matemat‹k-ıı

T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2828AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1786MATEMAT‹K-IIYazarlarProf.Dr. Yalç›n KÜÇÜK (Ünite 1)Doç.Dr. Y›lmaz DEREL‹ (Ünite 2)Doç.Dr. Taner BÜYÜKKÖRO⁄LU (Ünite 3)Doç.Dr. Nam›k Kemal ERDO⁄AN (Ünite 4)Doç.Dr. Emrah AKYAR (Ünite 5)Yrd.Doç.Dr. Figen TAKIL MUTLU (Ünite 6)Prof.Dr. Vak›f CAFER (Ünite 7, 8)EditörlerProf.Dr. fiahin KOÇAKDoç.Dr. Nam›k Kemal ERDO⁄ANANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›tveya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.Copyright © 2013 by Anadolu UniversityAll rights reservedNo part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, withoutpermission in writing from the University.UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹Genel KoordinatörDoç.Dr. Müjgan BozkayaGenel Koordinatör Yard›mc›s›Arfl.Gör.Dr. ‹rem Erdem Ayd›nGrafik Tasar›m YönetmenleriProf. Tevfik Fikret UçarÖ¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›zÖ¤r.Gör. Nilgün SalurLatex Stil Dosyas› Haz›rlayanlarDoç.Dr. Emrah AkyarDoç.Dr. Ali DenizDoç.Dr. Serkan Ali DüzceYrd.Doç.Dr. Yunus ÖzdemirKitap Koordinasyon BirimiUzm. Nermin ÖzgürKapak DüzeniProf. Tevfik Fikret UçarÖ¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›zDizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi EkibiMatematik-IIISBN978-975-06-1493-41. Bask›Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 160.000 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, Ocak 2013

İçindekileriiiİçindekiler1 Belirli ve Belirsiz İntegral 11.1 Alan Hesaplamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Belirli İntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Belirsiz İntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Temel Teoremler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Diferansiyel Denklemler 312.1 Nüfus Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Radyoaktif Bozunma Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 Soğuma Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Sınırlı Büyüme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5 Dedikodunun Yayılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.7 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Doğrusal Programlamaya Giriş 593.1 Çokgen Bölge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 Grafik Yöntemle Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 İktisadi Uygulamalar 814.1 Tüketici ve Üretici Rantı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2 Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Diferansiyel Denklemlerin Uygulaması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

iv4.5 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.6 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015 Çizge Kuramına Giriş 1035.1 Königsberg Köprüleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Düzlemsel Çizgeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Çizgeleri Boyamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4 Ağaçlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.6 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Asal Sayılar ve Modüler Aritmetik 1316.1 Asal mı? Değil mi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2 Kaç Tane Asal Sayı Vardır? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3 Modüler Aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.4 Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.6 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567 Şifreleme Kuramına Giriş 1577.1 Doğrusal Şifreleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2 Kuvvet Fonksiyonuyla Şifreleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.3 RSA Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4 Geçmişten Günümüze Kriptoloji: Kısa bir özet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.6 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 Oyunlar Kuramına Giriş 1838.1 İki Kişilik Sonlu Oyun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.2 Sıfır Toplamlı Oyunda Denge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.3 Dengenin Olması Neden Önemlidir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.4 Sıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.5 Okuma Parçası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.6 Çıkarın Kağıtları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018.7 Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Kaynakça 203Dizin 205

GökçeZeynepMATEMATİK IISelçukEnginPınar HocaMete Hoca

Belirli ve Belirsiz İntegral1.MATEMATİK 2ÜNİTESonsuz tane sayınınortalaması nasılalınıyor?BÖLÜNTÜBELİRSİZ İNTEGRALBELİRLİ İNTEGRALALT TOPLAMTEMEL TEOREMÜST TOPLAMORTALAMA DEĞER

2 1 Belirli ve Belirsiz İntegralG i r i şDün televizyonda bir haber izledim, canım sıkıldı.Neden Gökçe, haber neydi?Geçen yaz Bodrum’da tatil yaptığımız yöreye çok yakın bir bölgedeorman yangını başlamış ve bir saatin sonunda yayılmahızı saatte 20 hektara ulaşmış. Bir saat sonraki haberde, rüzgarın daetkisiyle, yangının yayılma hızının saatte 40 hektara çıktığını duydum.Ben de çevre illerden yangın söndürme ekiplerinin yola çıktığınıduydum ama daha sonra neler olduğunu bilmiyorum.Evet Selçuk, bir saat sonraki haber bülteninde yangının hızınıngiderek arttığı ve saatte 100 hektara kadar çıktığı söylendi.Dördüncü haber bülteninde yangının kontrol altına alındığı, söndürmeçalışmalarının karadan ve havadan sürdürüldüğü, buna rağmen yayılmahızının ancak saatte 50 hektara düşürülebildiği açıklandı. Son izlediğimhaber bülteninde ise yangının yağmurun da etkisiyle söndürüldüğü söylendi.Güzelim ormanlarımız böyle yanıp kül oluyor hocam. Kim bilir nekadar orman kül oldu!Gerçekten çok üzücü bir durum Gökçe. Madem merak ediyorsun,ne kadar ormanın yandığı konusunda bir tahmindebulunabiliriz.Bunu nasıl yapabiliriz hocam?Zaman 1 2 3 4(saat)Yayılma hızı 20 40 100 50(hektar/saat)Tablo 1.1: Yangının saatteki yayılmahızı tablosu.Yangın beş saat sürmüş ve Gökçe ilk dört saatin her biri içinyangının yayılma hızını bizlere söyledi. Bunlarla ilgili yandakitabloyu kurup, sonra da ikilileri zaman-yayılma hızı koordinat sistemindeişaretleyebiliriz.Yangının yayıldığı alan=Zaman×Yayılma hızı

3e ş i t ğini l i kullanarak da 4 saat içinde yaklaşık olarak 210 hektarlık ormanalanının tahrip olduğunu anlayabiliriz. Bu tahminimizi birer saatarayla verilen yayılma hızı bilgilerine göre yaptık. Daha iyi bir tahmindebulunmak için sizce neye ihtiyacımız var?Zaman aralıklarını daha kısa tutmaya ihtiyacımız olabilir mi?Örneğin saatteki değil de her yarım saatteki yayılma hızlarınıbilseydik daha iyi bir tahmin yapabilirdik sanırım.Yayılma hızı (hektar/saat)100908070605040302010Engin haklı! Biz birer saatlik aralıklarla yangının değ i ş m e h ı -zını sabit kabul ediyoruz. Ancak yangının yayılma hızı her andeğişiklik gösterebilir. Yani açık olarak belirtemesek de yayılma hızı zamanınsürekli bir fonksiyonudur. Hız ölçümü yapılan zaman aralıklarınıne kadar azaltırsak, zarar için o kadar iyi bir tahminde bulunabiliriz.1 2 3 4Zaman (saat)Hocam başka hangi durumlar için tahminde bulunabiliriz?Birçok durum için tahminde bulunabiliriz. İsterseniz başkabir örnek vereyim. Varsayalım ki bir kasabada bir nehirle yolarasında kalan, şekilde görülen bölgeyi yeşil alan haline getirmek istiyorsunuz.Bu projenin maliyeti metrekare başına 25 lira olsun. Bu projeiçin yaklaşık ne kadar para gerekir?YOLNEHİRY E Ş İLLENDİRİLECEK BÖLGEBölgenin alanını bulurum ve 25 ile çarparım. Ancak bu bölgeninşekli ne üçgene ne de dörtgene benziyor. Ben bir tahmindebulunamayacağım.Hocam bu bir mühendislik işi, bizi bununla uğraştırmasanız.Doğru bir mantık yürütmeyle bunu herkes yapabilir, yeter kinereden başlayacağınızı bilin. Bu problemi çözebilmeniz içinsize bir ipucu vereyim: Bölgenin yola en uzak noktasının yola uzaklığı 35metre ve bölgenin yola cephesi 14 metre olsun. Bölgeyi alttan sınırlayanyolu x-ekseni olarak alıp, bölgeyi bir dikdörtgenle sınırlandıralım. Yanibölgeyi eni 14 metre, boyu 35 metre olan bir dikdörtgen içine alalım.14m35m

5Bölgeyi dıştan sınırlayan dikdörtgenlerin alanları toplamıylabölgenin alanına giderek yaklaşıyorsun Engin, gayet güzel!Bu dört parçadaki yola uzaklığı en büyük olan noktaların uzaklıkları:Birinci parçada 20 metre, ikinci parçada 30 metre, üçüncü parçada 33metre, dördüncü parçada 35 metre ise sonuç ne olur?Bu durumda403530252015y30m35m33m1020m20· 72 +30· 72 +33· 72 +35· 7 =(20+30+33+35)·72 2 = 118· 7 = 413 m22olduğundan proje maliyeti 413·25=10325 lira olur. Hocam, nedenyolun bu dört parçası için de yola uzaklıkları en küçük olan noktalarınıalarak tahminde bulunmuyoruz?5x2 4 6 8 10 12 14Şekil 1.2: Yeşillendirilecek bölgeninyola cephesini dörde bölerekoluşturulan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına üsttenyaklaşım.Tabii, öyle de düşünebilirsiniz.4035y30Parçalardaki en kısa uzunluklar; 1. parçada 0 metre, 2. parçada15 metre, 3. parçada 23 metre ve 4. parçada 12 metredir.Haydi bakalım hesaplayın!İlk parçada en kısa uzaklık 0 metre olduğundan bir alan oluşmaz.Diğer parçalarda enler eşit ve 3,5 metre olduğundan enkısa uzaklıklarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı:2·(15+ 723+ 12)=7 2· 50=175 m2 olur.Projenin maliyeti de 175·25=4375 lira olur.2520151023m15m512mx2 4 6 8 10 12 14Şekil 1.3: Yeşillendirilecek bölgeninyola cephesini dörde bölerekoluşturulan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına alttanyaklaşım.Ne güzel, bu tahminle proje oldukça ucuza mal olacak.Ucuz gibi gözükse de bölgenin büyük bir kısmını ihmal ettik.Hocam, bölgenin yoldaki sınırını 8 parçaya bölerek işlemlerimizitekrarlasak ne olurdu?Peki Selçuk, bu parçalardaki en kısa ve en uzun mesafeleriyandaki tabloyla veriyorum.Yola En Enuzaklık kısa uzun1 0 182 16 203 15 274 26 305 23 286 24 337 33 358 12 33

6 1 Belirli ve Belirsiz İntegral4035302520yHesaplamaları da ben yapayım. Önce en uzun olanları gözönüne alarak başlayayım:74·(18+ 20+ 27+ 30+ 28+33+ 35+ 33)=7 4· 224=392.15105x2 4 6 8 10 12 14Şekil 1.4: Yeşillendirilecek bölgeninyola cephesini sekize bölerekoluşturulan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına üsttenyaklaşım.y403530Bu durum için proje maliyeti 392·25=9800 lira olur. Şimdi de enkısa uzunluklarla hesaplamayı yapayım:74·(0+16+ 15+ 26+ 23+24+ 33+ 12)=7 4· 149=260,75.Projenin bu durumda maliyeti de 260,75·25=6518,75 lira olur.Hocam, parça sayısını arttırdıkça en kısa ve en uzun uzunluklarlayaptığımız hesaplar sonucunda elde ettiğimiz maliyetdeğerleri, birbirlerine gitgide yaklaşıyorlar. Bu adımda projenin maliyetien az 6518,75 lira en çok 9800 lira olur. Bu iki değerin ortalaması alınırsayaklaşık olarak 8159 lira olur.252015105x2 4 6 8 10 12 14Şekil 1.5: Yeşillendirilecek bölgeninyola cephesini sekize bölerekoluşturulan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına alttanyaklaşım.Bravo sizlere, bölgenin alanına alttan ve üstten yaklaşıp, alanıoldukça doğru bir bakış açısıyla hesaplamaya çalıştınız. Yaptığınızhesaplamalarla aynı zamanda herhangi bir eğriyle sınırlı alanlarınhesabı için ilk adımı da atmış oldunuz.Alan HesaplamalarıAlan hesaplamalarının binlerce yıllık bir tarihçesi vardır. EskiMısır ve Babil’de nehirler taşar ve yön değiştirirdi. Nehirleryataklarını değiştirdikçe bazı çiftçiler topraklarını kaybederken bazılarıyeni topraklar kazanırlardı. Ödenecek vergiler sahip olunan topraklarınalanına göre belirlendiği için nehir kıyısındaki düzensiz şekilli arazilerinalanlarını sık sık hesaplamak gerekirdi.Şekil 1.6: Bu bölgenin alanı nasılhesaplanabilir?Peki hocam, o zaman bu alan hesaplamaları nasıl yapılıyordu?Belli bir yöntem var mıydı?

Alan Hesaplamaları 7Babilliler ve Mısırlılar, üçgen ve dörtgenin alan hesabını bildiklerinden,alan ölçümlerini üçgenlerin ve dörtgenlerin alanlarınadayandırarak hesaplıyorlardı. Daha sonra Yunan matematikçilerEudoxus (M.Ö. 408- M.Ö. 355) ve Arşimet (M.Ö. 287- M.Ö. 212) eğrilerlesınırlı düzlemsel alanların belirlenebilmesi için "Tüketme Yöntemi"adı verilen bir yöntem geliştirerek, bugün hala üzerinde çalışılan integralkavramının temellerini atmışlardır.Hocam, tüketme yönteminden kısaca bahsedebilir misiniz?Tüketme yönteminde biraz önce bizim yaptıklarımıza benzerbir yol izliyoruz. Öncelikle alanını hesaplayabileceğimizçokgenler kullanarak bölgeyi dıştan kuşatıyoruz. Daha sonra da bölgenintamamen içinde kalan, yine alanını hesaplayabileceğimiz çokgenlerlebölgenin sınırına içten yaklaşıyoruz. Böylece bölgeyi dıştan ve içtenkuşatıp bu çokgenlerin kenar sayılarını adım adım arttırarak, bölgeninalanını istenilen hassasiyette hesaplayabiliyoruz. Hatta çoğu kez gerçekalan değerine de ulaşabiliyoruz.Şekil 1.7: Bölgeye dıştan yaklaşı m .Buna bir örnek yapsak hocam?Şekil 1.8: Bölgeye içten yaklaşım.Peki Engin. Dilerseniz Arşimet’in çözdüğü meşhur bir problemibu yöntemle ele alalım.Arşimet bir parabolik yayın altında kalan alanın bu yayı çevreleyendikdörtgenin alanının üçte ikisi olduğunu ifade etmiştir. Diğer bir deyişleArşimet, şekildeki taralı alanın ABC D dikdörtgeninin alanının üçte ikisiolduğunu söylemiştir.Hocam, problemin Arşimetlik oluşu gözümü korkuttu doğrusu.DACBDaha problemi çözmeye başlamadan gözünüz korkmasın. HemArşimet akıllı öğrencileri severdi. Önceki yeşil alan problemininbir benzerini tartışacağız. Önce parabol yayını çevreleyen dikdörtgeni,tabanının orta noktası dik koordinat sisteminin merkezine gelecekyD E Cş e k i l d ex-ekseni üzerine yerleştirelim. A BOx

8 1 Belirli ve Belirsiz İntegral1EyHocam, bu durumda şekil y-eksenine göre simetrik oldu. Bualan hesaplamalarında kolaylık sağlar mı?Evet Zeynep. Bu durumda şeklin sağ yarısını göz önüne almakO1Bxyeterli olacaktır. Kolaylık olsun diye|OB|=|OE|=1 alalım.Söyleyin bakalım bu parabolün denklemi ne olur?Tepe noktası y-ekseni üzerinde olan parabolün denklemiy= ax 2 + c biçimindeydi. Parabolün tepe noktası(0,1) olduğundanbu denklemde x yerine 0, y yerine 1 yazarsak c= 1 elde edilir.Parabol x-eksenini(1,0) noktasında kestiğinden y= ax 2 + 1 denklemindex yerine 1, y yerine 0 yazılırsa a=−1 bulunur. Sonuç olarakparabolün denklemi y= 1− x 2 olur hocam.Aferin Engin. Böylece problemimiz y= 1− x 2 eğrisinin[0,1]aralığı üzerindeki parçasının altındaki alanın 2 3 br2 olduğunugöstermeye dönüşür.İlk olarak[0,1] aralığını ikiye bölerek işe başlıyorduk. Bunun1için 0,0,2 ve 1 noktalarını kullanıp 1 1ve2 2 ,1 aralıklarınıalalım. Bölgeyi dıştan kuşatan ve bölgeye içten yaklaşan uygundikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına bir yaklaşımda bulunalım.Bunun için grafiğin[0,1] aralığı üzerinde azaldığını kullanmakyerinde olur.Kullanalım hocam, biz 0’dan 1’e doğru hareket ettikçe grafika ş ağı doğru iniyor, yani fonksiyonun değerleri azalıyor. Bu durumdafonksiyon en büyük değerini alt aralıkların sol uç noktalarındave en küçük değerini de sağ uçlarda alır, değil mi?

Alan Hesaplamaları 9Evet Zeynep, tam olarak bunu demek istemiştim. Önce fonk-ysiyonun sırasıyla en büyük değerlerini kullanıp bölgeyi dıştankuşatan ve en küçük değerlerini kullanıp bölgeye içten yaklaşan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına yaklaşalım. Bunlara sırasıyla[0,1]aralığının0, 1 2 ,1 bölüntüsüne karşı gelen üst toplamı ve alt toplamıdenir.Üst toplam (Şekil 1.9)1f(0)0f 12121xÜ 2 (f)=f(0)· 1 12 + f · 12 2 = 1· 12 + 3 4·12 = 1 2 + 3 8 = 7 8 br2ve alt toplam (Şekil 1.10) 1A 2 (f)=f ·2 12 + f(1)· 12 = 3 4·12 + 0· 12 = 3 8 br2olur.Aradığımız alana A dersek A 2 (f)≤A≤Ü 2 (f) eşitsizliği gerçekleşir.Bu durumda üst ve alt toplama giren dikdörtgenlerinfarklarından oluşan fark dikdörtgenleri Şekil 1.12’deki sütunu oluştururlar.Bu sütunun alanı Ü 2 (f)−A 2 (f)= f(0)− f(1) · 12 ’dir.Şekil 1.9: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen üst toplam.134f 120y12Şekil 1.10: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen alt toplam.y1xBence ne 7 8 , ne de 3 8 istediğimiz sonuç olan 2 ’e pek yakın3sayılar değiller. Bunun için[0,1] aralığını,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 ,11bölüntüsünü kullanarak0, 1 ,4 14 , 1 2, 12 , 3 ,4 34 ,1 0121xgibi dört eşit parçaya ayırsak daha iyi olacak hocam.Şekil 1.11: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen fark dikdörtgenleri.Haklısın Engin. Bu durumda üst toplama giren dikdörtgenlerbölgeyi dıştan kuşattıkları için dikdörtgenlerin alanları toplamıbölgenin alanından büyük, fakat bir önceki adımdaki üst toplamdanküçük olacaktır. Alt toplama giren dikdörtgenlerin alanları toplamıise, bölgenin içinde kalacaklarından, bölgenin alanından küçük, fakatbir önceki adımda elde ettiğimiz alt toplamdan daha büyük olacaktır.=12f(0)− f(1)=1Şekil 1.12: [0,1] aralığının0,1,1 bölüntüsüne karşılık2gelen fark dikdörtgenlerinino l u ş t u r d ŭgu farklar sütunu.

