Федеральное агентство по образованию - Институт ...

⎛√
= τω · ⎜
⎝
1 − τ 2 ω 2
4
1 − τ 2 ω 2
2
⎞
− 1⎟
⎠ .
Последнее равенство выполняется при малых значениях шага τ. Кроме
того, при малых значениях τ верна оценка
√
1 − τ 2 ω 2
4
1 − τ 2 ω 2
2
− 1 < τ 2 ω 2
2 .
Подставляя полученные оценки в неравенство (24), получаем, что
|cos jϕ − cos jωτ| ≤ j τ 3 ω 3
2
≤ T ω3
2 τ 2 , (27)
где T — конечный момент времени (T = Nτ). Следовательно, оценка
(23) может быть записана в следующем виде:
|s j − s(t j )| ≤ aω · τ +
aT ω3
τ 2 .
2
Учитывая, что τ 2 ≪ τ, отсюда сразу получаем требуемое неравенство
(2.4), которое означает сходимость приближенного решения к точному
при N → ∞ (τ → 0), причем сходимость с первым порядком по τ.
В курсе «Методы вычислений» будут рассмотрены иные приемы исследования
сходимости приближенного решения к точному, позволяющие
выполнить такое исследование гораздо проще приведенного выше
доказательства.
2.2. У к а з а н и е. Используя общее решение (2.3) уравнения (2.1),
покажите, что решением дискретной задачи (2.1), (2.5) является сеточная
функция
s j = a cos jϕ.
Следовательно,
( )
s j − s(t j ) = a cos jϕ − cos ωt j .
Далее воспользуйтесь доказанной оценкой (27).
125