beskrivning och utvärdering av diffusions mr - Örebro universitet

Examensarbete 10p Örebro Universitet VT 2006
Nästa steg är att plocka ut de sex unika elementen, d = [ Dxx
Dyy
Dzz
Dxy
Dxz
Dyz
] ,ur
tensorn D. Detta görs med hjälp av att vi från början vet ADC värdena för de sex olika gradienterna,
y = [ ADC1
ADC2
ADC3
ADC4
ADC5
T
ADC6]
. Detta sätts i relation till den konstruerade
matrisen X (5.5) som beror på riktningsvektorerna ur ekvationerna 5.3 ovan.
⎡ g
⎢
X = ⎢ ...
⎢
⎣ g
2
1x
2
nx
g
g
2
1y
2
ny
g
g
2
1z
2
nz
2g
2g
1x
Sammantaget ger detta ekvationen 5.6 nedan
nx
g
g
1y
ny
2g
2g
1x
nx
g
g
1z
nz
2g
2g
1y
ny
g
g
1z
nz
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(5.5)
y = Xd
(5.6)
För att komma åt den eftertraktade d krävs lite omvandling av formeln 5.6 så att nedanstående
ekvation ger oss d.
d = X −1 y (5.7)
Utifrån denna matris kan man plocka ut de unika tensorelementen och representera dem som en
vektor.
Ett räkneexempel på hur det kan se ut, när vi använder de gradienter som är angivna i 5.3 ovan. En
start med att sätta in dessa i matris X enligt 5.5 ovan ger uttrycket
X
=
⎡ 1
⎢ 2
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
0
1
2
0
1
2
1
⎣ 2
1
2
1
2
0
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
0
0
0
− 1
0
0
0
1
0
0
− 1
⎤
0
⎥
⎥
1 ⎥ ⎡ D
⎥ ⎢
⎢
D
0
⎥
⎥ ⎢ D
⎥ ⋅ ⎢
⎥ ⎢ D
− 1
⎥ ⎢ D
⎥ ⎢
0
⎥ ⎢⎣
D
⎥
0 ⎥
⎦
36
xx
yy
zz
xy
xz
yz
⎡ 1 ⎛ S ⎞ ⎤ 1
⎢ − ln
⎜
⎟ ⎥
⎢ b ⎝ S0
⎠ ⎥
⎢ 1 ⎛ S ⎞ ⎥
2
⎢ − ln
⎜
⎟
⎤
⎥
⎡ ADC1
⎤
⎢ b ⎝ S0
⎠
⎥
⎥
⎢ ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
ADC2
⎥ 1 ⎛ S ⎞ 3
⎢ − ln
⎜
⎟
⎥
⎥
⎢ ADC ⎥ 3 ⎢ b ⎝ S0
⎠
⎥ =
⎥
⎢ ⎥ =
⎥
⎢ ⎛ ⎞ ⎥
⎢ ADC4
⎥ 1 S4
⎢ − ln
⎜
⎟
⎥
⎥
⎢ ADC ⎥
5
⎥
⎢ b ⎝ S0
⎠ ⎥
⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎛ ⎞ ⎥
⎦ ⎣ ADC6
⎦ 1 S5
⎢ − ln
⎜
⎟ ⎥
⎢ b ⎝ S0
⎠ ⎥
⎢ 1 ⎛ S ⎞ ⎥
6
⎢ − ln
⎜
⎟ ⎥
⎢⎣
b ⎝ S0
⎠ ⎥⎦