10 1 Belirli ve Belirsiz İntegral10yf(0) f 1414f 1212f 3434Şekil 1.13: [0,1] aralığının0, 1 , 1 , 3,1 bölüntüsüne4 2 4karşılık gelen üst toplam.y1xBu durumda üst ve alt toplamlarÜ 4 (f)= f(0)· 1A 4 (f)= f4 + f 14· 1 14 + f · 1 32 4 + f · 14 4= 1· 14 + 1516·14 + 3 4·14 + 7 16·14 = 2532 ve 14· 1 14 + f · 1 32 4 + f · 14 4 + f(1)· 14= 1516·14 + 3 4·14 + 716·14 + 0· 14 = 1732 olur.1f 14f 12014f 341234Şekil 1.14: [0,1] aralığının0, 1 , 1 , 3,1 bölüntüsüne4 2 4karşılık gelen alt toplam.1y0 1 41234Şekil 1.15: [0,1] aralığının0, 1 , 1 , 3,1 bölüntüsüne4 2 4karşılık gelen fark dikdörtgenleri.11= 1xxZeynep’in hesaplamalarıyla da gördüğümüz gibi bölgeninalanı olan A sayısı bu iki sayı arasında kalır. YaniA 4 (f)≤A≤Ü 4 (f) olur. Böylece aradığımız alan değerine üstten vealttan biraz daha yaklaşmış oluruz. Ayrıca üst ve alt toplamlara girendikdörtgenlerin farkı ile oluşan fark dikdörtgenleri Şekil 1.16’daki sütunuoluştururlar. Bu sütuna farklar sütunu diyelim. Farklar sütunununalanı iseÜ 4 (f)−A 4 (f)= f(0)− f(1) · 14olur ve bu adımdaki farklar sütununun alanı bir önceki adımdakininyarısı olur.Buraya kadar yaptıklarımızı[0,1] aralığının 0, 1 n , 2 n−1,...,n n,1bölüntüsünü için tekrarlarsak boyları eşit ve 1 br olann0, 1 1,n n , 2 n−2, ...,nn, n−1 n−1,n n,1alt aralıklarını elde ederiz. Bu alt aralıkların uzunluğunu∆x ile gösterirsek∆x=1 olur. Böylece üst toplama girecek dikdörtgenlerin tabannuzunlukları 1 birim, yükseklikleri ise bu alt aralıkların sol uçlarındakinfonksiyon değerleri kadardır.Şekil 1.16: [0,1] aralığının0, 1 , 1 , 3,1 bölüntüsüne4 2 4karşılık gelen farklar sütunu.14y= f(x)=1− x 2 olduğundan bu yükseklikler 1 1 2 2 2 2f(0)=1−0 2 = 1, f = 1− , f = 1− ,...,nn nn n−1 n−1 2f = 1− olur. Üst toplam dann

Alan Hesaplamaları 11Ü n (f)= f(0)·∆x+ f 1n·∆x+···+ f n−1·∆xn=== 1 2 n−1f(0)+ f + f +···+ f ·∆xnnn 1 2 2 2 n−11−0 2 +1− +1− +···+ 1−n nn 1 2 2 2 n−1 2n− + +···+ · 1n nn n 2· 1n1 2 + 2 2 +···+(n−1) 2 = 1− 1 nn 2olarak bulunur.nnAferin Zeynep. Alt aralıkların sağ uçları alınıp benzer işlemleryapılırsa1 2 + 2 2 +···+ n 2 2n+1A n (f)=1− 1 nn 2olarak elde edilir. Sonunda n’ye bağlı iki toplam elde ettik. Bu toplamlariçinde geçen n tane ardışık doğal sayının kareleri toplamınınn+1 n1 2 + 2 2 + 3 2 +···+ n 2 n(n+1)(2n+ 1)=6olduğunu veren güzel bir geometrik yaklaşımı yanda görebilirsiniz. Butoplamlarda n’yi sınırsız bir biçimde arttırarak üst toplamın limitini bulmayaçalışalım. Üst toplamı6(1 2 + 2 2 +···+ n 2 )= n(n+1)(2n+1)Okay Arık:http://demonstrations.wolfram.com/AGeometricProofOfTheSquarePyramidalNumberFormula/ 1 2 + 2 2 +···+(n−1) 2Ü n (f)=1− 1 nn 2olarak hesaplamıştık. Yukarıdaki kareler toplamı formülünde n yerinen−1 yazarsak1 2 + 2 2 +···+(n−1) 2 (n−1) n(2n− 1)=6

12 1 Belirli ve Belirsiz İntegralolur. Bunu üst toplam formülünde yerine koyarsak1 n(2n− 1)Ü n (f)= 1−n·(n−1)6n 2= 1− (n−1)(2n−1)6n 2= 6n2 −(2n 2 − n−2n+1)6n 2olur. Şimdi n→∞için= 4n2 + 3n−16n 2ylim Ü 4n 2 + 3n−1 4n(f)= limn→∞ n→∞ 6n 2 = limn→∞ 6 + 36n − 1 = 4 6n 2 6 = 2 3bulunur ve Arşimet’in iddiasının doğruluğu da görülmüş olur.Hocam, üst toplamların limitini buldunuz ve Arşimet’in sonucunundoğru olduğunu söylediniz. Alt toplamın limitinin de1n2n3ni−1ninn−1nxnn =1buna eşit olması gerekmez miydi?Şekil 1.17: [0,1] aralığının0,1, 2 ,··· , n−1,1 bölüntüsünekarşılık gelen farkn n ndikdörtgenleri.. ... ..=1Haklısın Zeynep. Üst toplamlara giren dikdörtgenlerle alt toplamlaragiren dikdörtgenlerin farklarının oluşturduğu fark sütunununtabanı 1 , yüksekliği ise f(0)− f(1) birimdir. Buradan, n sonsuzagiderken fark sütununun alanı sıfıra gider. Yani n→∞nikenÜ n (f)−A n (f)= 1 (f(0)− f(1))→ 0’dır. Böylece bu örnek için üst venalt toplamların limitleri eşit olur. Bu da söz konusu alanın anlamlı birdeğere sahip olduğunu gösterir. Tabii istersen alt toplamın limitini doğrudanhesaplayıp gene 2 çıktığını görebilirsin.31nŞekil 1.18: [0,1] aralığının0,1n−1bölüntüsünen n nkarşılık gelen farklarsütunu.Belirli İntegralArşimet’in probleminin çözümünde izlenen yolla, negatif değeralmayan bir y = f(x) sürekli fonksiyonunun belli bir[a, b] kapalı aralığı üzerindeki parçasının altında kalan bölgenin alanınıbenzer işlemleri yaparak elde edebiliriz. Artık[a, b] aralığı üzerindef ’nin Belirli İntegrali diye adlandıracağımız sayıyı tanımlayabiliriz.

Belirli İntegral 13noktasınıŞimdi tanımımızı verelim. f ,[a, b] kapalı aralığı üzerindesürekli bir fonksiyon olsun. Önce[a, b] aralığının(n−1) tanea< x 1 < x 2 < x 3

14 1 Belirli ve Belirsiz İntegralBelirli integralin değeri daima pozitif midir?y fAxab∫ bŞekil 1.19: f(x)dx= A.yaabxA∫ bTabii ki hayır Engin. Eğer her x∈[a, b] için f(x)≥0oluyorsaf(x)dx belirli integrali negatif olmayan bir sayıdır.aBu sayı alttan[a, b] aralığı, üstten f fonksiyonunun grafiği ve yanlardanda x= a ve x=bdoğruları ile sınırlı bölgenin alanına eşit olur.Benzer biçimde eğer her x∈[a, b] için f(x)≤0 oluyorsa f(x)dxbelirli integrali pozitif olmayan bir sayıdır. Bu sayı grafiğin[a, b] aralığıaltındaki parçası ve x-ekseni ile sınırlı bölgenin alanının eksi işaretlisidir.Peki, grafiğin bir parçası x-ekseninin üzerinde, bir parçası dax-ekseninin altında ise durum ne olur?∫ baŞekil 1.20:∫ bay2ff(x)dx=−A.Bu durumda belirli integral x-ekseninin üstünde ve altındakialanların işaretli toplamına eşittir.Söyleyin bakalım Şekil 1.21’de verilen grafiğe görenedir?∫ 5f(x)dx’in değeri−21A 1 A 2A 3−3−2−1−1−2−31 2 3 4 5xA 1 ve A 2 x-ekseni üstünde kalan bölgelerin alanları olduğuiçin pozitif işaretli, A 3 ise x-ekseninin altındaki grafikle sınırlıbölgenin alanı olduğundan negatif işaretlidir. Bu durumdaŞekil 1.21:∫ 5f(x)dx= A 1 + A 2 − A 3 .−2∫ 5f(x)dx = A 1 + A 2 − A 3−2= 2·2+(3+1)·2− 2·22 2 2 = 4 olur.Anlaşıldı ki grafikle sınırlı bölgeler, alanını hesaplayabileceğimizüçgen, dörtgen vs. gibi geometrik şekillerden oluşuyorsaişler kolay. Ancak değilse en azından bir üst ya da alt toplamı bulupn→∞için limitine bakmalıyız. Bunun başka bir yolu yok mu hocam?

Belirsiz İntegral 15Belirsiz İntegralVar elbette! Bir büyüklük başka bir büyüklüğe göre değ i ş i -yorsa hangi hızla değ i ş t ğini bulmanın yöntemlerini, yani birfonksiyonun türevini bulma yöntemlerini görmüştük. Şimdi bunun tersiolan problemin üzerinde duralım: Bir fonksiyonun türevini biliyorsakkendisini bulabilir miyiz? Örneğin belli bir(a, b) açık aralığı içindekiher x için türevi F ′ (x)=3x 2 olan F(x) fonksiyonu nedir?Kolay hocam, y= F(x)=x 3 fonksiyonudur.Ama hocam, bu aralık üzerinde x 3 + 2 fonksiyonunun türevide 3x 2 olur. Yani y=x 3 + 2 fonksiyonu da bunu sağlar.Zeynep haklı. c bir sabit olmak üzere bu aralık üzerindex 3 + c fonksiyonunun türevi de 3x 2 ’dir. c sabiti değiştikçesonsuz tane fonksiyon buluruz. O halde(a, b) aralığında türev fonksiyonuverilmişse, fonksiyonun kendisi ve türev fonksiyonu arasında şöylebir ilişki kurabilirsiniz:G(x), türevi 3x 2 olan herhangi bir fonksiyon olsun. x 3 fonksiyonununtürevinin de 3x 2 olduğunu biliyoruz. O halde c bir sabit olmaküzereG ′ (x)=3x 2 ⇔ G(x)=x 3 + c’dir.Her x∈[a, b] içinF ′ (x)=f(x)=G ′ (x)ise(G(x)− F(x)) ′= G ′ (x)− F ′ (x)= f(x)− f(x)=0olduğundanG(x)− F(x)=c (sabit)ya da G(x)=F(x)+c olur.Böylece, bir aralık üzerindetürevleri eşit olan iki fonksiyonunfarkı sabittir.Tanım Belli bir(a, b) aralığındakitüm x’ler için F(x)fonksiyonunun türevi f(x)fonksiyonuna eşit ise, yaniF ′ (x)=f(x) oluyorsa, F(x)fonksiyonuna f(x)’in bir ilkelidenir.Bu durumda c sabitinin her bir değeri için x 3 + c fonksiyonuna3x 2 fonksiyonunun bir ilkeli ve bu ilkellerin oluşturduğux 3 + c fonksiyonlar ailesine de 3x 2 fonksiyonunun belirsiz integralidenir. Bu durum ∫3x 2 dx= x 3 + c∫biçiminde gösterilir. Bu gösterimde simgesine belirsiz integral işaretive 3x 2 fonksiyonuna da integrali alınan (integrant) denir.Tanım Belli bir(a, b) aralığındaF(x) fonksiyonu, f(x)fonksiyonunun bir ilkeli ise,F(x)+c ailesine f(x) fonksiyonununbelirsiz integralidenir ve∫f(x)dx= F(x)+cşeklinde gösterilir.x 3 +c fonksiyonunun grafiği x 3 fonksiyonunun grafiğinin c kadarkaydırılmışı olduğundan, bu ailenin her bir üyesinin grafikleriniçizsek her biri x 3 fonksiyonunun grafiğinin paralel kaydırılmışıolan sonsuz tane eğri elde ederiz, değil mi hocam?

16 1 Belirli ve Belirsiz İntegralyc= 1c= 0c=−1xEvet Engin, bu örnek için(a, b)=(−∞,+∞)= aralığıseçilirse bu grafikler tüm düzlemi doldururlar. Düzlemde birnokta seçildiğinde o noktadan geçen ve bu aileye ait olan bir tek fonksiyonvardır. Örneğin, bu aileye ait olan ve(1,3) noktasından geçenfonksiyonu bulmak için y=x 3 + c eğrisinin denkleminde x yerine 1 vey yerine 3 yazılırsa 3=1 3 +c e ş i t ğinden l i c= 2 olarak bulunur. O halde(1,3)’den geçen ilkel fonksiyon y=x 3 + 2 olur.Şekil 1.22: x 3 + 1, x 3 ve x 3 − 1eğrileri.Hocam türev almak için kurallarımız vardı, integral için debenzer kurallar var mıdır? Varsa bunların türev kurallarıyla ilgisinedir?(Kuvvet) ∫x r dx= 1r+ 1 x r+1 +c(x> 0, r≠−1 ve r∈)(Logaritmik) ∫ 1dx=ln x+c, (x> 0)x(Üstel) ∫e ax dx= 1 a eax +c (a≠0)Tabii ki var Selçuk. Öncelikle şunu belirteyim ki, bir türev formülünühemen bir integral formülüne dönüştürebiliriz. Örneğin(x4 ) ′ = 4x 3 olduğundan,∫4x 3 dx= x 4 + cyazabiliriz. Başka örnekler için yandaki vitrine bakabilirsiniz.Bu durumda türevi kullanarak bütün fonksiyonların belirsizintegralini hemen bulabiliriz. Bu iş bitmiştir diyebilir miyiz hocam?Maalesef Engin! Türev kuralları sistematik bir şekilde uygulanarakçok karmaşık fonksiyonların türevleri bulunabilir. Ancakbazı basit fonksiyonların bile belirsiz integralini bulmak çok zor,hatta belli bir anlamda imkansız olabilir.Olası bazı durumlar için birçok integral alma yöntemi geliştirilmiştir.Bu yöntemlere geçmeden birkaç genel kuralı verelim: Herhangi f ve gfonksiyonları ve bir a sayısı için∫ ∫af(x)dx= a f(x)dx∫(f(x)± g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dxolur.

18 1 Belirli ve Belirsiz İntegralÖnce çarpım halindeki sabiti integralin dışına alalım.∫ ∫5e −2x dx= 5 e −2x dxŞimdi de üstel integral formülünü uygularsak∫ ∫5e −2x dx = 5 e −2x dx= 5− 1 2 e−2x + c 1= − 5 2 e−2x + 5c 1olur. c= 5c 1 dersek∫5e −2x dx=− 5 2 e−2x + celde ederiz.İntegrantı, iki fonksiyonun toplam veya farkı biçiminde, ya dasabitle bir fonksiyonun çarpımı biçiminde olan integrallerinnasıl alındığını gördük hocam. İntegrant iki fonksiyonun çarpımı biçimindeyse,bunların integrali çarpıma giren fonksiyonların integrallerininçarpımına eşit midir?Hayır Engin, istersen bunu basit bir örnek üzerinde görelim.İntegrantı f(x)=x 2 = x·x fonksiyonu olan bir integral,g(x)=x’in integrali ile h(x)=x’in integralinin çarpımına eşit değildir.Yani,∫ ∫ ∫ (x·x) dx≠ xdx xdx olur.∫ ∫Bu eşitlik olsaydı, xdx= x22 + c 1 ve∫ x2 x2(x·x) dx=2 + c 12 + c 2xdx= x22 + c 2 olduğundan= x44 + c x 212 + c x 222 + c 1c 2elde edilirdi. Ancak c 1 ve c 2 sabitleri ne olursa olsun eşitliğin sağ yanınıntürevi, integranta, yani x 2 fonksiyonuna eşit olamaz.

Belirsiz İntegral 19Peki iki fonksiyonun çarpımının integralini nasıl bulacağız hocam?İki fonksiyonun çarpımının türev formülü bize, çarpımlarınintegrallerinin alınması için yararlı bir kural çıkarmamızı sağlar.Türevin çarpım kuralı olan ′= f(x)g(x) f ′ (x)g(x)+ f(x)g ′ (x)e ş i t ğinden l i∫f(x)g ′ (x)dx= f(x)g(x)−∫f ′ (x)g(x)dxformülünü elde ederiz. Buna kısmi integrasyon formülü denir.Bayağı uzun bir formül oldu hocam. Üstelik integralden dekurtulmuş değiliz.Haklısın Gökçe. Bu formül H(x)= f(x)g ′ (x) fonksiyonununintegralini G(x)=f ′ (x)g(x)’in integraline indirger. İ ş i n p ü fnoktası H(x) fonksiyonu için f(x) ve g ′ (x) fonksiyonlarının seçimidir.İyi bir seçim ∫ diğer integrali kolayca çözülür hale dönüştürebilir.Ş i m d i xe 2x dx integralini kim çözecek? Yani xe 2x fonksiyonununbir ilkelini kim bulacak?Ben deneyeyim hocam. Önce integrantı f(x)g ′ (x) çarpımı biçimindeyazalım. f(x)=x ve g ′ (x)=e 2x dersek∫ ∫f ′ (x)=1 olur ve g(x)= g ′ (x)dx= e 2x dx= 1 2 e2x alabiliriz.Buradan∫f(x)g ′ (x)dx= f(x)g(x)−∫g(x)f ′ (x)dxolur.∫xe 2x dx= x· 1 ∫ 12 e2x −2 e2x· 1dx= 1 2 xe2x −2·1 1 2 e2x + c

20 1 Belirli ve Belirsiz İntegralİntegrantı iki fonksiyonun çarpımı biçiminde olan tüm integrallerdebu formülü mü kullanacağız hocam?Tabii ki hayır. İntegrantı iki fonksiyonun çarpımı biçimindeolan integrallerde türevler için bilinen zincir kuralını yararlıbir integral alma yöntemine çevirebilirsiniz. Bunu önce basit bir örneküzerinde görelim. Sonra yöntemi açıklayalım. Örneğin;∫(x 2 + 2) 20 2xdx integrali verilsin.Bunu kısmi integralle biraz zor çözersiniz.(x 2 +2) 20 ifadesi(x 2 +2) ’ninkendisiyle 20 kez çarpımı olduğundan çarpımı yapsanız iş uzar da uzar.Bunun yerine(x 2 + 2) 20 ifadesinde x 2 + 2’yi yeni bir değişken olarakalıp integranttaki diğer çarpımın bunun x’e göre türevi olup olmadığınıkontrol ederiz. Yani u= x 2 + 2 deyip du ’in 2x’e eşit olup olmadığınadxbakarız. u ′ = du = 2x olduğundan aradığımızı bulmuş oluruz. Böylecedx ∫du= u ′ dx= 2xdx olacağından integral yeni u değişkeni ilebasit integraline dönüşür. Sonuç olarak integral∫u 20 du= u2121 + colur.u, x 2 + 2 idi. u yerine tekrar x 2 + 2 yazılırsa∫(x 2 + 2) 20 2xdx= (x2 + 2) 21bulunur.21+ cÖrnekten anladığım kadarıyla, çarpım halindeki iki fonksiyondanbiri diğerinin bir parçasının türevi oluyorsa öncelikle buyolla çözmeyi denemekte yarar var, değil mi hocam?u 20 duFonksiyonun bir parçası ne demek bilmiyorum, ama söylediğinkulağa fena gelmiyor. Genel olarak∫f(g(x))g ′ (x)dxintegralini ele alalım. Dikkat ederseniz integrant f(g(x)) bileşke fonksiyonuile g(x)’in türevinin çarpımından oluşuyor. Bu durumda u= g(x)

Temel Teoremler 21∫dersek dudx = g′ (x) ya da du= g ′ (x)dx olur. Böylece integralbiçimine dönüşür. f(u)’nun bir F(u) ilkeli varsa∫f(u)duyff(u)du= F(u)+colur ve bu da∫f(g(x))g ′ (x)dx= F(g(x))+ cA(x)olduğunu verir. Buna integralde değ i ş k e n d ĕgiştirme denir.axbxTemel TeoremlerBuraya kadar belirli ve belirsiz integral alma teknikleri hakkındaaz da olsa bir fikir edindiniz. Şimdi de sürekli bir ffonksiyonu ile bu fonksiyonun grafiğinin sınırladığı alan arasındaki ilişkiyiinceleyelim.f sürekli bir fonksiyon ve[a, b] aralığı içindeki her bir x için f(x)pozitif olsun.[a, b] aralığı içindeki bir x için, f ’nin grafiği altında ve[a, x] aralığı üzerindeki alanı A(x) ile gösterelim. x değiştikçe A(x), x’inbir fonksiyonu olur. Bu durumda A ′ (x)= f(x) olur. Bunun doğruluğunuşöyle sezinlemeniz mümkündür:Şekildeki taralı alanı A(x) ile göstermiştik.∆x sıfıra çok yakın birsayı olsun.[a, b] içinde x’i∆x kadar hareket ettirelim. x+∆x noktasınagelelim. Bu durumda A(x) alanı çok az bir büyümeyle A(x+∆x)sayısına eşit olacaktır. Bu durumda A(x+∆x)−A(x) ince şeridin alanıolur. Bu şeridi çok çok küçük tuttuğumuzda alanının, yaklaşık olarak tabanı[x,x+∆x] aralığı ve yüksekliği[x, x+∆x] aralığı içindeki birk noktasının f(k) görüntüsü olan dikdörtgenin alanına eşit olduğunusöyleyebiliriz. Bu durumuŞekil 1.23: A(x) alan fonksiyonu.yfA(x)xa x byfA(x+∆x)−A(x)xax x+∆x bŞekil 1.24: A(x+∆x)−A(x) ş e -ridinin alanı.A(x+∆x)− A(x) ∼ = f(k)∆xyfbiçiminde yazalım. Ancak∆x→ 0 olduğunda f(k) değerleri f(x)’e yaklaşacaklardır.Bu da tam olarak;f(k)A ′ A(x+∆x)− A(x)(x)= lim = f(x)∆x→0 ∆xolması demektir. Böylece a ile b arasındaki her x içinA ′ (x)= f(x)ax kx+∆xxbolur. Sizce bunun bir başka anlamı var mıdır?Şekil 1.25:A(x+∆x)−A(x) ∼ = f(k)∆x.

