Федеральное агентство по образованию - Институт ...

Ответы, указания, решения
Глава 1
1.1. Р е ш е н и е. На основе закона Ньютона (1.7) получаем, что
учет волнового давления приводит к замене уравнения (1.8) следующим
уравнением
m¨s = −ks − F 0 cos ω 1 t. (1)
Решение этого уравнения находится как сумма общего решения (1.9)
уравнения (1.8) и частного решения уравнения (1) вида s 1 (t) = γ cos ω 1 t,
т. е.
s(t) = α sin ωt + β cos ωt + γ cos ω 1 t.
Подставляя это выражение в (1), находим
γ =
F 0
m (ω 2 1 − ω2 ) .
Следовательно, решение задачи (1), (1.10) дается формулой
(
)
s(t) = a −
cos ωt +
F 0
m (ω 2 1 − ω2 )
F 0
m (ω 2 1 − ω2 ) cos ω 1t. (2)
Из формулы для решения (2) следует, что если частоты ω и ω 1 соизмеримы
(отношение ω/ω 1 является рациональным числом), то функция
s(t) является периодической, иначе — непериодической. Кроме того,
при приближении частоты внешней силы ω 1 к частоте упругих колебаний
ω амплитуда колебаний стенки неограниченно растет — возникает
явление резонанса.
Используя принцип «от простого к сложному», можно построить
иерархию все более полных математических моделей, описывающих
движение вертикальной стенки, прикрепленной пружинами к неподвижному
блоку и подверженной воздействию новых внешних сил, не
учтенных ранее. Например, можно дополнительно учесть силу трения
стенки о дно F тр = k тр mg sgn ṡ, где k тр — коэффициент трения, sgn ṡ —
знак скорости. Еще более полная модель получится, если принять во
внимание сопротивление воды движению стенки. Можно учесть присоединенную
массу воды — движущаяся стенка вовлекает в движение
некоторую часть прилегающей к ней воды, поэтому в уравнении (1)
массу этой воды необходимо добавить к массе стенки m. Модель будет
более точной, если учитывать, что коэффициент жесткости зависит от
117