grundkurs, TMMI17 2005-08-15 kl 14-18

Linköpings Universitet 

Hållfasthetslära, IKP 

Tore Dahlberg 

TENTAMEN i Hållfasthetslära; grundkurs, TMMI17 

2005-08-15 kl 14-18 

Kursen given lp 2, lå 2004/05 

Jourhavande Tore Dahlberg tel (013-28) 1116, 070-66 511 03 

lärare 

Tentamen Tentamen består av två delar: 

Del 1, Utan hjälpmedel: Fyra st en-poängsfrågor som ska 

besvaras direkt på tesen. Då Del 1 (fyra sidor) lämnas in till 

vakten fås Del 2 ut. 

Del 2: Med hjälpmedel. Problemdel bestående av 4 st 

tre-poängsuppgifter. 

MOTIVERA dina påståenden. Beräkningsgång ska kunna 

följas! 

Hjälpmedel T Dahlberg: Teknisk hållfasthetslära, Studentlitteratur 2001, 

för Del 2 med tillhörande formelsamling. 

B Sundström: Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, 

KTH, Sthlm. 

Miniräknare i fickformat (med beräkningsdel och fönster i en 

enhet och utan möjlighet att kommunicera med andra delar 

såsom bandspelare och/eller skrivare). 

I kursmaterialet får mindre marginalanteckningar göras, men 

inga längre stycken får skrivas in, såsom härledningar, lösta 

exempel mm. 

Betyg För godkänd kurs krävs godkänd tentamen och godkänd 

laborationskurs. Följande betyg ges: 

Betyg Poäng på tentamen 

3 6-8 

4 9-11 

5 12-16 

Lösningar Lösningarna anslås på avdelningens anslagstavla efter 

skrivningens slut. 

Resultat Rättningsprotokoll anslås på avdelningens anslagstavla senast 

2005-08-31. 

Granskning Granskningstiden utgår 2005-10-30. Därefter läggs 

skrivningarna ut för avhämtning. 

OBS! Den här sidan behöver du inte lämna in. Behåll den för att minnas givna data

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP 

Tore Dahlberg 

TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMHL07, 2005-08-15 kl 14-18 

DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 

NAMN ...................................................................... 

1. Ge Hookes lag vid 

(a) enaxlig dragning och vid 

(b) enbart (ren) skjuvning 

Ange vad de storheter du använt betyder och ange dessa storheters enhet 

(dimension) i SI-enheter. 

LÖSNING OCH SVAR HÄR: 

1


Tore Dahlberg 

TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, 2005-08-15 kl 14-18 


NAMN ...................................................................... 

2. En axel av linjärt elastiskt material (skjuvmodul G) har längden L och 

vridstyvhet GK v = GK v (x) (vridstyvheten varierar alltså längs axeln). Teckna 

ett uttryck på axelns förvridning Θ om den belastas med en vridande moment 

M v ? 


2


Tore Dahlberg 



NAMN ...................................................................... 

3. Två konsolbalkar, AB (längd 2L, böjstyvhet 

P 

2EI) och CD (längd 2L, böjstyvhet EI), är 

2 L, 2EI 

2 L, EI monterade så att balken CD stödjer balken AB i 

A B 

C D B. Balken AB belastas med kraften P iB. 

Bestäm inspänningsmomenten i A och D. 

Elementarfall: Konsolbalk 

w(x)= PL3 ⎛ 

⎜ 

6EI ⎝ 3 x 2 

L − x 3 ⎞ 

P 

⎟⎠ 

L, EI 

2 L 3 

x 

z w(x) w(L)= PL3 w’(L)= PL2 

3EI 

2EI 

z 

L, EI 

w(x) 

M 

x 

w(x)= ML2 

2EI 

w(L)= ML2 

2EI 

⎛ x 2 ⎞ 

⎜ ⎟⎠ 

⎝ L 2 

w’(L)= ML 

EI 


3


Tore Dahlberg 



NAMN ...................................................................... 