22 1 Belirli ve Belirsiz İntegralA ′ (x)= f(x) e ş i t ğini l i sağlayan A(x) fonksiyonu f(x)’in birilkeli olur hocam.Bravo Engin. f(x)’in diğer bir ilkeli F(x) olsaydı, A(x) ileF(x) arasında nasıl bir ilişki olacaktı?A(x)’i F(x)’e bir sabit sayı ekleyerek elde ediyorduk. Yaniyazabiliyorduk hocam.A(x)=F(x)+cF(x)bagösterimi F(b)− F(a)sayısını ifade eder.Teorem (İntegralin TemelTeoremi)f , [a, b] aralığında süreklibir fonksiyon ve F, f fonksiyonununbir ilkeli ise∫ baolur.f(x)dx= F(b)− F(a)Çok güzel Zeynep. A(a)= 0 olduğunu da kullanırsakA(x)=F(x)+c e ş i t ğindeki l i c sayısını şöyle hesaplayabiliriz:0=A(a)=F(a)+c e ş i t ğinden l i c=−F(a) olur veA(x)=F(x)+c=F(x)− F(a)yazabiliriz. Bu ise bize f(x)’in herhangi bir ilkeliyle A(x) alan fonksiyonununbulunabileceğini gösterir. Böylece f ,[a, b] aralığında sürekli birfonksiyon ve F(x), f(x)’in bir ilkeli yaniolan bir fonksiyon ise∫ baF ′ (x)= f(x)f(x)dx= F(x)ba= F(b)− F(a)olarak hesaplanabilir. Ayrıca bu yazım f(x)’in ilkellerinin seçimindenbağımsızdır. Şimdi(1− x 2 )dx integralini bu yöntemle hesaplayabilirsiniz.∫ 10Daha önce bu integrali tüketme metodu ile uzun uzun hesaplamıştıkhocam. Anlattıklarınıza göre f(x)=1− x 2 fonksiyonununherhangi bir ilkelini kullanarak bunu hesaplayabiliriz. f(x)’inbelirsiz integrali∫ ∫f(x)dx= (1− x 2 )dx= x− x33 + c

Temel Teoremler 23olduğundan, c sayısının herhangi bir seçimi için f(x)’in bir ilkelini buluruz.Örneğin c= 0 alırsakolur. Buradan;F(x)=x− x33∫ 10f(x)dx= F(1)− F(0)=1− 133− 0+033 = 2 3yy=g(x)bulunur.Aİki Eğri ile Sınırlanan Alanay= f(x)bxBelirli integrali kullanarak iki eğri ile sınırlanan alanı hesaplayabiliriz.[a,b] aralığı üzerinde sürekli ve bu aralık üzerindef(x)≤ g(x) eşitsizliğini sağlayan f ve g fonksiyonları verilsin. Fonksiyondeğerleri arasındaki bu eşitsizlik, f ’nin grafiğinin tamamen g’ningrafiğinin altında olduğunu söyler. Bu iki grafik arasındaki alana A dersekA sayısıA=∫ ba g(x)− f(x) dxbelirli integrali ile belirlenebilir.f(x)=2x−4 ve g(x)=x 2 +1 fonksiyonlarının[0,3] aralığı üzerindekigrafik parçalarının arasındaki bölgenin alanını hesaplayabilir misiniz?Şekil 1.26:∫ b A= g(x)− f(x) dx.ay10g(x)=x 2 + 19876543Hocam önce grafikleri çizelim ve fonksiyonların durumlarınıbelirleyelim.[0,3] aralığındaki tüm x’ler içinf(x)=2x− 4< x 2 + 1= g(x)olduğunu söyleyebiliriz. Bu eğrilerle sınırlı alan,21−1−2−3−4f(x)=2x− 4Ax1 2 3 4 5Şekil 1.27: f(x)= 2x− 4 veg(x)= x 2 + 1 fonksiyonlarının[0,3]aralığı üzerindeki grafikparçalarının arasındaki bölgeninalanı.

24 1 Belirli ve Belirsiz İntegral∫ 3A= (g(x)− f(x))dx =0∫ 30(x 2 + 1−(2x− 4))dx∫ 3= (x 2 − 2x+ 5)dx0= x33 − x2 + 5x30= 333 − 32 + 5·3− 033 + 02 − 5·0= 3 2 − 3 2 + 5·3=15 br 2 olur.Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama Değerineydi?Söyle bakalım Engin, geçen dönem matematik dersinin sınavlarındanhangi notları aldın ve bunların aritmetik ortalaması77, 80 ve 95 aldım ve bunların aritmetik ortalaması;77+80+ 953= 2523= 84 yapıyor hocam.Güzel, o halde iki, üç ya da sonlu sayıda büyüklüğün aritmetikortalamasının ne anlama geldiğini biliyorsunuz. Peki sizce[a, b] kapalı aralığı üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun ortalaması neanlama gelir?Belli noktalardaki değerlerinin toplamının, nokta sayısına bölümüanlaşılır değil mi hocam?[a, b] aralığı sonsuz elemanlı olduğundan, tam olarak bu değil,ancak önce bu durumu ele almak, genel durum için birfikir verebilir.[a, b] aralığını,a= x 0 < x 1 < x 2

Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri 25noktalarını kullanarak eşit uzunluklu n parçaya bölüp, fonksiyonunf(x 1 ), f(x 2 ),...,f(x n ) değerlerinin aritmetik ortalamasına bakalım. Altaralıklar eşit uzunluğa sahip olduğundan∆x=∆x k = x k − x k−1 = b−anyazabiliriz. Buradan 1 n = ∆x olur. Böyleceb−af(x 1 )+f(x 2 )+···+ f(x n )n= 1 n f(x1 )+f(x 2 )+···+ f(x n ) = ∆x f(x1 )+f(x 2 )+···+ f(x n ) b−a= f(x 1)∆x+ f(x 2 )∆x+···+ f(x n )∆xb−abulunur. Peki n’yi sınırsız büyütsek, yani n→∞yapsak, sonuç ne olur?Sonuçta paydaki ifade f fonksiyonunun a’dan b’ye belirli integraliolur hocam. Bu da f ’nin[a, b] aralığı üzerindeki ortalamadeğerininolacağını vermez mi?∫ baf(x)dxb−aAferin Zeynep, beklediğim cevap tam da buydu. f fonksiyonu[a, b] aralığı üzerinde sürekli olduğundan,f(¯x)=∫ baf(x)dxb−ae ş i t ğini l i sağlayan en az bir ¯x noktası vardır. Bunun neden böyle olduğuhakkında bir fikriniz var mı?f(¯x) ortalama değer olduğundan, fonksiyonun[a, b] aralığıiçinde aldığı en küçük değerden büyük; en büyük değerden deküçüktür hocam. Ancak ne olduğunu tam olarak bilemeyeceğim.

26 1 Belirli ve Belirsiz İntegralyMmMmxa ¯x bb−a∫ bm(b−a) ≤ f(x)dx⇒ m≤olur.y∫ baa≤ M(b−a)f(x)dx≤ Mb−aHaklısın Engin. f ’nin[a, b] aralığındaki ortalama değerini aldığı¯x’yi hemen bulamayız. Ancak f ’yi[a, b] aralığı üzerindepozitif kabul edip, yandaki şekil ve açıklama yardımıyla varlığını söyleyebiliriz.Ayrıca∫ byorumunu da yapabiliriz.af(x)dx= f(¯x)(b−a) e ş i t ğinden l i bir geometrikŞekil 1.28’e bakarsanız, f ’nin[a, b] aralığı üzerindeki f(¯x) ortalamadeğeri, şekildeki taralı dikdörtgenin yüksekliğidir. Bu dikdörtgeninalanı, fonksiyon grafiği ile x-ekseni arasında kalan alana eşittir.Sürekli bir fonksiyonun ortalama değerini anladık da hocambu günlük hayatta nerede karşımıza çıkar?Hemen bir örnek vereyim Gökçe. Bir şehre su sağlayan bir barajıniçindeki su seviyesi sürekli bir değişim gösterir. O haldebarajdaki su seviyesi zamanın sürekli bir fonksiyonudur. Su seviyesinin,saatlik, günlük, haftalık, aylık ya da yıllık ortalamalarını bilmek isteyebiliriz.Bunu da su seviyesi fonksiyonunun belirli integralini kullanarakhesaplayabiliriz.f(¯x)Peki hocam, bir de sürekli bir fonksiyonun ortalama değerininhesaplanmasına somut bir örnek görsek?f(¯x)a¯xb−abxPeki o zaman, f(x)=(x− 2) 2 fonksiyonunun[0,2] aralığıüzerindeki ortalama değerini bulabilir misin?Şekil 1.28: f(x) fonksiyonunun[a, b] aralığı üzerindeki f(¯x) ortalamadeğeri.Sürekli bir fonksiyon, m enküçük ve M en büyük değerleriarasındaki bütün değerlerialacağından [a, b] aralığındaf(¯x)=f(x)dxb−a∫ baolan ¯x noktası vardır ve∫ baolur.f(x)dx = f(¯x)(b−a)Bir deneyeyim hocam. Ortalama değerif(¯x)= 1b−a∫∫ baf(x)dx= 12−0∫ 20(x− 2) 2 dxidi. Şimdi (x− 2) 2 dx integralini hesaplayayım. u= x− 2 dersem,∫du= dx olacağından, integral u 2 du= u3+ c olur. Böylece u yerine3∫x− 2 yazar ve c= 0 alırsam (x− 2) 2 (x− 2)3dx= elde ederim.3Buradan da ortalama değerf(¯x)= 1 (x− 2) 322 30= 1 (2−2) 3− 1 (0−2) 3= 4 2 3 2 3 3 olur.

Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri 27Aferin Gökçe. Şimdi bu ortalamayı veren ¯x noktasını bulalım.yf(¯x)=(¯x− 2) 2 = 4 34olduğundan¯x− 2=± 2 3olur. Yani ¯x 1 = 2− 23ve ¯x 2 = 2+ 23olarak bulunur. 2+ 23/∈[0,2]olduğundan istenen nokta ¯x= 2− 2 3olur.43ÖzetBu bölümde matematiğin en temel kavramlarından biri olan integralkavramını ele aldık. Öncelikle kavramın temelini oluşturan fikirleri kullanarak,günlük yaşantımızdaki bazı problemlerin çözümlerinde nasılbir tahminde bulunabileceğimizi gösterdik. Bu fikirler yardımıyla belirliintegrali tanımladık. Belirli integral yardımıyla alan hesaplamalarına birgiriş yaptık. Daha sonra belirsiz integrali tanımladık ve hesaplama yöntemleriüzerinde durduk. Belirli integralin, belirsiz integral kullanılarakkolayca hesaplanmasını sağlayan, integralin temel teoremlerini açıkladık.İki eğri ile sınırlanan bölgelerin alanlarının belirli integral yardımıylahesaplanması üzerinde durduk. Son olarak da, sürekli bir fonksiyonunortalama değerinin belirli integral kullanılarak nasıl hesaplanacağınıgösterdik.x2− 2 23Şekil 1.29: f(x)=(x−2) 2 fonksiyonunun[0,2]aralığı üzerindekiortalama değeri.

28 1 Belirli ve Belirsiz İntegralOkuma ParçasıALAN HESAPLAMAKTa ilkokuldan beri öğrendiğimiz için, alan hesaplamak bize pek kolay ve sıradangelebilir. Oysa hiç de öyle değildir. Örneğin alan ölçmek uzunluk ölçmekten çok dahazordur, ne de olsa uzunluk ölçmek için metre diye gayet basit bir alet var. Alan ölçmekiçin de bir alet varsa da hiç de basit bir alet değildir. Planimetre adı verilen bu aletlerinfikir babası Johann Martin Hermann’dır. 1814’de bulunan planimetre kavramı 1854’teİsviçreli matematikçi, fizikçi, mühendis ve fabrikatör Jakob Amsler-Laffon tarafındangerçekleştirilmiştir. İşte resimleri:Planimetrenin üç değişik versiyonuSözgelimi bir ipi bir çemberin çevresine dolayarak çemberin uzunluğunu aşağıyukarı ölçebiliriz ama dairenin alanını ölçmek daha zordur. Ya bir daireden çok dahakarmaşık olan şöyle bir şeklin alanını nasıl hesaplarsınız?Zaten alan ölçmek o kadar kolay olsaydı, Eski Mısırlılar yamukların alanınıdoğru hesaplarlardı! Oysa, yamukların alanını gerçeğinden hep daha fazlahesaplamışlardır. Ya daha iyisini bilmediklerinden ya da köylülerden daha çok vergialabilmek için…Aslında bir boyut arttırarak düzlemsel bir alan kolaylıkla hesaplanabilir. Tabanıyukarıdaki alan olan yeterince yüksek bir silindir inşa edelim. Sonra 1 suyu bu tuhafsilindire boca edelim. Suyun çıktığı yükseklik ise, tabanın alanı olur.Kaynak: Matematik Dünyası, Sayı: 87, 2011-II.

Çıkarın Kağıtları 29Çıkarın Kağıtları1. y= f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda∫ 26.f(x)d x integralinin−3y1 y= f(x)−3 AA 3 2xA −1 21−2E) 9 2∫ 2f(x)d x integralinin−1y1 y= f(x)−1x− 1 22C)8 D) 8 3 E)1 9.3x+ 1 =?verilmiştir. Buna göresonucu aşağıdakilerden hangisidir?A) 1 2B) 0 C)2 D) 5 22. y= f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaverilmiştir. Buna göresonucu nedir?3.∫ 32(x 2 − 1)d x integralinin sonucu aşağıdakilerdenhangisidir?A)1 B) 16 34.∫ 32(4x 3 + 1)d x integralinin sonucu aşağıdakilerdenhangisidir?A)63 B)64 C)65 D)66 E)675.∫∫x d xx+ 1 d x+x 2∫ x 2 − 3d x integralinin sonucu aşağıdakilerdenhangisidir?A)x 33 − 3x+ c D) x− 1 x + cB) x 2 − 3+ c E)C) x+ 3 x + cx 33 + 3x2 + c7. y=f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaverilmiştir. Grafiğe göre∫ 3−2f ′ (x)d x integralininsonucu aşağıdakilerden hangisidir?−2y5−1A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 18. Üstten y = x 2 + 1 parabolü alttan x-ekseni ve yanlardan x = 0 ve x = 2 doğrularıylasınırlı bölgenin alanı kaç br 2 ’dir?A) 8 13B) C) 14 D) 1 3 3 3 3 E) 1∫ 10(x+ 1) 3 d x integralinin sonucu aşağıdakilerdenhangisidir?A) 13410.∫ 20B) 154x 4 d x=?C) 1743D) 194xE) 214

30 1 Belirli ve Belirsiz İntegralÇözümler1.∫ 2f(x)d x=−A 1 +A 2 +A 3 =− 2·22 + 1·12 +2·1−3= −2+ 1 2 + 2= 1 2 ’dir.Doğru cevap A seçeneğidir.2. I. Yol:Köşeleri(−1,0),(−1,−0,5),(0,0) olan üçgeninalanına A 1 ve köşeleri(0,0),(2,0),(2,1)olan üçgenin alanına A 2 dersek∫ 2f(x)d x= A 2 − A 1 = 1− 1 4 = 3 4 olur.−1II. Yol:İki noktası bilinen doğru denklemini kullanarakf(x)= 1 x olduğu bulunur. Buradan∫ 2212 xd x=1 2· x222= 1 2·22−1 −12 − 1 2·(−1)22 =3 4olur.3.∫ 3(x 2 − 1)d x =2=Doğru cevap B seçeneğidir.4.∫ 32 x3 33 − x 2 33 233 − 3 −3 − 2 = 163 .3(4x 3 +1)d x=(x 4 +x)=(81+3)−(16+2)= 66.Doğru cevap D seçeneğidir.5.∫∫ ∫x d x x+ 1x+ 1 d x+ x+ 1 = x+ 1 d x∫2=d x=x+ c.6.∫x 2 ∫− 3x 2 d x=Doğru cevap C seçeneğidir.∫d xd x−3x 2= x+ 3 x + c ’dir.7. İntegralin Temel Teoremini kullanarak∫ 3f ′ (x)d x= f(3)− f(−2)=5−(−1)= 6−2elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.8. y = x 2 + 1, x-ekseni, x = 0 ve x = 2doğruları ile sınırlı bölgenin alanı510y2y=x 2 + 1∫ 2 x3 2A= (x 2 +1)d x=3 + x = 8003olur. Doğru cevap C seçeneğidir.x+ 2=143 br29. u= x+ 1 değişken değiştirmesi yapılırsadu= d x olur. Buradan∫(x+ 1) 3 d x =∫u 3 du= u44 + cbulunur. Bu integralde u= x+ 1 ve c= 0 yazılırsa∫ 1(x+ 1) 3 d x =0(x+ 1)44= (1+1)4410− (0+1)44= 154elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.10.∫ 20x 4 d x= x5520= 255 − 055 = 325 .

Diferansiyel DenklemlerZeynep Selçuk EnginDedikodu nasıl bukadar hızlı yayılıyor?2.MATEMATİK 2ÜNİTEDİFERANSİYEL DENKLEMSOĞUMA YASASINÜFUS ARTIŞIGENEL ÇÖZÜMKARBON TESTİBAŞLANGIÇ DEĞERİSINIRLI BÜYÜME

32 2 Diferansiyel DenklemlerDiferansiyel Denklemlere GirişMerhaba arkadaşlar, bugün pek çok bilim dalında hatta günlükyaşantımızda dahi uygulamaları olan diferansiyel denklemlerkonusu ile ilgileneceğiz.Hocam diferansiyel denklem nedir?En basit tanımıyla, içinde değişkenlerin türevlerini bulundurandenkleme diferansiyel denklem denir.Diferansiyel denklemler mühendislik, fizik, kimya, ekonomi,biyoloji gibi birçok bilim dalında karşımıza çıkmakta ve çokçeşitli problemleri türev içeren denklemler yardımıyla modelleyip çözebilmemizeimkan sağlamaktadır.Arkadaşlar, diferansiyel denklemlere türevsel denklemler dedenilir. Öncelikle bir diferansiyel denklemde kullanılan bazıterimleri tanımlamakla işe başlayalım. Bir diferansiyel denklemde hangideğişkene göre türev alınıyorsa, bu değ i ş k e n e b ăgımsız değişken denir.Türevi alınan değişkene ise bağımlı değişken denir. dy ifadesinde y bağımlı,x bağımsız değişken olarak adlandırılır. Bağımlı değişken ile ba-dxğımsız değişkeni göstermek için farklı harfleri de kullanabiliriz. Bağımlıdeğ i ş k e n i n b ğımsız a değişkene göre bir kere türevi alındığı için bu türevliifade birinci mertebedendir (veya basamaktandır) denir. Diferansiyeldenklemlerde y ′ = dy gösterimi de kullanılır.dxTanım Bağımlı değişkenin,bağımsız değişkene göre türevleriniiçeren bir denklemediferansiyel denklem denir.Demek ki birinci mertebeden bir diferansiyel denklem, bağımlıdeğ i ş k e n y, bağımsız değ i ş k e n x ve bağımlı değ i ş k e n i ntürevi dy ’i içerir. Mesela türevi kendisine eşit olan bir fonksiyonun sağladığıdiferansiyel denklemi dy = y şeklinde yazabiliriz. Türevi kendi-dxdxsinin x katına eşit olan fonksiyonun sağladığı diferansiyel denklemi dey ′ = xy şeklinde yazabiliriz. Şimdi herkes birer tane diferansiyel denklemörneği verebilir mi?

