Федеральное агентство по образованию - Институт ...

Перейдем теперь к рассмотрению иерархии математических моделей
исследуемого явления.
Модель М1. Учитывается масса оползня M и сила тяжести. Таким
образом,
m = M = ρ sl V ; F τ = Mg sin θ
и задача (5), (6) принимает вид
M ¨S(t) = Mg sin θ, S(0) = S 0 , Ṡ(0) = 0, (7)
где g — ускорение свободного падения. Решение задачи (7) описывается
формулой
S(t) = S 0 + gt2 sin θ,
2
из которой следует, что скорость движения оползня
v(t) = Ṡ(t) = gt sin θ
неограниченно растет со временем, что противоречит реальности, в которой
рано или поздно оползень должен остановиться.
Модель М2. Учтем теперь присоединенную массу воды. Движущийся
оползень вовлекает в движение некоторую часть прилегающей
к нему воды, поэтому в уравнении (5) в качестве величины m будем
брать суммарную массу оползня и присоединенную массу воды C w ρ w V ,
т. е.
m = M + C w ρ w V = (ρ sl + C w ρ w ) V,
где ρ w — плотность воды, C w — коэффициент присоединенной массы.
Величина этого коэффициента зависит от формы движущегося в жидкости
тела [16, 26]. В частности, если в жидкости движется шар, то
C w = 0, 5, для цилиндра — C w = 1.
С учетом сделанных предположений, задача (5), (6) примет вид
(ρ sl + C w ρ w ) V ¨S(t) = ρ sl V g sin θ, S(0) = S 0 , Ṡ(0) = 0. (8)
Решение этой задачи задается формулой
S(t) = S 0 +
γ
· gt2 sin θ,
γ + C w 2
где через γ = ρ sl /ρ w обозначено отношение плотности материала оползня
к плотности воды, γ > 1. Поскольку γ/(γ + C w ) < 1, то скорость
движения оползня
γ
v(t) = gt sin θ
γ + C w
119