4. Huvudspänningarna i en punkt i ett material har bestämts till σ 1 = 300 MPa, 

σ 2 = 300 MPa och σ 3 = 0. Det aktuella materialet har en sträckgräns σ s som är 

σ s = 350 MPa. Kommer materialet att plasticera? Motivera svaret. 


4


Tore Dahlberg 


DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel) 

E, A 

2L 

(1) 

E, A 

2L L, E, A 

(2) (3) 

5. 

Ett stångbärverk bär lasten P enligt figur (två 

stänger med E-modul E, area A, längd L och två 

stänger med E, A och √⎯2 L, vinklar π/4 

respektive π/2). Bestäm samtliga stångkrafter i 

bärverket. 

/4 (4) 

L, E, A 

P 

A B C 

M v 

2R 

R 

2R 

tvärsnitt del AB BC 

6. 

En axel består av en del AB med cirkulärt 

tvärsnitt (radie R, längd L) och en del BC med 

kvadratiskt tvärsnitt (sida 2R, längd L). Axeln är 

fast inspänd i A och C och belastas med ett 

vridande moment M v i B. Bestäm hur stor del 

av momentet M v som tas upp av delen AB och 

hur stor del som tas upp av delen BC? 

A 

x 

q (N/m) 

2 L , EI 

B 

L 

C 

3 t 

t 

y 

t t 

3 t 

7. 

Balken AC (se figur) har ett tvärsnitt som består 

av fyra lika delar (3t gånger t) monterade enligt 

den nedre figuren. Bestäm maximal 

skjuv-spänning i balken på grund av lasten q. 

z 

t 

5


Tore Dahlberg 



L, EI 

L, EI 

a, EA 

a, EA 

P 

R 

P 

8. 

En last P bärs av en konsolbalk (längd L, 

böjstyvhet EI). Balkänden stöds dessutom av en 

lina (längd a, E-modul E, area A). Använd 

Castiglianos sats för att bestämma kraften i 

linan. 

Tips: Ta bort linans övre stöd och för in kraften 

R i linan, se den nedre figuren. Teckna den 

totala mängden upplagrad töjningsenergi U i 

strukturen (balk + lina) på grund av krafterna P 

och R. Bestäm kraften R:s förskjutning δ med 

Castiglianos sats. Eftersom linan är fast vid 

stödet gäller att δ = 0, vilket ger kraften R. 

6


Tore Dahlberg 



LÖSNINGAR 

1. Ge Hookes lag vid 

(a) enaxlig dragning och vid 

(b) enbart (ren) skjuvning 

Ange vad de storheter du använt betyder och ange dessa storheters enhet 

(dimension) i SI-enheter. 

Lösning: 

(a) Enaxlig dragning: 

ε= σ E 

där ε är normaltöjning (m/m, d v s dimensionslös), σ är normalspänning 

(N/m 2 ,texσ = P/A där P är kraft i N och A är area i m 2 ) och E är 

elasticitetsmodul (N/m 2 , en materialparameter). 

(b) Enbart skjuvning: 

γ= τ G 

där γ är skjuvtöjningen (dimensionslös vinkel, d v s radianer), τ är 

skjuvspänning (N/m 2 ) och G är skjuvmodul (N/m 2 , en materialparameter). 

2. En axel av linjärt elastiskt material (skjuvmodul G) har längden L och 

vridstyvhet GK v = GK v (x) (vridstyvheten varierar alltså längs axeln). Teckna 

ett uttryck på axelns förvridning Θ om den belastas med en vridande moment 

M v ? 

Lösning: 

Axelns förvridning blir 

Θ= ⌠ L M v dx 

⌡ 0 GK v (x) 

Integranden innehåller förvridningen av ett element med längd dx. Bidragen 

från alla elementen "dx" summeras (d v s integreras). 