33Hocam, herhalde en kolay diferansiyel denklemolsa gerek.dydx = xOlur mu! Türevi c gibi reel bir sabite eşit olandenklemi daha kolay.dydx = cO zamanolsun bari.dydx = 0Neden olmasın? Sabit bir fonksiyon bu denklemi sağlar.Ben de bir denklem örneği vereyim. Türevi kendisinin x eksiğiolan fonksiyonun sağladığı diferansiyel denklemy ′ = y−xşeklindedir.Hocam çözme işini bilemem ama, denklem örneği vermek kolaymış.Örneğin, türevi 1 olan fonksiyonun sağladığı diferansiyeldenklem dexdyşeklindedir. Ya da, türevidenklemşeklindedir.1ydx = 1 xolan fonksiyonun sağladığı diferansiyeldydx = 1 y

34 2 Diferansiyel DenklemlerTanım Diferansiyel denklemiözdeş olarak sağlayanfonksiyona diferansiyeldenklemin çözümü denir.Evet arkadaşlar bunların hepsi birer diferansiyel denklem örneğidir.Diferansiyel denklemler konusunda amacımız diferansiyeldenklemi oluşturmak, denklemin çözümünü sağlayan fonksiyonubulmak ve çözümü yorumlamaktır.Tanım Diferansiyel denkleminkeyfi sabitlere bağlı çözümünediferansiyel denklemingenel çözümü denir.Tanım Diferansiyel denklemingenel çözümündekikeyfi sabitlere değerler vererekelde edilen çözümlereözel çözümler denilir.Diferansiyel denklemlere çözüm bulunması matematikçilerinyüzyıllardır uğ r a ş t ĭgı bir konudur. Diferansiyel denklemlerinhepsini birden çözen genel bir metot mevcut olmadığı için çeşitli çözümyöntemleri geliştirilmiştir. Buradaki amacımız integral alma kurallarınıkullanarak bazı diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak olacaktır.Örneğin, Gökçe’nin verdiğidydx = xdiferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemi y ′ = x şeklinde de yazabiliriz.Burada fonksiyonun türevi x’e eşit, o halde bu fonksiyony=∫xdx= x22 + cyc= 3c= 2c= 1c= 0olur. Arkadaşlar, şimdi de bulduğumuz fonksiyonun türevini alarak çözümünsağlamasını yapalım.Hocam ben zaten sağlamasını yaptım, bulduğumuz fonksiyonuntürevi gerçekten de x’ e e ş i t .c=−1c=−2c=−3xArkadaşlar, böylelikle çözüm fonksiyonunu y= x22 + c ş e k -linde yazabiliriz. Bu eşitliğe diferansiyel denklemin genel çözümüdenir. c keyfi sabitine değerler verilerek bulunan çözümlere dediferansiyel denklemin özel çözümü denilir. Çözüme ait grafiği incelersekc’nin keyfi değerlerine göre çözümün davranışını görebiliriz.Şekil 2.1: y= x22 + c fonksiyonlarailesinin grafiği.Acaba türevi 1’e eşit olan fonksiyon ne olabilir? Ne dersin Selçuk?

35Hocam bu fonksiyonun sağladığı diferansiyel denklem y ′ = 1şeklinde olup ∫ ∫y= 1· dx= dxe ş i t ğinden l iy=x+ colur.Aferin Selçuk, türevi 1’e eşit olan fonksiyon y=x+ c ş e k l i n -dedir.Türevi kendisine eşit olan fonksiyonun sağladığı diferansiyeldenklemin dy = y olduğunu söylemiştik. Acaba bu denklemidxhangi fonksiyon sağlar?Hocam bu soru diğerlerinden biraz farklı sanırım, bunu nasılyapacağız, tek tek fonksiyonları yazıp türevi kendisine eşit mideğil mi diye kontrol mü edeceğiz?siyel denklemin özelliklerini inceleyerek uygun çözüm bulacağız.Arkadaşlar elbette çözümü bu şekilde aramayacağız. Diferan-Burada şöyle bir hile yapalım.diferansiyel denkleminidydx = ydyy = dxşeklinde yazıp, sonra da iki tarafın integralini alalım. Bu durumda,∫1y dy= ∫dxe ş i t ğinden l iln|y|= x+ colur.

36 2 Diferansiyel DenklemlerHocam niçin mutlak değer kullandık?edersekArkadaşlar y negatif değerler de alabileceği için mutlak değerişaretini kullandık. Eğer her zaman için y> 0 olduğunu kabulln y=x+ colarak yazabiliriz.Önceki problemde y’nin değerini daha açık bulmuştuk amaburada sonuç öyle çıkmadı.Haklısın Zeynep. y’yi açık bir şekilde bulamadık, y’nin değeriniaçık bir şekilde yazmaya çalışalım. Bunun için önce eş i t -liğin her iki tarafını da e tabanında yeniden yazarsake ln y = e x+cyanie ln y = e x e cyc 1 = 3c 1 = 2olur. Burada e ln y = y’dir. Böylece çözümy= e c e xc 1 = 1şeklinde olur. Ayrıca c 1 = e c sabitini kullanırsak çözümŞekil 2.2: f(x)=c 1 e x fonksiyonlarailesinin grafiği.xy= c 1 e xşeklinde bulunur. c 1 keyfi pozitif sabitinin değerlerine göre çözümündavranışını yandaki şekilde görebilirsiniz.Hocam, burada bulduğumuz y = c 1 e x fonksiyonu c 1 ’in herdeğeri için denklemi sağlar mı?Zeynep bunun sağlamasını hemen yapabilirsin. Diferansiyeldenklemde y ve y ′ yerine çözüm fonksiyonu ve türevini yazıpsonucun doğru olup olmadığını kontrol edebilirsin.

37Tamam hocam, y= c 1 e x fonksiyonunun x’e göre türevini alırsakdydx = c 1 e x olur. Gerçekten de y fonksiyonunun türevi kendisineeşit oldu.Bir tane de hem bağımsız hem de bağımlı değişkenin geçtiğibir denklem örneği görelim. Türevi kendisinin x katına eşitolan fonksiyonu bulalım.Hocam bu denklem y ′ = xydeğil miydi?olur.Evet Engin. Bu denklemde de bağımlı değ i ş k e n i l e ğımsız b adeğişken içeren terimleri ayırırsak1dy= xdxyŞimdi integral alabiliriz değil mi?Evet, değişkenler ayrıldığı için integral alabiliriz. Arkadaşlar,integrali alınacak ifadede aynı türden değişkenlerin olmasıgerekmektedir. İşlemleri yaparken buna çok dikkat etmeliyiz.O halde integral alırsak∫1y dy= ∫xdx ise ln|y|= x22 + colur. Eşitliğin iki tarafını da e tabanında yazarsake ln|y| = e x2 2 +cve buradan dayani|y|=e x2 2ec|y|=e c e x2 2

38 2 Diferansiyel Denklemleryc 1 = 3c 1 = 2c 1 = 1e ş i t ğini l i elde ederiz. Bulduğumuz eşitlikte y’yi mutlak değerden kurtarırsaky=∓e c e x2 2olup, c 1 =∓e c olarak seçerseky= c 1 e x2 2c 1 =−1c 1 =−2xşeklinde diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur. O halde türevikendisinin x katı olan fonksiyon y= c 1 e x2 2şeklindedir. c 1 sabitinin çeşi t l i ğerlerine d e göre bu fonksiyonların grafiğini yandaki şekilde görebilirsiniz.c 1 =−3Şekil 2.3: f(x)=c 1 e x2 2 fonksiyonlarailesinin grafiği.Bazen bir diferansiyel denklemin bir x 0 noktasında belli biry 0 değerini alan özel bir çözümünü bulmak isteyebiliriz. Buradakiy 0 = y(x 0 ) koşuluna başlangıç değer koşulu denir. Verilen birbaşlangıç değer koşuluna uyan diferansiyel denklemin çözümünün bulunmasıproblemine başlangıç değer problemi denir. Bulunan çözümede diferansiyel denklemin verilen başlangıç koşuluna uyan özel çözümüdenir.Bu anlattıklarımızı bir örnek üzerinde görelim. y ′ = x diferansiyeldenkleminin genel çözümünü y = x22 + c olarakhesaplamıştık. Şimdi bu diferansiyel denklemin herhangi bir başlangıçdeğer koşuluna uyan çözümünü bulalım. Örneğin, y(0)=3 başlangıçkoşuluna uyan çözümünü araştıralım. Engin bir dene istersen.Bu durumda genel çözümde x yerine 0 ve y yerine de 3 yazıpkeyfi sabitin alacağı değeri bulacağız. Böylece y(0)=3için 3= 022 + c e ş i t ğinden l i c= 3 olup diferansiyel denklemin verilenbaşlangıç koşuluna uyan çözümüolarak bulunur.y= x22 + 3Evet arkadaşlar böylelikle verilen başlangıç koşuluna uyanözel çözümü hesaplamış olduk. Burada dikkat etmemiz gerekenhusus şudur: Genel çözüm keyfi bir sabit içerirken, özel çözümbaşlangıç koşullarına uygun olarak bulunan çözümdür.

Nüfus Problemi 39Başlangıç değer problemlerinin pek çok uygulama alanı mevcuttur.Uygulamalı bilim dallarında karşılaşılan problemlerbaşlangıç değer problemleri ile ifade edilirler. Örneğin, bir bölgedekicanlı nüfusunun artması veya azalması problemi, bir cismin sıcaklığındakideğişim, organik maddenin yaşının belirlenmesi hatta dedikodununyayılması gibi problemlerde diferansiyel denklemleri kullanarak çözümlerbulmaktayız.Nüfus ProblemiÜstel ve logaritmik fonksiyonlar ünitesinde pozitif bir nicelikzaman içinde mevcut büyüklükle orantılı olarak artıyorsabunun üstel artış gösterdiğini görmüştük. Şimdi bir bölgedeki canlı nüfusununzamana göre değişimini veren diferansiyel denklemin oluşturulmasıylaişe başlayalım. Herhangi bir andaki nüfusu y= y(t) ile gösterelim.Başlangıç anında yani t= 0 anındaki canlı nüfusu da y(0)=y 0kadar olsun. Canlı nüfusunun mevcut nüfus ile orantılı olarak değ i ş t ğinivarsayalım. Bu değişim oranını da K ile ifade edelim. Burada K sabit birdeğer olup K> 0 iken nüfusun artmakta, K< 0 iken nüfusun azalmaktaolduğunu ifade eder. Bu durumda herhangi bir anda nüfustaki değ i ş i moranışeklinde ifade edilebilir.dydt = KyHocam, buna benzer bir denklem çözmüştük.çözülebilir.Evet, haklısın Engin. Nüfus değişim problemi de değ i ş k e n -lerine göre düzenlendikten sonra integral alma yöntemiyleBu diferansiyel denklemin çözülmesiyle herhangi bir andakicanlı nüfusunu bulabiliriz, değil mi hocam?

40 2 Diferansiyel Denklemleryy= y 0 e KtEvet Gökçe, diferansiyel denklemlerin faydası da bu zaten.Denklemi verilen başlangıç koşuluna uygun olarak çözdüğümüzde,herhangi bir andaki nüfus değerini buluruz. Şimdi elde ettiğimizbu diferansiyel denklemi beraber çözelim.Denklemi düzenlersek1dy= Kdtyolur. Şimdi her iki tarafın da integralini alırsak∫1y dy= ∫Kdty 0xe ş i t ğinden l iln y= Kt+ cŞekil 2.4: K> 0 için nüfustakia r t ı ş .olur. Daha önceki örneklerde olduğu gibi eşitliğin her iki tarafını da etabanında yazıp işlemlere devam ederseke ln y = e Kt+cyy 0y= y 0 e Ktxe ş i t ğinden l iy= e Kt+c = e c e Ktolur. Burada c 1 = e c sabitini alırsak çözümü y= c 1 e Kt olarak buluruz.Şimdi başlangıç değeri olan y(0)=y 0 değerini çözüm fonksiyonundakullanırsak, t= 0 için y 0 = c 1 e 0 e ş i t ğinden l i c 1 = y 0 olur. Bu değeri deçözüm fonksiyonunda yerine yazarsaky= y 0 e KtŞekil 2.5: K < 0 için nüfustakiazalma.olarak sonuç bulunur.Böylece herhangi bir andaki canlı nüfusunu bu üstel fonksiyonukullanarak bulabiliriz. Kullanmış olduğumuz bu modelMalthus modeli olarak da adlandırılmaktadır.Şimdi bu modeli kullanarak ülkemizin gelecekteki tahmininüfusunu hesaplamaya çalışalım. Bunun için ülkemizin 2011yılına ait nüfus verilerini kullanalım. Türkiyenin 2011 yılı adrese dayalınüfus sayımına göre toplam nüfusu 74724269 olarak belirlenmiştir. Yıllıknüfus artış oranı da % 1,35 olduğuna göre 2023 yılında toplam nüfusumuzunne kadar olacağını beraber hesaplayalım.

Nüfus Problemi 41Hocam az önce gördüğümüz zamana göre nüfus değişiminiveren diferansiyel denklemi kullanırsakdydt = Kyolur. Şimdi verilen bilgileri düzenleyelim. 2011 yılı başlangıç olarakalınırsa t = 0 anında nüfus y(0)=74724269, nüfus değ i ş i m o r a n ıK= 0,0135 olup 2023 yılındaki nüfus yani başlangıçtan 12 yıl sonrakitahmini nüfusdydt = Ky, y(0)=74724269başlangıç değer probleminin çözülmesiyle bulunur.Hocam bu diferansiyel denklemin çözümününy= y 0 e Ktbiçiminde bir üstel fonksiyon olduğunu bulmuştuk. Buna göre başlangıçnüfusu ve artış oranının bu üstel fonksiyonda yerlerine yazılmasıyla,2011 yılından t yıl sonraki ülke nüfusuy(t)=74724269 e 0,0135tolur.nüfus(milyon)Şimdi hesap makinesi ile 2023 yılındaki yaklaşık nüfusu hesaplayabiliriz.Engin sonucu hesapla bakalım, yaklaşık nüfusne çıkıyor?Buna göre 2023 yılında yaklaşık nüfus, t= 2023−2011= 12olduğundan,y(12)=74724269 e 0,0135·12 = 74724269· 1,17586olup yaklaşık olarak y(12)≈87865279 olur.90807020112023Şekil 2.6: Yaklaşık nüfus.yılBöylece verilen başlangıç koşullarına göre 2023 yılında ülkemizintahmini nüfusunu diferansiyel denklemler yardımıylahesaplamış olduk. Bu gibi nüfus değişim problemleri için eğer nüfustakideğişimi etkileyen herhangi bir ilave durum yoksa elde ettiğimizy= y 0 e Ktçözüm fonksiyonunu kullanabilirsiniz.

42 2 Diferansiyel DenklemlerRadyoaktif Bozunma HesabıÜstel ve logaritmik fonksiyonlar ünitesinde Ötzi isimli mumyanınyaşının belirlenmesi için karbon yaşı hesaplama yönteminikullanmıştık. Bu yöntemde canlı organizmanın hayatı sona erdiğindevücuttaki C 14 ’ün yani radyokarbonun azalmaya başladığı gerçeğinikullanarak organik maddelerin yaşları tahmin ediliyordu. Radyokarbontesti ile organik maddenin yaşının belirlenmesindedydt =−Kydiferansiyel denkleminden yararlanılır. Burada K kimyasal maddeninçeşidine bağlı olan bir bozunma sabitidir. Şimdi bu diferansiyel denklemiçözelim:1y dy=−Kdte ş i t ğinin l i her iki tarafının integrali alınırsa∫ ∫1y dy=− Kdtolup, buradan daln y=−Kt+ cbuluruz. Eşitliği e tabanında yazarsake ln y = e −Kt+colup, buradan da y= e c e −Kt elde edilir. e c sabitini c 1 ile gösterirsek,çözümüy= c 1 e −Ktyolarak buluruz.Hocam burada üstel terimdeki eksinin anlamı nedir?y 0y= y 0 e −KtŞekil 2.7: Radyoatif madde miktarındakiazalma.tBuradaki eksi işaret, başlangıç anından itibaren sürekli olarakradyokarbonun azaldığını ifade ediyor. Şimdi denklemebaşlangıç koşullarını uygulayalım. Başlangıç anında karbon miktarı y 0kadarsa, t= 0 için c 1 = y 0 olup y= y 0 e −Kt olur. Elde ettiğimiz bu çözümfonksiyonu radyoaktif maddenin büyüklüğünün zamana göre üstelolarak azalmasını gösterir.

Radyoaktif Bozunma Hesabı 43Arkadaşlar size ilginç bir olay anlatayım. 1940’lı yıllarda tesadüfenkeşfedilen Fransa’nın Güney Dordogne bölgesinde bulunanLascaux Mağarası’nda paleolitik çağa ait pek çok duvar resimlerimevcuttur. Mağaradaki resimler yapılırken boya maddesi olarak doğalmalzemelerden elde edilmiş karışımların kullanıldığı belirlenmiştir.Araştırmacılar tarafından mağarada bir parça odun kömürü bulunmuşve siyah rengi vermek için odun kömürünün de kullanıldığı belirlenmiştir.Yapılan ölçümlerle odun kömüründeki C 14 miktarının başlangıçtakimiktarının %18’i kadar olduğu belirlenmiştir. Bu bilgiler yardımıylaodun kömürünün yaşını belirleyip duvarlardaki resimlerin yaşlarını hesaplayabiliriz.Hocam gerçekten çok ilginç. Mağaradaki duvar resimlerininyaşının diferansiyel denklemler ile hesaplanabileceğini hiç düşünmemiştim.Şekil 2.8: Lascaux Mağrası’ndanduvar resimleri.Matematik böyle birşey işte! Ne zaman karşımıza çıkacağıbelli olmaz. Arkadaşlar, daha önceki üstel fonksiyonlarla ilgilidersimizde C 14 atomlarının yarısının bozunması için 5715 yıl geçmesigerektiğini belirtmiştik. Tüm canlılar için C 14 ile C 12 oranının sabit olduğunubiliyoruz. Bu oran atmosferdeki C 14 miktarının C 12 miktarınaoranına eşit olup sabittir. Bir canlı öldüğünde C 12 miktarı sabit kalırkenC 14 miktarının azalmaya devam ettiği bilgisinden yararlanarak karbonyaşı hesaplanır. Odun kömürünün ana maddesi de ağaç olduğundan C 14miktarının C 12 miktarına oranı başlangıçta atmosferdeki orana eşittir.Bu oran başlangıç anında yani t= 0 anında y 0 olsun.dydt =−Kydiferansiyel denkleminin çözümünden herhangi bir t anındaki karbonoranını veren fonksiyonu y(t)=c 1 e −Kt olarak buluruz.Hocam buradaki c 1 ve K’nın değerlerini bulmak için ne yapacağız?Bunun için başlangıç verilerini kullanacağız. Burada t = 0için y= y 0 değerini fonksiyonda yerine yazarsak y 0 = c 1 e 0e ş i t ğinden l i c 1 = y 0 olur. Böylecey(t)=y 0 e −Kt

44 2 Diferansiyel Denklemlere ş i t ği l i elde edilir.Karbonun yarılanma yaşı 5715 idi. Şimdi de bu bilgiyi kullanalım.t= 5715 yıl sonra mevcut karbonun yarısı kalacağındany(5715)= y 02olur. Bu değeri çözüm fonksiyonunda yazarsak t= 5715 içiny 02 = y 0e −5715Kbulunur. Böylece y 0 ile sadeleştirirsek,tarafınında doğal logaritmasını alırsak,12 = e−5715K olur. Eşitliğin ikiln 1 2 =−5715Kelde edilir. Buradan daln 1 = ln1−ln2=0−ln2=− ln22olduğundan ln2=5715K yazabiliriz. Engin hesap makinesi ile ln2’nindeğerini bulur musun?Hocam ln2 yaklaşık olarak 0,693.O halde 0,693=5715K olur, buradan da K = 0,6935715 eşitliğinibuluruz, yine hesap makinesi yardımıyla K= 0,000121değerini elde ederiz. Böylece herhangi bir andaki karbon oranını verenfonksiyon y(t)=y 0 e −0,000121·t şeklinde bulunur.Şimdi artık bulunan odun kömürü parçasının yaşını hesaplayabiliriz.Haklısın Selçuk, bunu da sen hallet istersen.

Soğuma Problemi 45Odun kömürü parçası bulunduğunda C 14 miktarının %18’ikaldığına göre başlangıçtan itibaren geçen zaman şu şekildebulunabilir:18100 y 0= y 0 e −0,000121·te ş i t ğinden l i18100 = e−0,000121·tolur. Eşitliğin iki tarafının da doğal logaritmasını alıp düzenlersek,ln 18100 =−0,000121tolur. Şimdi hesap makinesine bakmam gerekiyor. ln 18 yaklaşık olarak100−1,7148. Buradan da t yaklaşık olarak 1,7148 ≈ 14172 yıl oluyor.0,000121Gerçekten de epey eski resimlermiş doğrusu.Soğuma ProblemiDiferansiyel denklemleri kullanarak belli bir sıcaklığa sahipbir cismin sıcaklığındaki değişimi hesaplayabiliriz. Bu tür problemlerNewton’un soğuma yasası olarak bilinen yöntem yardımıyla öncekiörneklerimizde olduğu gibi bir başlangıç değer problemi biçimindeifade edilir.Newton’un soğuma yasasına göre soğuyan bir cismin sıcaklığındakideğişim, cismin sıcaklığı ile ortam sıcaklığı arasındakifarkla orantılıdır. Burada ortamın sıcaklığının sabit olduğunu kabul ediyoruz.Buna göre eğer herhangi bir andaki cismin sıcaklığı y, ortamınsabit sıcaklığı s ve orantı sabiti K ise cismin sıcaklığındaki zamana göredeğ i ş i m o r a n ıdy= K(y− s)dtdiferansiyel denklemiyle ifade edilir. Burada cismin sıcaklığının ortamsıcaklığından daha büyük olduğunu kabul edelim.Hocam yine bu denklemi de doğrudan integrali alınabilecekbiçime çevirmemiz gerekiyor değil mi?

