Федеральное агентство по образованию - Институт ...

С помощью непосредственной проверки показать, что при малых
шагах τ сеточная функция
s j = α sin jϕ + β cos jϕ, j = 0, . . . , N, (2.3)
где ϕ = arccos ( 1 − τ 2 ω 2 /2 ) , τ = T/N, 0 < T < ∞, α и β — произвольные
действительные числа, является общим решением уравнения (2.1).
Найти решение s j дискретной задачи (2.1), (2.2) и показать, что при
малых значениях τ для погрешности решения выполняется оценка
max |s j − s(t j )| ≤ Cτ (2.4)
j=0,...,N
с постоянной C, не зависящей от τ. Здесь s(t) — решение (1.11) задачи
(1.8), (1.10).
2.2. Немного подправим начальные условия (2.2) дискретной задачи:
s 1 − s 0
s 0 = a,
= −τ aω2
τ 2 . (2.5)
Найти решение s j новой дискретной задачи (2.1), (2.5) и показать, что
при малых значениях τ погрешность решения удовлетворяет оценке
max |s j − s(t j )| ≤ C 1 τ 2 (2.6)
j=0,...,N
с постоянной C 1 , не зависящей от τ. Таким образом, небольшое изменение
разностных начальных условий повлекло за собой существенный
рост скорости сходимости приближенного решения к точному: вместо
сходимости с первым порядком по τ получили второй порядок сходимости.
29