7


Tore Dahlberg 



3. Två konsolbalkar, AB (längd 2L, böjstyvhet 

P 

2EI) och CD (längd 2L, böjstyvhet EI), är 

2 L, 2EI 

2 L, EI monterade så att balken CD stödjer balken AB i 

A B 

C D B. Balken AB belastas med kraften P iB. 

Bestäm inspänningsmomenten i A och D. 

Elementarfall: Konsolbalk 

w(x)= PL3 ⎛ 

⎜ 

6EI ⎝ 3 x 2 

L − x 3 ⎞ 

P 

⎟⎠ 

L, EI 

2 L 3 

x 

z w(x) w(L)= PL3 w’(L)= PL2 

3EI 

2EI 

z 

L, EI 

w(x) 

M 

x 

w(x)= ML2 

2EI 

w(L)= ML2 

2EI 

⎛ x 2 ⎞ 

⎜ ⎟⎠ 

⎝ L 2 

w’(L)= ML 

EI 

Lösning: 

Vid övergången mellan B och C överförs lasten R. Bestäm först R. Knutarna B 

och C kommer att förskjutas sträckan 

δ B 

=δ C 

= 

varur R = P / 3 löses. 

Inspänningsmomentet vid A blir 

Inspänningsmomentet vid D blir 

(P − R)(2L)3 

3 ⋅ 2EI 

= R (2L)3 

3EI 

M A 

=(P − R)⋅2L = 4PL / 3 

M D 

= R ⋅ 2L = 2PL / 3 

8


Tore Dahlberg 



4. Huvudspänningarna i en punkt i ett material har bestämts till σ 1 = 300 MPa, 

σ 2 = 300 MPa och σ 3 = 0. Det aktuella materialet har en sträckgräns σ s som är 

σ s = 350 MPa. Kommer materialet att plasticera? Motivera svaret. 

Lösning: Enligt Tresca gäller att effektivspänningen är 

σ T e 

=σ 1 

−σ 3 

(då σ 1 

>σ 2 

>σ 3 

) 

Här erhålls effektivspänningen σ T e = 300 0 = 300 MPa, vilket är lägre än 

sträckgränsen (som är 350 MPa). Materialet plasticerar ej. (Inte heller von 

Mises effektivspäning ger plasticering.) 

9


Tore Dahlberg 



E, A 

2L 

(1) 

E, A 

2L L, E, A 

(2) (3) 

5. 

Ett stångbärverk bär lasten P enligt figur (två 

stänger med E-modul E, area A, längd L och två 

stänger med E, A och √⎯2 L, vinklar π/4 

respektive π/2). Bestäm samtliga stångkrafter i 

bärverket. 

←: 

↓: 

/4 (4) 

L, E, A 

P 

S1 

S2 S3 

S4 

P 

Lösning: 

Snitta och för in snittkrafter S i i stängerna. OBS 

att stödreaktionerna vid väggen inte ritats ut 

(men de finns där ändå). 

Teckna kraftjämvikt för knutarna. Man får för 

knuten där kraften P angriper 

↑: 

←: 

S 3 

− P = 0 som ger S 3 

= P 

S 4 

= 0 

För övre knuten erhålls 

S 1 

√⎯2 + S 2 

√⎯2 = 0 som ger S 1 =−S 2 

S 2 

√⎯2 + S 3 − S 1 

√⎯2 = 0 som ger 2 S 2 

√⎯2 =−P 

varur löses 

och 

Kraften S 1 kan även fås ur momentjämvikt med avseende på nedre vänstra 

knuten för hela bärverket: S 1 √⎯2 L = PL. 

På knutarna vid väggen verkar även stödreaktioner som kan bestämmas nu när 

stångkrafterna är kända. 

S 2 =−P / √⎯2 

S 1 = P / √⎯2 

10


Tore Dahlberg 



A B C 

M v 

2R 

R 

2R 

tvärsnitt del AB BC 

O C 

M C 

M v 

A B C 

6. 