46 2 Diferansiyel DenklemlerEvet Engin, zaman değişkenine t dersek, denklemi y’li ve t’literimlere göre düzenlememiz gerekiyor.Yani1dy= Kdt şeklinde yazacağız, değil mi?y− sEvet ama işimiz henüz bitmedi. Bu denklemi çözmemiz gerekiyor.Böylelikle cismin herhangi bir andaki sıcaklığını ifadeeden y(t) fonksiyonunu bulacağız. Engin problemin buradan sonrakikısmını beraber çözelim.Tamam hocam. Elde ettiğimiz eşitliğin her iki tarafının integralinialarak çözüme devam edersek∫1y− s dy= ∫Kdtve buradan daln(y− s)=Kt+ colur. Buradan sonra ne yapacağım?Gene eşitliğin iki tarafını da e tabanında yazarsake ln(y−s) = e Kt+c , yani y− s=e Kt+c = e c e Kt olur.c 1 = e c dersek çözümüy= s+c 1 e Ktolarak buluruz. Şimdi cismin başlangıçtaki sıcaklık değerinin y 0 olduğunukabul edelim. Bu durumday 0 = s+c 1 e 0ve buradan da c 1 = y 0 − s olur. Böylece herhangi bir andaki cisminsıcaklığıy= s+(y 0 − s)e Ktdenklemiyle ifade edilmiş olur.Şimdi Newton’un soğuma yasasını bir örnek üzerinde inceleyelim.Bunun için sizlerle küçük bir deney yapacağız arkadaşlar.Bunun için bana kim yardım etmek ister?

Soğuma Problemi 47Deney mi? Harika, ben yardımcınız olurum hocam.Tamam Selçuk. Bu deneyde belli bir başlangıç sıcaklığına sahipbir bardak çayın soğumasını gözlemleyerek matematikselbir model oluşturacağız. Bunun için bir bardak çayın belirli aralıklarlasıcaklığını ölçerek, belli bir zamandaki soğumasını inceleyeceğiz.Arkadaşlar, şimdi sizlerle beraber okul kantinimize gidip budeneyi yapalım.Evet arkadaşlar herkes hazırsa deneyimize başlayalım. Önceliklebulunduğumuz ortamın sıcaklığını ölçelim.Hocam ben ölçtüm, burası 30 derece.Tamam, ortamın sıcaklığını sabit ve 30 derece olarak alalım.Şimdi çaydanlıktan doldurduğumuz sıcak çayın hiç zamankaybetmeden sıcaklığını ölçelim.Hocam çay 75 derece.Tamam Selçuk, biraz bekleyip çayın 5 dakika sonraki sıcaklığınıölçeceğiz.Tamam, hocam... Çayın 5 dakika sonundaki sıcaklığı 63 derece.Tamam arkadaşlar, elimizdeki verilerden yararlanarak bir matematikselmodel kuracağız ve bu model yardımıyla çayın 10dakika sonunda kaç derece olacağını hesaplayacağız. Selçuk da bu aradaçayın 10 dakika sonraki gerçek sıcaklığını ölçsün.

48 2 Diferansiyel DenklemlerHocam Newton’un soğuma yasasındaki denklemi mi kullanacağız?Evet Zeynep. Elimizdeki verilere göre çayın başlangıç anındakisıcaklığı y 0 = 75 derece ve ortamın sabit sıcaklığı s=30dereceydi. Bu durumda herhangi bir andaki çayın sıcaklığındaki değişimiveren diferansiyel denklemdy= K(y− 30)dtolur.Hocam az önce elde ettiğimizy= s+(y 0 − s)e Ktçözüm fonksiyonunu bu durumday= 30+(75− 30)e Kt = 30+ 45e Ktşeklinde yazabiliriz değil mi?Aferin Gökçe, şimdi de K sabitini belirlemeye çalış bakalım.Bu biraz zor olacak galiba...Elimizde hala kullanmadığımız bilgi olarak çayın 5 dakika sonrakisıcaklığı var.Sağol Selçuk, bu işimize yarayacak. 5 dakika sonraki sıcaklık63 dereceydi. Yani t= 5 için y(5)=63 demek olup, buradan63=30+45e 5Kolup 33=45e 5K e ş i t ği l i elde edilir. Buradan da 3345 = e5K olur. Eşitliğinher iki tarafının doğal logaritmasını alırsak,33ln = ln(e 5K )=5K45ve buradan da K= 1 5 ln 3345çıkıyor?olur. Engin hesap makinesi ile sonuç kaç

Soğuma Problemi 49Hesaplıyorum Gökçe, K’nın değeri yaklaşık olarak−0,062oluyor.Hocam o halde herhangi bir andaki çayın sıcaklığını verenifade y= 30+ 45e −0,062t olur.Çok güzel, şimdi artık çayın t= 10 anındaki sıcaklığını bulabilirsin.Hayret, bunu yapabileceğimi hiç zannetmezdim. Ama ne kadarkolaymış! t yerine 10 yazarsaky= 30+45e −0,062·10 = 30+ 45e −0,62olup, böylece 10 dakika sonunda çayın sıcaklığını hesaplamış oluruz.Haydi Engin çabuk ol!Evet, hesap makinesi yaklaşık olarak 54,2 değerini veriyor.Selçuk sıcaklığı ölçtün mü? Kaç derece çıktı?Evet, 55 derece çıkmıştı.Eh bu kadar hata kadı kızında da olur.Evet arkadaşlar, hepinize bravo!Hocam şimdi canımız bir bardak çay çekti doğrusu.

50 2 Diferansiyel DenklemlerSınırlı BüyümeArkadaşlar, bir firma yeni bir ürünü piyasaya sürmek istiyor.Bunun için de televizyona reklam vermeyi planlıyor. Reklamyayımlanmaya başladıktan sonra reklamı gören kişi sayısının henüz reklamıgörmemiş olan kişi sayısıyla orantılı olarak değ i ş t ğiidüşünülmektedir.Reklamın ulaşabileceği maksimum kişi sayısı M, reklamı gören kişisayısı y ve orantı sabiti K olmak üzere değişim oranını veren diferansiyeldenklemdydt = K(M−y)şeklinde yazılabilir. Reklamı başladığı anda gören hiç kimse olmadığınagöre t= 0 için y(0)=0’dır. Bu modele sınırlı büyüme modeli denilmektedir.Hocam bu denklem de önceki denklemler gibi çözülebilir mi?Şüphesiz Selçuk, bu denklemdyM− y = Kdtşeklinde yazılabilir ve her iki tarafın integralini alırsak∫∫dyM−y =Kdt,− ln(M−y)=Kt+ celde edilir. Bu eşitliği, her iki tarafı−1 ile çarparakln(M− y)=−Kt− cşeklinde de yazabiliriz. Buradan dae ln(M−y) = e −Kt−cyaniM−y= e −Kt e −colur. Eşitliği düzenlerseky= M− e −Kt e −c

Sınırlı Büyüme 51bulunur. Başlangıç anında y(0)=0 olduğundan0= M− e −cyaniolupe −c = My= M− e −Kt M= M(1− e −Kt )elde edilir.Demek ki arkadaşlar, sınırlı büyüme modeli için kullanılanbaşlangıç değer probleminin çözümüyy(t)=M(1− e −Kt )Mfonksiyonu ile ifade edilmiş oluyor. Sınırlı büyüme modeli bir şirketinne kadar büyüyebileceği, öğrenme becerilerinin ne kadar gelişebileceği,araçların yıpranmasının belirlenmesi gibi değişik problemlerde de karşımızaçıkmaktadır.Hocam, bununla ilgili somut bir örnek çözebilir miyiz?y= M(1− e −Kt )Şekil 2.9: Sınırlı büyüme.tElbette, bir elektronik firması nüfusu 100000 olan bir bölgedeyayım yapan yerel bir radyoda ertesi gün % 50 indirimli satışlaryapacağını belirten reklamlar yayımlatıyor. Bir saat içinde 7500 k i ş i -nin yapılan reklamlardan haberdar olduğunu varsayarsak, 5 saat içindebu reklamdan kaç kişinin haberdar olacağını bulalım.Hocam ben bir deneyeyim. Bu problem için reklamın ulaşabileceğimaksimum kişi sayısı 100000 olacaktır. Başlangıçanında hiçbir kimsenin bu reklamdan haberi olmadığına görey(0)=0 olur. Buna göre reklamdan haberdar olan kişi sayısıy(t)=100000(1− e −Kt )e ş i t ği l i ile bulunur. Bir saat sonra 7500 kişi reklamdan haberdar olduğunagöre7500= 100000(1− e −K )e ş i t ğinden l i7500100000 = 1− e−K ,

52 2 Diferansiyel Denklemlerya da 751000 = 1− e−K olur. Buradan,e −K = 1− 751000 = 9251000ve nihayet−K= ln 925 elde ederiz. Engin’in hesap makinesiyle de,1000K yaklaşık olarak 0,07796 olur.Demek ki fonksiyonumuzuy(t)=100000(1− e −0,07796t )şeklinde yazabiliriz. Beş saat sonra t= 5 içiny(5)=100000(1− e −0,07796·5 )olup,... Engin imdat!y(5)=32281 oluyor. Yani beş saat sonra 32281 kişinin indirimdenhaberi oluyor.mıyla beş saat içinde kaç kişinin bu indirimden haberdar olacağınıbulduk.Evet arkadaşlar böylece matematiksel bir modelleme yardı-Dedikodunun YayılmasıDiferansiyel denklemlerin sosyoloji alanında da ilginç uygulamalarıvardır. Mesela bir topluluk içinde dedikodunun yayılmasıdurumu bir diferansiyel denklem ile modellenebilir.Nasıl yani hocam, dedikoduyla matematiğin ne ilgisi var?Bakıyorum da konu dedikodu olunca hiç kaçırmıyorsunGökçe?

Dedikodunun Yayılması 53Arkadaşlar bir dedikodu ya da söylentinin yayılma hızı, hemdedikoduyu duymuş olan kişi sayısı hem de henüz dedikoduyuduymamış olan kişi sayısıyla doğru orantılıdır.Hocam bunu bir diferansiyel denklemle nasıl açıklayabiliriz?Topluluktaki toplam kişi sayısı P ve dedikoduyu duymuş olankişi sayısı da y olsun. Bu durumda henüz dedikoduyu duymamışkişi sayısı P− y olur. K bir orantı sabiti olmak üzere dedikoduyayılmasını modelleyen diferansiyel denklemdydt= Ky(P− y)şeklinde olur. Başlangıçta dedikodu bir kişiden yayılırsa y(0)=1 olur.Buna göre bu başlangıç değer probleminin çözümününPy(t)=1+(P− 1)e −KPtşeklinde olduğu gösterilebilir. Çok isterseniz çözümü siz de gösterebilirsinizaslında.İsterseniz şimdilik çok istemeyelim hocam.O zaman bir örnek görelim. Toplam mevcudu 1500 kişi olanbir okulda bir öğrenci Ajda Pekkan’ın okullarını ziyarete geleceğisöyletisini yayıyor. İlk 15 dakikada bu söylentiyi duyan öğrencisayısı 100 olduğuna göre yarım saat içinde bu söylentiyi kaç öğrencininduyacağını hesaplayalım.Arkadaşlar toplam öğrenci sayısı P= 1500’dür. Söylenti biröğrenciden yayılmaya başladığı için y(0)=1 olur. Buna görebaşlangıç değer problemimizdydt= Ky(1500− y) ve y(0)=1şeklinde olur. Bu denklemin çözüm fonksiyonuy(t)=15001+1499e −1500Kt

54 2 Diferansiyel Denklemlerolur. Söylenti 15 dakika yani 0,25 saatte 100 öğrenci tarafından duyulduğuiçin y(0,25)=100 olur. Buna göre100=15001+1499e −1500·0,25Ke ş i t ği l i elde edilir. Bu eşitlikten K orantı sabitinin değerini bulalım. Eşitliğiniki tarafını da 100’e bölüp eşitliği düzenlersek1=151+1499e −1500·0,25Kyada1+ 1499e −1500·0,25·K = 15 olur. Buradan dae −375K = 141499yazılabilir. Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alırsak−375K= ln 141499olup, gene hesap makinesiyle, ln 14 ≈−4,6735 ve buradan da1499bulunur. O haldeK≈ 4,6735375 ≈ 0,0125Öğrencielde edilir.y(t)=15001+1499e −1500·0,0125t= 15001+1499e −18,75t15001000500saat0,25 0,51Şekil 2.10: Dedikodunun yayılmasıelde edilir.Artık yarım saat sonra söylentiyi kaç kişinin duyacağını hesaplayabiliriz.Bu eşitlikte t yerine 0,5 koyarsak1500y(0,5)=1+1499e−18,75·0,5≈1331Hocam, dedikodu ne kadar hızlı yayılıyormuş böyle!ÖzetBu ünitede, birinci mertebeden diferansiyel denklemler üzerinde durdukve kolay çözülebilen bazı diferansiyel denklemleri ayrıntılı olarakinceledik. Ayrıca diferansiyel denklemlerin nüfus hesaplaması, sıcaklıkhesabı, organik maddenin yaşının belirlenmesi, sınırlı büyüme problemlerive dedikodunun yayılması gibi çeşitli uygulamalarını inceledik.

Okuma Parçası 55Okuma ParçasıSanat eserlerinin sahtesi n Janerin sahte h yaa sanatan n ren taran illiaatan et ati y il lnainanalar ylarsit yaln niKaynaklar:1. http: //www.radikal.com.tr/Radikal.aspx?aType=HaberYazdir&ArticleID=8899432. Modelling with Differential Equations, D.N. Burghes, M.S. Borrie, Ellies Horwood Limited,1981.

56 2 Diferansiyel DenklemlerÇıkarın Kağıtları1. y ′ = x+1 diferansiyel denkleminin genelçözümü aşağıdakilerden hangisidir?A) y= x22− 2x+ c B) y=x22 + cC) y=x 2 + 1+ c D) y=x+ 1+ cE) y= x22 + x+ c2. y ′ = 3x diferansiyel denkleminin genelçözümü aşağıdakilerden hangisidir?A) y= 3x22 + c B) y=x2 + cC) y= 3x+ c D) y= 3x 2 + x+ cE) y= 3x 2 − 3x+ c3. y ′ = 3x diferansiyel denklemininy(2)=0 koşuluna uyan çözümü aşağıdakilerdenhangisidir?A) y= 3x22 − 6 B) y=x2 − 4C) y= 3x− 6 D) y= 3x 2 + x− 14E) y= 3x 2 − 3x− 6d y4. = 2(x− 1) diferansiyel denkleminind xy(1)=1 koşuluna uyan çözümü aşağıdakilerdenhangisidir?A) y=x −1 B) y=x 2 − 2x+ 2C) y= 2(x− 1) D) y=x 2 + 1E) y= 2x 2 − x− 15. y ′ = x 2 diferansiyel denkleminin x= 0için y = 0 başlangıç değerine sahip çözümüaşağıdakilerden hangisidir?6. x> 0 olmak üzere, y ′ = 1 x + x diferansiyeldenkleminin genel çözümü aşağıdakilerdenhangisidir?A) y= 1 x + x+ c B) y= 1 x + x22 + cC) y= ln(x 2 + x)+c D) y= ln x+ x22 + cE) y= 2x 2 + x+ cd y7. x > 0 olmak üzere,d x = 2 x diferansiyeldenkleminin genel çözümü aşağıdakilerdenhangisidir?A) y= 2x+ c B) y= 2 x + cC) y= 2x 2 + c D) y= 2 ln x+ cE) y= 2 x 2 + c8. y = e 2x fonksiyonu aşağıdaki diferansiyeldenklemlerden hangisini sağlar?A) y ′ = 2 B) y ′ = y C) y ′ = 2yD) y ′ = x E) y ′ = 2x9. Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısındakiartış hızı mevcut bakteri sayısıyla orantılıdır.Kültürdeki bakteri sayısı 3 saatte 2’yekatlandığına göre ne zaman bakteri sayısı 8’ekatlanır?A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 910. Sıcaklığı 100 ◦ C olan bir metal çubuk soğumasıiçin sıcaklığı sabit olarak 20 ◦ C olan birortama bırakılıyor. Çubuğun sıcaklığı 10 dakikanınsonunda 60 ◦ C’ye düştüğüne göre bu çubuğunsoğuma denklemini yazınız.A) y= 2x B) y=x 2 C) y= x33D) y= x2E) y= x 22

Çözümler 57Çözümler1. y ′ = d yd x= x+ 1 isey=∫(x+ 1)d xeşitliğinden c= 2 olup diferansiyel denkleminverilen koşula uygun çözümüy=x 2 − 2x+ 2eşitliğindeny= x22 + x+ colur.Doğru cevap B şıkkıdır.5. y ′ = x 2 ise y= ∫ x 2 d x olupelde edilir.Doğru cevap E şıkkıdır.2. y ′ = 3x iseeşitliğindenolur.y=∫Doğru cevap A şıkkıdır.3xd xy= 3x22 + c3. Diferansiyel denklemin genel çözümüy= 3x22 + colup, y(2)=0 koşulu kullanılarak0=3 222 + ceşitliği elde edilir. Buradan da c=−6 olup,çözümolur.Doğru cevap A şıkkıdır.y= 3x22 − 64. y= ∫ 2(x− 1)d x isey=x 2 − 2x+ colur. y(1)=1 koşulunu uygularsak,1=1 2 − 2·1+ cy= x33 + celde edilir. x= 0 için y= 0 başlangıç değeriverildiğinden, 0 = 0+c eşitliğinden c = 0olup, diferansiyel denklemin verilen başlangıçdeğerine sahip çözümü y= x33 olur.Doğru cevap C şıkkıdır.6. y= ∫ ( 1 + x)d x olupxelde edilir.Doğru cevap D şıkkıdır.7. y= ∫ 2x d x olupolur.y= ln x+ x22 + cy= 2 ln x+ cDoğru cevap D şıkkıdır.8. y= e 2x eşitliğinin her iki tarafının x değişkeninegöre türevi alınırsay ′ = 2e 2xelde edilir. Eşitlikte y = e 2x değerini yerineyazarsaky ′ = 2yelde edilir. O halde y = e 2x fonksiyonuy ′ = 2y diferansiyel denklemini sağlar.Doğru cevap C şıkkıdır.

58 2 Diferansiyel Denklemler9. Problemi çözmek için nüfus problemindekullandığımızd yd t = Kydiferansiyel denklemini kullanacağız. Bu diferansiyeldenklemin çözümüy= c 1 e K tşeklindedir ve herhangi bir andaki nüfusuifade eder.Başlangıç anındaki bakteri sayısı y(0)= y 0 olsun.t= 3 için y(3)=2y 0 olup bakteri sayısınınbaşlangıçtaki sayının 8 katına ne zamanulaşacağını bulacağız.t= 0 için c 1 = y 0 olup y= y 0 e K t olur.t= 3 için 2y 0 = y 0 e 3K olup, y 0 çarpanı kısaltıldıktansonra her iki tarafın logaritması alınarak3K= ln2,yani K = 1 ln2 bulunur. Demek ki herhangi3bir andaki bakteri sayısıy= y 0 e ( 1 3 ln2)teşitliği ile verilir. Şimdi bakteri sayısının ne zamansekiz katına çıkacağını bulalım. O zaman8y 0 = y 0 e t 3 ln2olup 8= e t 3 ln2 eşitliğinin her iki tarafının doğallogaritması alınırsa,ln8= t 3 ln2ve burada, ln 8=ln2 3 = 3 ln2 olduğundan,t= 9 bulunur. O halde dokuz saat sonra bakterisayısı başlangıçtaki sayının sekiz katınaulaşır.Doğru cevap E şıkkıdır.Burada sayılar uygun verildiği için bu problemişüphesiz diferansiyel denklemlere başvurmadanda hemen çözebilirdik: 3 saattebakteri sayısı ikiye katlandığı için, 6 saattedörde ve 9 saatte de sekize katlanacaktır. Ancaksayıların uygun verilmediği durumlardada yukarıda örneklediğimiz yaklaşımla problemiher zaman çözebiliriz. Örneğin bakterisayısı kaç saatte 10 katına çıkar deseydik, çözümüdeneyerek bulamazdık; fakat diferansiyeldenklem yardımıyla kolaylıkla bulabilirsiniz.10. Problemdeki verilenleri yazarsak;çubuğun başlangıç sıcaklığı y(0)=100, ortamsıcaklığı s = 20 ve çubuğun 10 dakikasonraki sıcaklığı y(10) = 60’dır. Newton’unsoğuma yasasından, soğuyan bir cismin herhangibir andaki sıcaklık değişimi y(0)= y 0başlangıç sıcaklığı olmak üzered y= K(y− s)d tdiferansiyel denklemi ile ifade edilir ve denkleminçözülmesiyle dey= s+(y 0 − s)e K tbulunur. Buradan s=20 ve t= 0 içinolur. t= 10 için100=20+80e K t60=20+80e 10Kolup, e 10K = 40 eşitliğinin her iki tarafının doğallogaritması80alınırsa,ve buradan da10K= ln 4080 = ln 1 2K= 1 10 ln 1 2veya K=−0,1·ln2 olarak bulunur. Böylecesoğuma denklemiolarak elde edilir.(−0,1·ln 2) ty= 20+80e

DoğrusalProgramlamaya Giriş3.MATEMATİK 2ÜNİTEKırk tane sandalyetamam da, yirmi buçukmasa nasıl olacak?PLANLAMAÇOKGEN BÖLGEAMAÇ FONKSİYONUDOĞRUSAL FONKSİYONMAKSİMUM DEĞERDOĞRUSAL EŞİTSİZLİKKÖŞE NOKTASI

60 3 Doğrusal Programlamaya GirişG i r i şBu dersimizin konusu doğrusal programlama. Burada programlamakelimesini planlama anlamında kullanacağız, bilgisayarprogramlamadaki anlamıyla değil. Firmalar üretimlerini planlarken,imkanları ölçüsünde en yüksek geliri elde etmek veya masraflarıolabildiğince azaltmak için doğrusal programlama yönteminden yararlanırlar.Doğrusal programlamanın temel kavramlarını, üretim planlamasıile ilgili bir örneği ele alarak inceleyeceğiz.Masa ve sandalye üretilen küçük bir atölyede tahta ve tutkalkullanılarak üretim yapılıyor. Atölyenin deposunda 3000 dm 3tahta ve 20 kg tutkal mevcuttur.Bir tane masa üretebilmek için 60 dm 3 tahta ve 0,2 kg tutkal; birtane sandalye için de 10 dm 3 tahta ve 0,1 kg tutkal gerekiyor.Masanın tanesini 150 liradan, sandalyenin tanesini de 50 liradansatıyorlar. Üretilen masa ve sandalyelerin tümünün satılacağını kabuledelim.Problemimiz şu:Sadece eldeki malzemeleri kullanarak geliri maksimum yapmak içinkaç tane masa ve kaç tane sandalye üretilmelidir?Hocam, problemin ifadesi biraz uzun... Kafam karıştı.O zaman ilk önce problemimizin matematiksel ifadesini yazmayaçalışalım.Üretilen masa sayısını x ile sandalye sayısını da y ile gösterelim.Depodaki malzeme miktarını göz önünde bulundurarak geliri maksimumyapacak şekilde bu x ve y sayılarını belirlemeye çalışacağız.Ş i m d ix tane masa ve y tane sandalye üretmek için ne kadar malzemekullanmak gerekiyor onu belirleyelim.

