= -x .
1° Fie K un corp comutativ. Ţinând cont de structura aditivă abeliană a câmpului K,
atunci mulţimea K reprezintă un K-spaţiu vectorial. Mai mult dacă K' K este un subcorp,
atunci K este un K'-spaţiu vectorial. Mulţimea numerelor complexe C poate fi privită ca un Cspaţiu
vectorial sau R-spaţiu vectorial respectiv Q-spaţiu vectorial.
2° Mulţimea K n = K K … K, unde K este un corp comutativ, este un K-spaţiu
vectorial, numit spaţiul aritmetic (standard),în raport cu operaţiile : x,y V , K , x=
(x1, x2,..,xn), y = (y1, y2,..,yn)
x
y
x
: ( x y1,
x2
y2,...,
xn
1 n
: ( , 2,...,
x x
x
1 n
)
y
)
3° Mulţimea matricelor Mm n(K), este un K-spaţiu vectorial în raport cu operaţiile:
A
B
: ( ij ij)
b a
A ( a ) , A = (aij), B = (bij) Mm n(K), K.
: ij
4° Mulţimea K[X] a polinoamelor cu coeficienţi din câmpul K este un K-spaţiu
vectorial în raport cu operaţiile:
f g ( a b , a b ,...) , f ( a , a ,...) ,
: 0 0 1 1
: 0 1
f = (a0, a1,..), g = (b1, b2,..) K[X], K.
5° Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene formează un spaţiu
vectorial peste câmpul K al coeficienţilor acestui sistem. Soluţiile unui sistem de m ecuaţii cu
n necunoscute, privite ca elemente din K n (n-uple), pot fi însumate şi înmulţite cu un scalar