En axel består av en del AB med cirkulärt 

tvärsnitt (radie R, längd L) och en del BC med 

kvadratiskt tvärsnitt (sida 2R, längd L). Axeln är 

fast inspänd i A och C och belastas med ett 

vridande moment M v i B. Bestäm hur stor del 

av momentet M v som tas upp av delen AB och 

hur stor del som tas upp av delen BC? 

Lösning: 

Problemet är statiskt obestämt och kan lösas på 

några olika sätt. Här väljs att snitta i C och föra 

in ett obekant snittmoment M C där. Teckna 

förvridningsvinkeln vid C. Den blir 

Θ C 

=Θ AB 

+Θ BC 

= (M v + M C )L 

GK v 

cirkel 

+ M C L 

GK v 

kvadrat = (M v + M C )L ⋅ 2 

G πR 4 + 

M C L 

G 0, 1406(2R) 4 

Men axeln är fast inspänd vid C, vilket ger Θ C = 0. Man får 

(M v + M C )L ⋅ 2 M C L 

+ 

G πR 4 G 0, 1406(2R) = 0 4 

varur löses M C = − 0,59M v . Momentet i delen AB blir därmed M A = 0,41M v . 

11


Tore Dahlberg 



A 

x 

q (N/m) 

2 L , EI 

B 

L 

C 

3 t 

t 

y 

t t 

3 t 

7. 

Balken AC (se figur) har ett tvärsnitt som består 

av fyra lika delar (3t gånger t) monterade enligt 

den nedre figuren. Bestäm maximal 

skjuv-spänning i balken på grund av lasten q. 

t 

z 

Lösning: 

Skjuvspänningen bestäms med formeln 

τ= TS 

Ib 

Maximal skjuvspänning erhålls i det tvärsnitt där tvärkraften är störst. Här blir 

det i delen AB, där tvärkraften är T = qL. 

I beräknas som (kan även bestämmas med Steiners sats): 

I = 

3t ⋅(5t)3 

12 

− t(3t)3 

12 = 116 

4 t 4 

Statiska ytmomentet S A’ blir störst om arean A’ utgör halva tvärsnittsarean. 

Man får 

S A’ 

= 3t ⋅ t ⋅ 2t + 2 ⋅ t ⋅ 1, 5t ⋅ 0, 75t = 8, 25 t 3 

Slutligen, med b =2t, fås 

τ max 

= TS 

Ib 

= 

qL ⋅ 8, 25t 

3 

(116/4) t 4 2t 

= 0, 142 

qL 

t 2 

12


Tore Dahlberg 



Lösning: 

Upplagrad energi i linan är 

Upplagrad energi i balken är 

Totalt upplagrad energi är 

8. 

En last P bärs av en konsolbalk (längd L, 

böjstyvhet EI). Balkänden stöds dessutom av en 

lina (längd a, E-modul E, area A). Använd 

Castiglianos sats för att bestämma kraften i 

linan. 

Tips: Ta bort linans övre stöd och för in kraften 

R i linan, se den nedre figuren. Teckna den 

totala mängden upplagrad töjningsenergi U i 

strukturen (balk + lina) på grund av krafterna P 

och R. Bestäm kraften R:s förskjutning δ med 

Castiglianos sats. Eftersom linan är fast vid 

stödet gäller att δ = 0, vilket ger kraften R. 

Förskjutningen vid kraften R blir (med Castiglianos sats) 

δ = 0 ger 

L, EI 

L, EI 

Ra 

EA 

a, EA 

a, EA 

P 

R 

P 

U lina 

= R 2 a 

2EA 

U balk 

= {(P − R)L} 2 L 

6EI 

U tot 

= U lina 

+ U balk 

= R 2 a 

2EA + {(P − R)L} 2 L 

6EI 

δ= ∂U tot 

∂R = 2Ra 

2EA 

+ 

(P − R)(−1) L 

3 

3EI 

+ 

2(P − R)(−1) L 

3 

6EI 

= 0 som ger R = PAL3 

3Ia + AL 3 

13

grundkurs, TMMI17 2005-08-15 kl 14-18

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?