61Bir tane masa üretmek için 60 dm 3 tahta gerekiyorsa x tanemasa için 60· x dm 3 tahta ve bir tane sandalye üretmek için10 dm 3 tahta gerekiyorsa y tane sandalye için de 10· y dm 3 tahta kullanılmalıdır.Buna göre kullanılan toplam tahta miktarı60x+ 10y dm 3ve toplam tutkal miktarı da0,2x+ 0,1y kgolur.Eldeki malzeme miktarı sınırlı olduğundan üreteceğimiz masave sandalye sayılarını öyle seçmeliyiz ki kullanılan toplamtahta miktarı 3000 dm 3 ’ten fazla olmamalıdır. Benzer şekilde kullanılantoplam tutkal miktarı da 20 kg’ı aşmamalıdır.Üretilecek masa ve sandalye sayıları da negatif olamayacağındanx≥ 0 ve y≥ 0 olmalıdır. Bu söylediklerimizi(tahta miktarı) 60x+ 10y ≤ 3000(tutkal miktarı) 0,2x+ 0,1y ≤ 20(3.1)x ≥ 0y ≥ 0a, b, c sabit sayılar olmaküzereax+ by≤ ceşitsizliğine doğrusal eşitsizlikdenir.Bu ünite boyunca karşılaşılacakdoğrusal eşitsizliklerinkatsayılarının pozitif olduğunukabul edeceğiz.biçiminde doğrusal eşitsizlik sistemi şeklinde ifade edebiliriz.Üretilecek masa ve sandalye sayılarını planlarken x ve y sayılarınınbu eşitsizliklerin tümünü sağlaması gerekir.Evet arkadaşlar, x tane masa ve y tane sandalyenin satışındanelde edilen toplam gelir de150x+ 50ylira olacaktır. Şimdi amacımız şu: (3.1)’deki eşitsizlikleri sağlayacak şekildex ve y değerlerini nasıl belirlemeliyiz ki, toplam gelirimiz olan150x+ 50y maksimum olsun.Bu problem matematiksel olarak60x+ 10y ≤ 30000,2x+ 0,1y ≤ 20x ≥ 0y ≥ 0

62 3 Doğrusal Programlamaya Girişkısıtları altında150x+ 50yifadesinin en büyük değerini veren x ve y sayılarını hesaplamaya dönüşmüşolur. Burada 150x+ 50y fonksiyonu amaç fonksiyonu, x ve ydeğişkenleri de karar değişkenleri olarak adlandırılır.Bu şekilde ifade edilen problemlere doğrusal programlama problemleridenir.masa üretildiğini varsayarsak, kaç tane masa üretebileceğimizihesaplayalım.Şimdi biraz deneme yapalım. Depodaki malzemeyle sadeceSandalye üretilmeyecek ise y= 0 olmalıdır, değil mi hocam?Sandalye olmazsa masada mı oturacağız Zeynep?Mesela dedik Gökçe! Bakalım ne çıkacak. Böyle bir durumdaeşitsizliklerde y yerine sıfır yazmalıyız. Şimdi depodaki malzemelerlekaç tane masa üretebileceğimizi bulmak için60· x+ 10· 0 ≤ 30000,2· x+ 0,1·0 ≤ 20eşitsizliklerinden 60x≤ 3000 ve 0,2x≤ 20 eşitsizliklerini elde ederiz.x sayısı bu iki eşitsizliği de sağlamalıdır:x≤ 300060 = 50,x≤ 200,2 = 100yani x≤ 50 olmalıdır. Bu sonuç gösteriyor ki en fazla 50 tane masaüretebiliriz.Peki, 50 tane masanın satışından gelirimiz ne olur?

63x= 50 ve y= 0 için satıştanlira gelir elde edilir.150· 50+ 50· 0=7500Şimdi de depodaki malzemeyle sadece sandalye üretildiğinivarsayalım. Bu durumda en fazla kaç tane sandalye üretilebileceğinive bunların satışından elde edilecek geliri hesaplayalım.x= 0 alınırsa eşitsizlikler:60· 0 + 10· y ≤ 30000,2·0 + 0,1· y ≤ 20olur. Yani 10y≤ 3000 ve 0,1y≤ 20 eşitsizlikleri elde edilir. Buradany ≤ 30001020y ≤0,1= 300,= 200olur. y sayısının her iki eşitsizliği de sağlaması gerektiğinden y≤ 200olmalıdır. Buna göre hiç masa üretmeden sadece sandalye üretmek istediğimizdeen fazla 200 tane sandalye üretebililiriz.200 sandalyenin satışından elde edilecek gelir de150·0+50· 200=10000lira olur.O zaman sadece sandalye üretelim. Çünkü gelirimiz daha büyükçıktı. Masasız sandalye gene de işe yarar ne de olsa!Engin acele etme istersen. Şimdi depodaki malzemeleri kullanarak20 tane masa ile 150 tane sandalye üretebilir miyizbunu bir inceleyelim.Hocam bu sayılar da nereden çıktı?

64 3 Doğrusal Programlamaya GirişGökçe, hem masa, hem de sandalye üreteceksek, masa sayısının50’den az ve sandalye sayısının da 200’den az olmasıgerekir. Bu koşullara uyacak şekilde öylesine iki sayı söyledim.Ş i m d ix= 20 ve y= 150 için gerekli malzeme miktarını hesaplayalım:tahta miktarı: 60·20 + 10· 150 = 2700 dm 3tutkal miktarı: 0,2·20 + 0,1·150 = 19 kgolur.Ne dersiniz, malzeme miktarı yeterli mi?Şüphesiz. Depoda 3000 dm 3 tahta ve 20 kg tutkal olduğu söylenmişti.Bu ürünlerin satışından toplam gelirimiz kaç lira olur, bir bakalım:Demek ki 20 tane masa ve 150 tane sandalye üretebileceğiz.150· 20+ 50· 150=10500.Haklıymışsınız hocam, acele etmişim.Hocam, sayılarınız pek de öylesine söylenmiş gibi görünmüyor!Kimbilir, belki de farkında olmadan eski tecrübelerimiz yansımıştırGökçe.Mete Hoca şimdilik 10500 lira gelire ulaştı, ama verilen eş i t -sizlikleri sağlayan başka x ve y sayıları için gelir 10500 liradanda fazla olabilir mi onu araştırmalıyız.Hocam, herhalde bu x ve y sayılarını deneyerek bulmayacağızdeğil mi?

Çokgen Bölge 65Tabii ki deneyerek bulmayacağız Gökçe,60x+ 10y ≤ 30000,2x+ 0,1y ≤ 20(3.2)x ≥ 0y ≥ 0eşitsizliklerini ve 150x+ 50y fonksiyonunu kullanarak bu sayıları belirleyeceğiz.x ve y sayılarının ikisi birden (3.2)’deki eşitsizlikleri sağlamalıdır.Bu nedenle bu sayıları(x, y) ikilisi olarak ele alacağız. Bu ikililerin kümesineproblemimizin tanım kümesi denir. Kolaylık açısından ve bundansonra vereceğimiz örneklere de uygun olsun diye x ve y sayılarınıngerçel sayı olduğunu varsayacağız. Önce problemin tanım kümesiningrafiğini çizeceğiz.a 1 , b 1 , c 1 ,...,a k , b k , c k sayılarıpozitif olmak üzere⎧⎪⎨⎪⎩a 1 x+b 1 y ≤ c 1a 2 x+b 2 y ≤ c 2.a k x+b k yx≥ 0, y≥ 0≤ c kdoğrusal eşitsizliklerinemaksimizasyon problemininkısıtları denir.y(0,300)Çokgen BölgeProblemimizin tanım kümesini belirlemek için önce eşitsizlikleriayrı ayrı inceleyelim.Birinci eşitsizlikle işe başlayalım.60x+ 10y≤ 3000eşitsizliğini sağlayan(x, y) ikililerini düzlemde işaretlediğimizde nasılbir şekil ortaya çıkar?(50,0)xEşitsizlik yerine 60x+10y= 3000 eşitliğini sormuş olsaydınızcevap kolaydı. Bu şekilde verilen denklem bir doğru denklemiydi.(x,y) noktasının bu eşitliği sağlaması demek,(x, y) noktasınınbu doğru üzerinde olması demekti. Bir doğrunun grafiğini çizebilmekiçin, bu doğru üzerinde bulunan iki noktayı belirlememiz yeterlidir.Önce 60x+ 10y= 3000 denkleminde x= 0 yazarakŞekil 3.1: 60x+10y= 3000 doğrusunungrafiği.(0,300) noktasını buluruz.Yine denklemde y= 0 yazarak0+10y= 3000 ⇒ y= 30060x+ 0=3000 ⇒ x= 300060 = 50

66 3 Doğrusal Programlamaya Girişyani(50,0) noktasını belirleriz.(0,300) ve(50,0) noktalarını birleştiren doğruyu çizerek60x+ 10y= 3000e ş i t ğini l i sağlayan(x, y) noktalarını düzlemde işaretlemiş oluruz.yEşitsizliklerdeki x ve y’nin katsayıları ile eşitsizliğin sağındabulunan ve eldeki malzeme miktarlarını gösteren sayıların2pozitif olduğuna dikkat ediniz. Şimdi de verilen eşitsizliği sağlayan noktalarınkümesini nasıl bulabileceğimizi inceleyelim.1−1(1,1)2·1+3·1=5 c eşitsizliğini sağlayan(x, y) noktaları,diğer tarafında da ax+ by< c eşitsizliğini sağlayan(x, y) noktalarıbulunur.Herhangi bir(x 0 , y 0 ) noktası için şu üç durum söz konusudur:Şekil 3.2: 2x+ 3y= 6 doğrusununaltı.y22·2+3·1=7>61(2,1)x1 2 3Şekil 3.3: 2x+ 3y= 6 doğrusununüstü.ax 0 + by 0 < c, ax 0 + by 0 > c, ax 0 + by 0 = c.Birinci eşitsizlik sağlanıyorsa(x 0 , y 0 ) noktasının doğrunun altında, ikincieşitsizlik sağlanıyorsa(x 0 , y 0 ) noktasının doğrunun üstünde, eşitlik durumundaise(x 0 , y 0 ) noktasının doğrunun üzerinde olduğunu ifade ediyoruz.Doğrunun grafiğini çizdikten sonra eşitsizliği sağlayan noktalarıbelirlemek için yapılacak en kolay iş(0,0) noktasına bakmaktır.Eğer(0,0) noktası verilen eşitsizliği sağlıyorsa,(0,0) noktasınınbulunduğu taraftaki tüm noktalar da bu eşitsizliği sağlar ve aradığımızkümeyi bulmuş oluruz. Eğer(0,0) noktası verilen eşitsizliği sağlamıyorsa,o zaman aradığımız küme doğrunun diğer tarafıdır.Şimdi problemimize dönersek, 60x+ 10y≤ 3000 eşitsizliğinin çözümkümesini bulun bakalım.(0,0) noktası60· 0+10· 0=0

Çokgen Bölge 67yAferin Zeynep. Problemimizde x ve y sayıları ürün miktarınıbelirttiği için negatif olmayan sayılardır. Bu nedenle eşitsizliğisağlayan birinci bölgedeki(x, y) noktalarının kümesi Şekil 3.4’dekiüçgen bölge olur.(0,300)Şimdi de 0,2x+ 0,1y≤ 20 eşitsizliğini sağlayan noktalarınkümesini bulalım.Bunu da ben bulayım hocam. Önce0,2x+ 0,1y= 20doğrusunu çizelim. x ekseni ve y eksenini kestiği noktaları bulalım:x= 0 için ⇒ 0,1y= 20 ⇒ y= 200,y= 0 için ⇒ 0,2x= 20 ⇒ x= 100.Doğru denklemini sağlayan iki nokta(100,0) ve(0,200) olur.(0,0) noktası için0,2x+ 0,1y= 0,2·0+0,1·0=0

68 3 Doğrusal Programlamaya Giriş300yşeklinde ifade edelim.Biz (3.3) eşitsizliklerinin hepsini birden sağlayan noktaları arıyoruz.Bu noktalar S 1 ∩ S 2 arakesit kümesini oluşturur.200O zaman bu iki grafiği üst üste çizerek S 1 ∩S 2 arakesit kümesinibulabiliriz:y60x+ 10y= 3000300100S 150 100Şekil 3.6: 60x+ 10y≤ 3000,x≥ 0, y≥ 0.yx200100300S 1 ∩ S 250 100x200Şekil 3.8: Problemin tanım kümesi.0,2x+ 0,1y= 20100Evet Zeynep, aradığımız kümenin resmi işte bu. S 1 ∩S 2 kümesiproblemin tanım kümesidir ve bu küme bir çokgen bölgedir.S 250 100Şekil 3.7: 0,2x+ 0,1y≤ 20,x≥ 0, y≥ 0.xMasa-sandalye yapalım derken nerelere geldik böyle hocam.Evet Engin, masa-sandalye üretimi probleminin matematikselmodeli bizi buralara getirdi.

Çokgen Bölge 69Şimdi de elde ettiğimiz çokgen bölgenin köşe noktalarını belirleyelim.Bu bölgenin üç köşesini biliyoruz:(0,0),(50,0) ve(0,200). Dördüncü köşeyi, yani 60x+ 10y= 3000 ve 0,2x+ 0,1y= 20doğrularının kesiştikleri noktayı bulalım.Her iki doğru denklemini de sağlayan noktayı bulmak için60x+ 10y = 30000,2x+ 0,1y = 20doğrusal denklem sistemini çözmeliyiz.Bunun için ikinci denklemi 100 ile çarpalım:60x+ 10y = 300020x+ 10y = 2000a 1 , b 1 , c 1 ,...,a k , b k , c k pozitifsabit sayılar olmak üzerea 1 x+b 1 y ≤ c 1a 2 x+b 2 y ≤ c 2.a k x+b k yx≥ 0, y≥ 0≤ c keşitsizliklerini sağlayan tüm(x, y) noktalarının kümesinedüzlemde bir çokgen veyaçokgen bölge denir.yİkinci denklemi birinci denklemden taraf tarafa çıkartarak40x= 1000 ⇒ x= 25buluruz. x= 25 değerini 60x+ 10y= 3000 denkleminde yerine yazdığımızda60· 25+ 10y= 3000 ⇒ 10y= 3000− 1500 ⇒ y= 150elde ederiz. Dolayısıyla bu iki doğrunun kesişim noktası(25,150)’dir.Böylece problemin tanım kümesini köşeleriyle birlikte belirlemiş olduk:Şekil 3.9: Çokgen bölge.x(0,200)(25,150)(0,0) (50,0)xŞekil 3.10: Problemin tanım kümesi.

70 3 Doğrusal Programlamaya GirişGraŞk Yöntemle Çözüma 1 , b 1 , c 1 ,...,a k , b k , c k pozitifsabit sayılar olmak üzere⎧⎪⎨⎪⎩a 1 x+b 1 y ≤ c 1a 2 x+b 2 y ≤ c 2.a k x+b k yx≥ 0, y≥ 0kısıtları altında≤ c kf(x, y)=ax+ bydoğrusal amaç fonksiyonunundeğerini en büyük yapannoktayı belirleme probleminebir doğrusal programlamaproblemi denir.Köşe noktalarını neden bulduk? Ne işimize yarayacak?Bu köşe noktaları problemimizin çözümü için çok önemli. Birazsonra bu köşe noktalarından çözüme ulaşacağız. Problemimizibir defa daha tekrarlayalım. Depodaki malzeme miktarı ile ilgilikısıtlar vardı. Amacımız bu kısıtlar altında geliri maksimum yapan masave sandalye sayısını belirlemekti. Şekil 3.11’de üretilebilecek masa vesandalye sayılarının kümesi görülüyor. Şimdi sıra bu kümede geliri maksimumyapan(x, y) ikilisini belirlemeye geldi.x tane masa ve y tane sandalye ürettiğimizde bunların satışındanelde ettiğimiz gelir150x+ 50ylira şeklindeydi.f(x, y)= ax+ by doğrusalfonksiyonu çokgen bölgeüzerinde en büyük değeriniçokgenin bir köşe noktasındaalır.Problemimizin tanım kümesi üzerinde 150x+50y amaç fonksiyonununen büyük değerini araştırıyoruz.Elde ettiğimiz çokgen bölge üzerinde150x+ 50y(0,200)y(25,150)doğrusal amaç fonksiyonu en büyük değerini çokgenin bir köşe noktasındaalır.Şimdi 150x+ 50y amaç fonksiyonunun tanım kümesinin köşe noktalarındakideğerlerini hesaplayalım:(0,0) noktasındaki değer 150·0+50· 0=0,(50,0) noktasındaki değer 150· 50+ 50· 0=7500,(25,150) noktasındaki değer 150· 25+ 50· 150=11250,(0,200) noktasındaki değer 150·0+50· 200=10000olarak elde edilir.x(0,0) (50,0)Şekil 3.11: Problemin tanım kümesi.Demek ki 150x+ 50y amaç fonksiyonu tanım kümesi üzerindeki enbüyük değerini(25,150) noktasında alıyor. Bu sonuca göre depodakimalzemeleri kullanarak en fazla 11250 lira gelir elde edilir. Bunun için25 tane masa, 150 tane sandalye üretilmelidir.

Grafik Yöntemle Çözüm 71Atölyedekiler bu işe epey sevinecek.Evet Engin, haklısın. Şimdi bu çokgen bölgenin problemimizleilişkisini biraz açıklayalım.(x, y) ikilisi çokgen bölgede ise, x tane masa ve y tane sandalyeyapacak malzememiz var demektir.(x, y) ikilisi çokgen bölgeye ait değilse,demek ki eşitsizliklerimizden en az bir tanesi sağlanmaz. Yani bunoktaya karşılık gelen x tane masa ve y tane sandalye üretemeyiz.y(0,200)(25,150)10 masa ve 75 sandalyeüretebiliriz.(10,75) (45,75)45 masa ve 75 sandalyeüretemeyiz.(20,5, 40)(0,0) (50,0)xŞekil 3.12: Problemin tanım kümesi.Örneğin(10,75) noktası çokgen bölgededir, on tane masave yetmiş beş tane sandalye yapacak malzememiz var. Ancak(45,75) noktası için60x+ 10y= 60· 45+ 10· 75=3450>3000olduğundan 60x+ 10y≤ 3000 eşitsizliği sağlanmıyor, yani bu noktatanım kümesinde değil. Demek ki 45 masa ve 75 sandalye üretemeyiz.Peki arkadaşlar(20,5, 40) noktasının da kümeye ait olduğunu gösterebilirsinizdeğil mi?

72 3 Doğrusal Programlamaya GirişKırk tane sandalye tamam da, yirmi buçuk masa nasıl olacak?Kiloyla veya litreyle ilgili bir problem çözüyor olsaydık busorun olmayacaktı. Örneğimizde x= 25 ve y= 150 tam sayıolarak çıktığı için problemimizin cevabı bu sayılardır. Ancak x ve y’denen az bir tanesi tam sayı olarak çıkmasaydı o zaman sıkıntılı bir durumortaya çıkmış olurdu.Örneğin, çözümde x= 25,6 çıksaydı bu sayıyı 25’e yuvarlayamazmıyız? Bu çözüm olmaz mı?Çözüm olur veya olmaz diyemeyiz. x ve y için verilen eşitsizliklerinyanı sıra tam sayı olma koşulu da verilmiş olsaydıbu tür problemleri tam sayı programlama problemi olarak ele almamızgerekirdi. Bu konuya bu derste girmeyeceğiz.Dediğim gibi, örneğimizde x ve y tam sayı olarak elde edildiğindenherhangi bir sıkıntı yok.(0,200)y(25,150)Şimdi 150x+ 50y amaç fonksiyonunun maksimum değerinineden(25,150) noktalasında aldığına bir bakalım.x ve y verildiğinde 150x + 50y değerini hesaplamak kolay.z = f(x, y)=150x+ 50y diyelim ve z’ye değerler vererek x ve ysayılarını tanım kümesi içinde kalacak şekilde nasıl bulacağız, buna değinelim.Örneğin z= 2000 olsun. Bunun için 150x+ 50y= 2000 denklemininbelirlediğimiz çokgen kümede kalan çözümlerini araştıracağız.150x+ 50y= 2000x(0,0) (50,0)Şekil 3.13: Problemin tanım kümesinin150x+ 50y= 2000 doğrusuile kestirilmesi.Bu çözüm 150x+ 50y= 2000 doğrusunun grafiği ile problemintanım kümesinin kesiştiği(x, y) noktalarının kümesidir.Bu noktaların tümünde amaç fonksiyonu 2000 değerini alır.Tanım bölgesi ile 150x+50y= 2000 doğrusunun arakesitinde kalan23bu noktalara birkaç örnek olarak(0,40),(6,22),2 , 11 40ve2 3 ,0noktalarını verebiliriz. Bu noktalarda 150x+ 50y ifadesinin değerinin2000 olduğunu gösterebilirsiniz. Örneğin, (6,22) noktası için150· 6+50· 22=900+ 1100= 2000 olur.z’ y e b a ş k a d ĕgerler vererek z= 150x+ 50y doğrusunun grafiğiniçizelim ve çokgen bölge ile ilişkisine bakalım. Örneğin,

Grafik Yöntemle Çözüm 73z= 0 için 150x+ 50y= 0,z= 3000 için 150x+ 50y= 3000,z= 7000 için 150x+ 50y= 7000,z= 11250 için 150x+ 50y= 11250,doğrularının grafiklerini görelim.y(0,200)z’ye farklı değerler vererekax+ by= z doğrusunun hareketinebakarakf(x, y)=ax+ by(25,150)amaç fonksiyonunun maksimumdeğerini bulabiliriz.z’ye sıfırdan başlayıp artandeğerler verdiğimizde doğrununçokgen bölgeyle sontemas ettiği nokta amaçfonksiyonunun en büyük değeriniverir.150x+ 50y= 7000150x+ 50y= 11250150x+ 50y= 0150x+ 50y= 3000(0,0) (50,0)xŞekil 3.14: 150x+ 50y= z doğruları.e 2ax+ by= zz değeri arttırıldıkça, 150x+ 50y= z doğrusu 150x+ 50y= 0 doğrusunaparalel kalarak hareket ediyor ve çokgen bölgeyi en son f(x, y)=150x+ 50y amaç fonksiyonunun maksimum değerini aldığı(25,150)noktasında kesiyor.e 1Hocam, doğrunun kümeye son teması kümenin bir kenarı boyuncaolursa bu durumda hangi noktayı en büyük değeri verennokta olarak almalıyız?Doğrunun tanım kümesine son teması kümenin kenarı boyuncaoluyorsa, bu kenara ait tüm noktalarda f(x, y) aynı zdeğerini alır, dolayısıyla bu kenar üzerindeki herhangi bir nokta çözümolarak alınabilir.Şekil 3.15: e 1 , e 2 köşeleri ile buköşeleri birleştiren tüm noktalarmaksimum değeri veren noktalardır.

74 3 Doğrusal Programlamaya GirişEşitsizliklerin sayısı üçten fazla olursa yine de grafik yöntemiyleproblemi çözebilir miyiz?Tabii ki. Eşitsizliklerin artması çokgen bölgenin köşe noktalarınailave yeni köşe noktaları getirebilir. Köşe noktalarınıbelirleyip, problemi yine çözebilirsiniz.İki değil de üç veya daha fazla ürün üretiliyor olsaydı bu durumdaproblemi yine bu şekilde çözebilir miydik?Şüphesiz. İki değil de üç tane karar değişkeni olsun. Bu durumdaproblemin tanım kümesi üç boyutlu uzayda bulunur.Problemin çözümünü bulmak için tanım kümesinin köşe noktalarını belirlemekgerekir. Değişken sayısı arttığında bu işlem zorlaşır. Bu nedenleikiden fazla karar değişkeninin olduğu doğrusal programlama problemlerindegrafik yöntem yerine başka yöntemler kullanılır.Hocam bir örnek daha görebilir miydik?Bir imalathanede P 1 ve P 2 gibi iki ürün üretildiğini varsayalım.Bu ürünlerin üretiminde de m 1 ve m 2 gibi iki hammaddekullanılsın.Bir birim P 1 ve bir birim P 2 üretmek için gerekli hammadde miktarınışu tablo ile verelim:P 1 için gerekenmiktarP 2 için gerekenmiktarMevcut hammaddemiktarım 1 8 5 400m 2 2 5 200P 1 ’in 1 birimi 50 liradan, P 2 ’nin 1 birimi 40 liradan satılsın. Eldekihammaddeleri kullanarak geliri maksimum yapmak için hangi üründenne kadar üretilmesi gerektiğini bulalım.Üretilen P 1 miktarını x ile, P 2 miktarını da y ile gösterelim. P 1 ’denx birim, P 2 ’den y birim üretmek için m 1 ve m 2 hammaddelerinden nekadar kullanılması gerektiğini hesaplayalım.m 1 hammaddesinden : 8x+ 5y birimm 2 hammaddesinden : 2x+ 5y birimkullanmak gerekir.

Grafik Yöntemle Çözüm 75Tabloda verilen mevcut hammadde miktarlarına göre eşitsizlikleri8x+ 5y ≤ 4002x+ 5y ≤ 200x ≥ 0y ≥ 0biçiminde ifade edebiliriz.Bu doğrusal programlama probleminin amaç fonksiyonuf(x, y)=50x+ 40yolur.Tanım kümesini bulup köşe noktalarını belirleyip, amaç fonksiyonundayerine yazacağız, değil mi hocam?Evet Engin. Şimdi problemin tanım kümesini bulalım. İlk önce8x+ 5y= 400 ve 2x+ 5y= 200 doğrularının grafikleriniçizeceğiz. Sonra da 8x+ 5y≤ 400 ve 2x+ 5y≤ 200 eşitsizliklerinisağlayan birinci bölgedeki(x, y) noktalarını belirleyeceğiz.8x+ 5y= 400 denkleminde x= 0 için y= 80, y= 0 için x= 50olduğundan 8x+ 5y= 400 doğrusu x eksenini(50,0) noktasında, yeksenini(0,80) noktasında keser.Benzer şekilde 2x+ 5y= 200 doğrusu eksenleri(100,0) ile(0,40)noktalarında keser. Buna göre çözüm kümesinin grafiği Şekil 3.16’dakiy50(0,40)(0,0)(50,0)100xŞekil 3.16: Problemin tanım kümesi.

76 3 Doğrusal Programlamaya Girişgibi olur.8x+ 5y= 400 ile 2x+ 5y= 200 doğrularının kesişim noktasınıbulmak için8x+ 5y = 4002x+ 5y = 200denklem sistemini çözeceğiz. İkinci denklemi birinci denklemden taraftarafa çıkartarakbuluruz. Bu x değerini denklemde yerine yazdığı-e ş i t ğinden l i x= 1003mızda,8x+ 5y= 400 ⇒ 8· 10038x+ 5y = 400− 2x+ 5y = 2006x = 200y= 80 1003 olur. Yani kesişim noktası 3 , 803800+ 5y= 400,⇒ 5y= 400−3 = 4003 ,olarak bulunur.y(0,40)( 1003 , 80 3 )(0,0)(50,0)xŞekil 3.17: Problemin tanım kümesi ve köşe noktaları.f(x, y)=50x+ 40y amaç fonksiyonunun köşe noktalarındakideğerlerini hesaplayalım:(0,0) noktasında f(0,0)=0,(0,40) noktasında f(0,40)=50· 0+40· 40=1600,

Grafik Yöntemle Çözüm 77 1003 , 80 3noktasında f 1003 , 80 = 50· 1003 3 + 40· 80 3 ≈ 2733,(50,0) noktasında f(50,0)=50· 50+ 40·0=2500 olur.Buna göre amaç fonksiyonu maksimum değerini 1003 , 80 nokta-3sında alır.Gelirin maksimum olması için P 1 ’den 100üretmek gerekir.3 birim, P 2’den de 803 birimVerdiğimiz örneklerde amaç fonksiyonunu maksimize etmeyeçalıştık. Bu yöntem amaç fonksiyonunun minimum değerininaraştırıldığı problemlerde de kullanılabilir.Arkadaşlar, sonuç olarak doğrusal programlama yardımıyla yaptığımızmodelleme bize sonsuz seçenekli bir durumda sonlu tane noktanınkontrol edilmesiyle çözüme nasıl ulaştığımızı da göstermiş oldu.ÖzetBu ünitede iki değişkenli doğrusal programlama problemi ve bu problemingrafik yöntemle çözümü ele alındı. Doğrusal programlama problemlerinitanıtmak ve çözüm yöntemleri ile ilgili bir fikir vermek amacıylatanım kümesi birinci bölgede bir çokgen bölge olan pozitif katsayılıamaç fonksiyonlarının maksimizasyonu problemleri incelendi. Bir örneküzerinde problemin matematiksel modellemesi ayrıntılı olarak verildi.Doğrusal programlamanın temel kavram ve sonuçları ifade edildi. Probleminçözümünü bulmak için, çokgen bölgenin köşe noktaları belirlenirve amaç fonksiyonunun bu noktalardaki değerleri hesaplanır. Elde edilenfonksiyon değerlerlerinin maksimumu, doğrusal amaç fonksiyonununçokgen bölge üzerindeki en büyük değeridir. Amaç fonksiyonununçokgen bölge üzerindeki minimizasyonu problemi de benzer şekilde çözülebilir.

78 3 Doğrusal Programlamaya GirişOkuma Parçası inmek için çok basitbir örnek verelim. - -Hav veVuf- da, bir paket Hav-Hav ile birpaket Vuf- -Hav için 12$, Vuf- Kuçu-her markadan kaç paket Mevcut ToplamMiktarBir Paket Hav-HavBir Paket Vuf-VufKuzu 1400 kg 4 kg 4 kg 1800 kg 6 kg 3 kg 1800 kg 2 kg 6 kgTablo: Kuçu-.Kaynak: John L. Casti -169), Üniversitesi, 2000.

Çıkarın Kağıtları 79Çıkarın Kağıtları1. 2x+ y≤ 12 eşitsizliğinin çözüm kümesiaşağıdakilerden hangisidir?yy12125. Aşağıdaki noktalardan hangisi⎧⎨7x+ 3y≥ 282x+ 5y≥ 17⎩x≥ 0, y≥ 0A)6xB)6xeşitsizliklerinin hepsini birden sağlar?A) (1,5) B)(−3,2) C)(2,4)yyD) (4,2) E)(5,1)66C)y6E)6x12xD)2. Aşağıdaki noktalardan hangisi3x+ 2y≤ 23 eşitsizliğini sağlar?A) (6,3) B)(4,6) C)(4,5)D) (5,5) E)(3,8)3. Aşağıdaki noktalardan hangisi12x6. 4x+ 3y≤ 12 eşitsizliğini sağlayan noktalarınkümesini bulunuz.7.⎧⎨⎩3x+ y≤ 6x+ y≤ 4x≥ 0, y≥ 0eşitsizliklerini sağlayan noktaların grafiğiniçiziniz.8.⎧⎨⎩3x+ y≥ 6x+ y≥ 4x≥ 0, y≥ 0eşitsizliklerini sağlayan noktaların grafiğiniçiziniz.(2x+ 5y≤ 16x≥ 0, y≥ 09. f(x, y)=4x+ 3y amaç fonksiyonunun7. sorudaki eşitsizliklerle verilen küme üzerindekimaksimum değerini bulunuz.eşitsizliklerinin hepsini birden sağlar?A) (3,3) B)(4,2) C)(−2,4)10. Okuma parçasında verilen doğrusalprogramlama problemini çözünüz.D) (2,3) E)(3,2)4. (4,−3), (1,1) ve (3,1) noktalarının3x+ 2y≤ 6 eşitsizliğini sağlayıp sağlamadığınıaraştırınız.

80 3 Doğrusal Programlamaya GirişÇözümler1. 2x+ y= 12 doğrusunun eksenleri kestiğinoktalar:x= 0 için y= 12 yani(0,12) noktası vey= 0 için x= 6 yani(6,0) noktası.(0,0) noktası için 2·0+0 = 0 < 12,yani 2x+ y≤ 12 eşitsizliği sağlanır. (0,0)noktasının bulunduğu taraftaki tüm noktalar2x+ y≤ 12 eşitsizliğini sağlarlar. (Cevap B)2. (4,5) noktası için3·4+2·5=220 ve 2>0.(Cevap E)4. (4,−3) noktası için eşitsizlik sağlanır:3x+ 2y= 3·4+2·(−3)=6≤6.(1,1) noktası için eşitsizlik sağlanır:3x+ 2y= 3·1+2·1=56.5. (4,2) noktası tüm eşitsizlikleri sağlar:7·4+3·2=34>28, 2·4+5·2=18>17,4>0 ve 2>0. (Cevap D)6. 4x+ 3y= 12 doğrusunun eksenleri kestiğinoktalar: x = 0 için y = 4, y = 0 içinx= 3 olduğundan(0,4) ile(3,0) noktalarıdır.y(0,0) noktası için44·0+3·0=0

İktisadi UygulamalarTaksimde adalet nasılölçülür?4.MATEMATİK 2ÜNİTETÜKETİCİ RANTILORENZ EĞRİSİGELİR DAĞILIMIÜRETİCİ RANTIGİNİ İNDEKSİPİYASA FİYATITALEP ESNEKLİĞİ

82 4 İktisadi UygulamalarTüketici ve Üretici RantıHayrola Engin! Uykusuz görünüyorsun, sabaha kadar ders miçalıştın yoksa?Sormayın hocam, elektronik eşyalar satan bir marketin açıl ı ş ıvardı. Selçuk’la beraber erkenden kalkıp kuyruğa girdik. Kuyruko kadar uzundu ki kapılar açıldıktan ancak yarım saat sonra içerigirebildik.Uykusuz kaldığınıza değdi mi bari, Engin?Talep: Belirli bir zaman aralığındapiyasada tüketicilerin,satın alma gücüyle desteklenmiş,değişik fiyat düzeyindesatın almaya istekli olduklarımal veya hizmet miktarıdır.Tabii ki değdi. 1600 lira vermeye razı olduğum dizüstü bilgisayarı1200 liraya aldım.Valla ben güzellik uykumdan feragat edip de gidip beklemezdimaçıkçası, sabah gider alırdım.Herhangi bir mal veya hizmetibelli bir fiyatın üstündealmaya istekli olan tüketicilereğer o mal veya hizmeti,almaya istekli oldukları fiyatınaltında satın alabilirlerseparalarının bir kısmını korumuşolurlar. Korunan paramiktarı o tüketiciler için birranttır.Toplam fayda: Belli bir zamandiliminde, bireyin diğermal ve hizmetlerden olan tüketimisabit iken, bir malınçeşitli miktarda tüketilmesisonucu ulaşılan tatmin düzeyidir.Gördüğünüz gibi arkadaşlar, herkesin bir mal veya hizmeteverdiği değer farklı olabiliyor. Arkadaşlarınız uykusuz kalmışlarama 400 lira kazanç elde etmişler. İktisatçılar bu şekilde oluşan kazancatüketici rantı diyorlar. İktisatçıların ifadesiyle söylemek gerekirse,satın almak istediğimiz bir mal veya hizmeti istekli olduğumuz fiyatınaltında alabilirsek bir kazanç sağlamış oluruz. Bu kazanç tüketici rantıdır.Ancak hesaplama yapılırken herhangi bir mal veya hizmet için tekbir tüketicinin rantı yerine, belli bir fiyat düzeyinin üzerinde ödemeyeistekli bütün tüketicilerin toplam kazancına karşılık gelen tüketici rantıhesaplanır.İktisatçılar tüketici rantını şöyle de ifade etmektedirler. Birmal veya hizmet satın alındığında o malın tüketiminden dolayıbir fayda sağlanır. Eğer bir mal veya hizmet istekli olunan fiyatınaltında satın alınmış ise elde edilen toplam faydanın ödeme yapılmayankısmı tüketici rantıdır.

Tüketici ve Üretici Rantı 83Rant ekonomisi dedikleri şey bu mu hocam?Hayır. O başka bir şey. Şimdi isterseniz Engin’in almış olduğudizüstü bilgisayara 1200 liranın üzerinde ödemeye istekliolup da 1200 liradan satın alan tüketicilerin toplam kazancına karşılıkgelen tüketici rantını hesaplamaya çalışalım.Hocam kimin hangi fiyattan almaya istekli olduğunu bilmiyoruzki, nasıl hesaplayacağız?Şimdi, varsayalım ki bu dizüstü bilgisayara ödenmek istenenen yüksek fiyat 1600 lira olsun. p fiyatı, x miktarı göstermeküzere bu dizüstü bilgisayarın talep fonksiyonu da p=1600−x 2 ş e k l i n d everilsin.P160012000 x 0xŞekil 4.1: p= 1600− x 2 talep fonksiyonunun grafiği.Buna göre 1200 liranın üzerinde ödemeye istekli olup da 1200 liradanalan x 0 tüketicinin bu malın tüketiminden elde ettiği toplam faydasöz konusudur. Bu toplam fayda,[0, x 0 ] aralığında talep eğrisi altındakalan alanın değeri (mavi renk ve yeşil renk ile gösterilen toplam alan)kadardır. Ancak bu toplam faydanın bir kısmına ödeme yapılmı ş , b i rkısmına ise ödeme yapılmamıştır. Ödeme yapılmadan elde edilen faydatüketici rantıdır, bu rant grafikte mavi renk ile gösterilen alandır. Bunagöre tüketici rantı, talep eğrisi altında kalan alandan yeşil renk ile gösterilendikdörtgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. O halde 1200 fiyatınakarşılık gelen talep miktarı x 0 olduğuna göre tüketici rantı∫ x00pdx− 1200 x 0

84 4 İktisadi Uygulamalarformülü yardımıyla hesaplanabilir.Hocam, isterseniz tüketici rantını hesaplayabilirim. Talep fonksiyonundap yerine 1200 yazarsam x 0 değeriolur. Buna göre∫ 200elde edilir.1200 = 1600− x 2 0x 2 0= 400x 0 = 20(1600− x 2 )dx− 1200· 20 ==∫ 200(1600− x 2 )dx− 240001600x− x33 20− 24000= 32000− 2033 − 24000= 8000− 80003= 5333,330Bravo Zeynep. Evet arkadaşlar, buradan diyebiliriz ki bu dizüstübilgisayarı 1200 liradan satın alan yirmi tüketicinin toplamkorudukları para miktarı 5333,33 liradır.Arz: Belirli bir zaman aralığındapiyasada üreticilerin,değişik fiyat düzeyinde satmayaistekli oldukları malveya hizmet miktarıdır.Hocam, tüketiciler herhangi bir alışverişten bu şekilde bir kazançelde edebiliyorsa doğal olarak satıcıların da bir kazançelde etmesi gerekmez mi?Herhangi bir mal veya hizmetibelli bir fiyatın altındasatmaya razı olan üreticiler,eğer satmaya razı olduklarıfiyatın üstünde o mal veyahizmeti satabilirlerse gelirlerinibir miktar artırmış olurlar.Artırabildikleri para miktarıo üreticiler için bir ranttır.Çok güzel düşündün Selçuk. Tabii ki üreticilerin bir mal veyahizmeti satmaya istekli oldukları bir minimum fiyat vardır, bufiyat satıcıların "aşağısı kurtarmaz" dedikleri fiyattır. Eğer üreticiler birmal veya hizmeti satmaya istekli oldukları fiyatın üzerinde satabilirlersebir kazanç sağlamış olurlar. Bu kazanca da üretici rantı denir. Diğer birifadeyle üretici rantı, üreticinin satmaya hazır olduğu fiyat ile gerçektesattığı fiyat arasındaki farktır. Burada da tüketici rantında olduğu gibiherhangi bir mal veya hizmet için tek bir üretici rantı hesaplanmaz, bütünüreticilerin toplam kazancına karşılık gelen üretici rantı hesaplanır.

Tüketici ve Üretici Rantı 85Şimdi bu dizüstü bilgisayarı 1200 liranın altında bir fiyata satmaya istekliolup da 1200 liradan satan üreticilerin toplam kazancına karşılıkgelen üretici rantını hesaplamaya çalışalım.Varsayalım ki bu dizüstü bilgisayarın piyasaya sürülmek istenenen düşük fiyatı 1000 lira olsun. Bu dizüstü bilgisayarınarz fonksiyonu da p= 0,5x 2 + 1000 şeklinde verilsin.p1600120010000 x 0xŞekil 4.2: p= 0, 5x 2 + 1000 arz fonksiyonunun grafiği.Grafiğe bakarsanız fiyat 1000 lira iken piyasaya sürülen mal miktarısıfırdır. 1200 liranın altında satmaya hazır olup da 1200 liradan satanüreticilerin elde ettiği toplam gelir dikdörtgenin alanı (kırmızı renk veyeşil renk ile gösterilen toplam alan) kadar olacaktır. Bu toplam gelirdeüreticilerin beklediği bir gelir söz konusudur. Üreticilerin beklediği gelir[0,x 0 ] aralığında arz eğrisi altında kalan alan kadardır. Dolayısıylatoplam gelirden beklenen geliri çıkarırsak üretici rantını buluruz. Bunagöre grafikte kırmızı renk ile gösterilen alan üretici rantıdır. O halde1200 fiyatına karşılık gelen arz miktarı x 0 olduğuna göre üretici rantıda∫ x01200 x 0 − pdxformülü ile hesaplanabilir.Bunu da ben hesaplayayım hocam. 1200 liradan satılan miktarx 0 = 20 olduğunu bildiğimize göre üretici rantı,0∫ 201200·20− (0,5x 2 + 1000)dx0∫ 20= 24000− (0,5x 2 + 1000)dx0 0,5x3 20= 24000− + 1000x30

86 4 İktisadi Uygulamalar 0,5·203= 24000− + 200003= 4000− 40003= 2666,66bulunur.Çok güzel Zeynep. Buradan diyebiliriz ki 1200 liradan satılanbu yirmi adet dizüstü bilgisayardan üreticilerin artırabildikleritoplam para miktarı 2666,66 lira olur.Hocam, bir örnek daha yapabilir miyiz?Tabii ki. Şimdi farklı bir örnek inceleyelim. x miktarı ve p fiyatıgöstermek üzere bir malın talep fonksiyonu p 1 =(x−6) 2ve arz fonksiyonu da p 2 =(x+2) 2 şeklinde verilsin. Üretici ve tüketicilerinpiyasaya katılım sonucunda oluşan piyasa fiyatı düzeyindeki tüketicive üretici rantını bulalım.P3640x 0 6p 0xŞekil 4.3: p 1 =(x− 6) 2 talep fonksiyonu ve p 2 =(x+ 2) 2 arz fonksiyonunun grafiği.Piyasa fiyatı: Arz ve talepmiktarının eşit olduğu noktadakifiyattır.Hocam piyasa fiyatını vermediniz, sanırım önce piyasa fiyatınıbulmamız gerekiyor.

Tüketici ve Üretici Rantı 87Evet Gökçe. O zaman önce piyasa fiyatını bul bakalım.Arz ve talep fonksiyonunun eşit olduğu noktadaki fiyat, piyasafiyatı olduğuna göre, p 1 = p 2 e ş i t ğinden l i(x− 6) 2 =(x+ 2) 2x 2 − 12x+ 36 = x 2 + 4x+ 4−12x+ 36 = 4x+ 432 = 16xx = 3216x = 2olarak bulurum. Bulduğum bu x değerini arz veya talep fonksiyonundayerine yazarsam piyasa fiyatı p=(2+2) 2 = 4 2 = 16 olur.Evet Gökçe. Elde ettiğimiz bu değerleri x 0 = 2 ve p 0 = 16şeklinde gösterirsek, buradan tüketici rantı∫ 20(x− 6) 2 dx− 2·16 ===∫ 20x3(x 2 − 12x+ 36) dx− 323 − 6x2 + 36x 83 − 24+ 72 2− 32− 320= 8 + 48− 323= 8 3 + 16= 56 3bulunur. Benzer şekilde üretici rantı= 18,66∫ 22·16− (x+ 2) 2 dx0∫ 2= 32− (x 2 + 4x+ 4) dx= 32−0x33 + 2x2 + 4x 20

88 4 İktisadi Uygulamalar= 32− 83 + 8+8 = 32− 8 3 − 16= 16− 8 3= 403= 13,33olarak bulunur. O halde p 0 = 16 piyasa fiyatından satılan bu maldanelde edilen tüketici rantı 18,66 lira, üretici rantı ise 13, 33 liradır.pHocam, arz ve talep eğrisi doğrusal bir fonksiyon olursa üreticive tüketici rantına karşılık gelen bölgeler üçgen şeklindeolacak galiba!10740 3 10Şekil 4.4: p 1 = x+ 4 arz doğrusu ilep 2 = 10− x talep doğrusu.xÇok dikkatlisin Selçuk. Arkadaşlar arz ve talep eğrisi doğrusalolursa üretici ve tüketici rantı, oluşan üçgen bölgelerinalanı olacaktır. Şimdi de hepimizi yakından ilgilendiren başka bir iktisadiproblemi inceleyeceğiz. Problemimiz şöyledir; belli bir dönem içerisindebir ülkede oluşan gelirin toplumun çeşitli kesimleri arasındakidağılımının nasıl olduğunu araştıracağız.Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksiBir ülkedeki gelir dağılımı dendiğinde genelde kişi başına düşengelirden bahsedilir. Kişi başına düşen gelirin yüksek olmasıveya düşük olması bir ölçüt olarak kullanılabilir. Ancak kişi başınadüşen gelir ortalama bir durum belirtir, oluşan gelirin toplumun çeşitlikesimleri arasındaki dağılımı hakkında bir fikir vermez.Hocam, kişi başına düşen gelir ile gelir dağılımı arasındakifarkı biraz açıklar mısınız?

Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksi 89Bunu bir örnekle açıklayalım. Varsayalım ki bir dönem içerisindeoluşan toplam gelir 4000 lira olsun. Bu gelirin 10 kişiarasında dağılımını içeren iki dağıtım durumunu ele alalım. Birinci durumda,gelirin 3000 lirasını 1 kişi alsın, geriye kalanını d a 9 k i ş i p a y l a ş -sın. İkinci durumda ise 3000 lirayı 3 kişi paylaşsın, geriye kalan 1000lirayı ise 7 kişi paylaşsın. Dikkat ederseniz her iki durumda da 4000 lirayı10’a bölersek kişi başına düşen gelir 400 lira olur. Ancak bu iki gelirdağılımı birbirinden farklıdır.Hanehalkı: Ekonomik birimolarak bir çatı altında yaşayanve ortak mali kararlarHocam, kişi başına düşen geliri hesaplamak kolay. Ama gelirdağılımının nasıl olduğuna karar vermek biraz zor gözüküyor.alan veya başkasının aldığıkararlara tabi olan bütün kişilerdir.Evet Zeynep. Gelir dağılımını ölçmek için farklı yöntemlergeliştirilmiştir. En yaygın olarak kullanılan yöntemlerden biriLorenz eğrisidir. Lorenz eğrisi gelir dağılımının grafiksel olarak gösterimidir.Bu eğri şöyle oluşturulur: Önce toplumdaki kişiler veya hanehalklarıen alt gelir grubundan başlanarak en üst gelir grubuna doğru sıralanır.Daha sonra herhangi bir gelir düzeyi ve altında gelir elde edenlerintoplamının toplam gelirden aldığı pay hesaplanır. Her gelir düzeyi içinbu işlem yapılırsa eğrinin grafiği oluşturulabilir. Şimdi bu eğriye karşılıkgelen y=L(x) Lorenz fonksiyonunu tanımlayalım.Lorenz eğrisi, Max Otto Lorenztarafından gelir dağılımınıgrafiksel olarak göstermekiçin geliştirilmiştir.x, 0 ve 1 arasında bir sayı olsun. Buna karşılık gelen y=L(x)değerini şöyle belirliyoruz: Toplumdaki kişileri en alt geliresahip olandan, en üst gelire sahip olana doğru sıralayalım. Şimdi busıralamada baştan başlayarak o kadar kişi seçelim ki, onların sayısınıntoplam kişi sayısına oranı x olsun. Bu durumda y=L(x) değerini, bukişilerin gelirlerinin, toplam gelire oranı olarak tanımlıyoruz. Bu oranlarıondalık sayı şeklinde ifade edersek, Lorenz fonksiyonunun tanımkümesi[0,1] kapalı aralığı ve değer kümesi de[0,1] kapalı aralığı olacaktır.Hocam, bu fonksiyonun değerlerini bulmak için her bir kişininne kadar gelir elde ettiğini bilmemiz gerekiyor sanırım.Tek tek herkese ne gelir elde ettiğini mi soracağız? Bu iş bizimboyumuzu aşar hocam.

90 4 İktisadi UygulamalarKorkma Selçuk. Birçok ülkede olduğu gibi ülkemizde de Türkiyeİstatistik Kurumu (TÜİK) eşdeğer hanehalkı gelir anketiyaparak bazı verileri topluyor. TÜİK toplumdaki gelir gruplarını en altgelir grubundan başlayarak yüzde yirmilik dilimlere ayırıp elde ettiğiverilerden her bir gelir grubunun toplam gelirden aldığı payı hesaplıyor.Tablo 4.1’de 2010 yılına ait TÜİK tarafından yayımlanan gelir dağılımıgösterilmiştir.Yüzde 20’lik fert grupları Toplam gelirden aldığı pay (yüzde)İlk yüzde 20 5,8İkinci yüzde 20 10,6Üçüncü yüzde 20 15,3Dördüncü yüzde 20 21,9Son yüzde 20 46,4Tablo 4.1: 2010 yılında yüzde yirmilik gruplara göre gelir dağılımı.Bu tablodaki verilere göre y=L(x) Lorenz fonksiyonununaldığı bazı değerleri bulalım. L(0)=0’dır. Tabloya bakarsak,ilk yüzde 20’nin toplam gelirden aldığı pay yüzde 5,8’dir. Buna göreL(0,2)=0,058 olur. Yine tabloya bakarsak, ilk yüzde 40’ının toplamgelirden aldığı pay yüzde 16,4’tür. Buna göre L(0,4)=0,164 olur. Benzerşekilde devam edilirse L(0,6)=0,317, L(0,8)=0,536 ve L(1)=1olur. Bu altı noktanın görüntülerini birleştiren bir eğri çizersek kabacaLorenz eğrisinin grafiğini buluruz. Dikkat ederseniz, hem kişi sayılarınıhem de bunların gelirlerini en alt gelirden başlayarak birikimli olarakhesaplıyoruz.y11Birikimli gelir yüzdesi0, 80, 60, 40, 20,1640,3170,53600,0580, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1Birikimli kişi yüzdesixŞekil 4.5: 2010 yılı için Türkiye’nin L(x) Lorenz eğrisinin grafiği.

Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksi 91Hocam grafikte sadece bu altı noktadan geçen eğriyi çizdik.Herhangi bir noktanın görüntüsünü bulmak için fonksiyonundenklemini bilmemiz gerekiyor sanırım!Evet Selçuk. Çok değişkenli fonksiyonlar konusunda hatırlarsanızen küçük kareler yöntemini kullanarak eldeki verilereuygun düşen doğru denklemini elde etmiştik. Burada da bu verilere uygundüşen bir fonksiyon bulmaya çalışılır. Fonksiyonun aldığı bazı değerleregöre bu eğriye karşılık gelen x r şeklinde bir fonksiyon araştıracağız.Buna göre(0 r − 0) 2 +[(0,2) r − 0,058)] 2 +[(0,4) r − 0,164)] 2+[(0,6) r − 0,317)] 2 +[(0,8) r − 0,536)] 2 +(1 r − 1) 2ifadesini minimum yapan r değerini araştıracağız. Bu değeri hesaplamakiçin bilgisayar yardımıyla yapılan hesaplamalar sonucunda r değeriyaklaşık 2,34 olarak bulunmuştur. O halde bu verilere uyan Lorenzfonksiyonunu L(x)=x 2,34 şeklinde alabiliriz. Aşağıdaki grafikte bulduğumuzfonksiyonun grafiği ile altı nokta yardımıyla oluşturulan Lorenzeğrisinin grafiğini karşılaştırabilirsiniz.y11Birikimli gelir yüzdesi0, 80, 60, 40, 20,1640,3170,53600,0580, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1Birikimli kişi yüzdesixŞekil 4.6: 2010 yılı için Türkiye’nin L(x) Lorenz eğrisinin grafiği.Hocam, Lorenz eğrisini oluşturdunuz ama bu eğriye göre gelirdağılımı hakkında nasıl karar vereceğiz?

92 4 İktisadi UygulamalarArkadaşlar gelir dağılımında doğal olarak beklenen durumherkesin eşit pay almasıdır. Bu duruma ne kadar çok yaklaşılırsagelir dağılımı göreceli olarak iyidir diyebiliriz. Herkesin gelirdeneşit pay aldığı durumu düşünürsek oluşan eğri y=xdoğrusuna karşılıkgelecektir. Bu doğruya mutlak eşitlik doğrusu denir.O zaman bizim Lorenz eğrimiz mutlak eşitlik doğrusunun altındabir eğri olacak.y10, 80, 60, 40, 2x0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1Şekil 4.7: Mutlak eşitlik doğrusu.Evet Zeynep. Buna göre herhangi bir ülke için oluşturulan Lorenzfonksiyonunun grafiğine karşılık gelen Lorenz eğrisininmutlak eşitlik doğrusuna yakınlığına göre gelir dağılımının nasıl olduğunakarar vereceğiz.Lorenz eğrisinin mutlak eşitlik doğrusuna yakınlığını nasıl ölçeceğizhocam? Cetvel mi kullanacağız?Gini indeksi, gelir yoğunluğunuölçmek için İtalyan sosyologCorrado Gini (1884-1965) tarafından tanımlanmı ş t ı r.Daha güzel bir yöntem kullanacağız. Lorenz eğrisi ile mutlakeşitlik doğrusu arasında kalan alanı hesaplayıp, bu alanınmutlak eşitlik doğrusu altında kalan üçgenin alanınına oranını bulacağız.Alanları şekildeki gibi harflerle gösterirsek hesaplayacağımız oranAA+Bolur. Hesaplanan bu değere Gini indeksi denir. Gini indeksinin aldığıdeğere göre de gelir dağılımı hakkında karar vereceğiz.y1Birikimli gelir yüzdesi0, 80, 60, 40, 2AB← L(x)00, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1Birikimli kişi yüzdesix

Lorenz Eğrisi ve Gini İndeksi 93İki eğri arasında kalan integral formülünden mutlak eşitlikdoğrusu ile Lorenz eğrisi arasında kalan alanı hesaplarsak şekildekiA bölgesinin alanını buluruz.Evet Engin. y=xdoğrusu ile Lorenz eğrisi arasında kalanalan ∫ 1(x−L(x)) dx integrali ile hesaplanabilir. A+ B değeri0de üçgenin alanı olduğuna göre A+ B= 1 olur. Buradan2Gini indeksi == 2∫ 1(x−L(x)) dx0∫ 1012(x−L(x)) dxolur. Eğer Lorenz eğrimiz mutlak eşitlik doğrusuyla çakışırsa A bölgesinindeğeri sıfır olacağından Gini indeksi sıfır olur. Eğer B bölgesininalanı sıfır olursa Lorenz eğrisi Şekil 4.8’de gösterildiği gibi olacaktır.Buna göre ∫ 1(x−L(x)) dx integralinin değeri 1 olacağından Gini indeksi1 olur. Buna göre Gini indeksi 0 ile 1 arasında bir değer0 2alır.Gini indeksi 0’a yakınsa gelirin iyi dağıtıldığını 1’e yakınsakötü dağıtıldığını söyleyebilir miyiz hocam?y10, 80, 60, 40, 2x0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1Şekil 4.8: Bir kişinin bütün gelirialması ve başka hiçbir kimseningelir elde etmediği durumdakiLorenz eğrisi.Evet Zeynep. Şimdi bulduğumuz L(x)=x 2,34 Lorenz eğrisiiçin Gini indeksini hesaplarsak2∫ 10 x2(x−x 2,34 ) dx = 22 − x3,34 13,340 1= 22 − 1 3,34 3,34−2= 22·3,34= 3,34−23,34= 1,343,34= 0,401olur.

94 4 İktisadi UygulamalarGini indeksi sıfıra daha yakın çıktığına göre gelir iyi dağıtılmı ş t ı r.Evet Zeynep. Ancak göreceli olarak iyi dağıtılmıştır demekdaha doğru olur. Arkadaşlar Lorenz eğrisi sadece gelir dağılımıölçmek için değil refah, sermaye vb. iktisadi değerlerin dağılımınınnasıl olduğunu belirlemek için de kullanılabilir. Şimdi de size bazı ülkelerinGini indeksi ve kişi başına düşen gelirlerini gösteren bir tablovereceğim. Bu tabloya bakarak yorumlama işini de size bırakayım.Ülke Adı K i ş i B a ş ı n a D ü ş e n G e l i r ( $ Gini ) İndeksiTürkiye (2010) 13800 0,402Rusya (2010) 15900 0,420Amerika (2007) 46406 0,450Arjantin (2009) 15000 0,458Brezilya (2009) 10800 0,539Azerbeycan (2008) 5575 0,337İsveç (2005) 41066 0,230Almanya (2006) 35328 0,270Japonya (2008) 38212 0,376Tablo 4.2: Bazı ülkelerin farklı yıllardaki kişi başına düşen geliri ve Gini indeksi.Diferansiyel Denklemlerin UygulamasıBir çikolata fabrikası 5 ile 9 yaş arasındaki gruba hitap edecekçikolatalı bir kek piyasaya sürmüş ve çocuklara yönelik programyapan televizyon kanallarına ürünün reklamını vermiştir. Reklamyayımlanmaya başladıktan sonra bu yeni ürünün reklamını gören çocuklarınsayısının değişim oranının, ürünün reklamını görmemiş olançocukların sayısıyla orantılı olduğu düşünülmektedir. Reklam verildikten5 gün sonra çocukların yüzde 40’ı ürünün reklamını gördüğüne göreçocukların yüzde 90’ının bu ürünün reklamını görmesi için kaç gün reklamınyayımlanması gerekir?

Diferansiyel Denklemlerin Uygulaması 95Bu problemi çözmek için önce değişim oranını veren denklemibulmamız gerekiyor. y reklamı gören çocukların sayısını ve tzamanı göstersin. L,5−9 yaş grubundaki çocuk sayısı olsun. Bu takdirdereklamı görmemiş olan çocuk sayısı L− y olacaktır. Buna göre değ i ş i moranını gösteren denklemi,dydt= k(L− y)şeklinde yazabilirim.k sayısının orantı katsayısı ve denklemin de bir diferansiyeldenklem olduğunu söylemeyi unuttun Engin.Bu diferansiyel denklemin çözümü için bir de başlangıç koşuluverilmesi gerekir.Evet arkadaşlar. Reklamlar televizyonda dönmeye başladığındareklamı gören çocuk sayısı sıfır olduğundan t= 0 içiny= 0 değerini de başlangıç koşulu olarak alabiliriz. Diferansiyel denklemimizideğişkenlerine ayırırsakdyL− y= k·dtşeklinde yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafının integralini alırsak,∫dyL− y=∫kdt(−1) ln(L− y)+c 1 = kt+ c 2(−1) ln(L− y)= kt+ c 2 − c 1ln(L− y)=−kt− celde ederiz. c 2 −c 1 değeri de bir sabit olduğuna göre c 2 −c 1 yerine kısacac yazdık. Eşitliğin her iki tarafı e tabanında yazılırsa L− y = e −kt−cyani y=L−e −kt e −c bulunur. Şimdi başlangıç koşulunu kullanırsak e −csabitinin değerini bulabiliriz.

96 4 İktisadi UygulamalarBunu ben bulabilirim hocam. t= 0 için y= 0 olduğuna görebu değerleri denklemde yerine yazarsam 0= L−e −c olur. Bunagöre e −c = L bulurum. O halde denklemiy=L− Le −kt = L(1− e −kt )şeklinde yazabilirim.Orantı katsayısını nasıl hesaplayacağız?Beş gün sonra reklamı gören çocuk sayısı yüzde 40 olarakverilmiş, bunu kullanabiliriz. Denklemde t yerine 5 ve y yerine0,4 L yazarsak orantı katsayısını buluruz. 0,4 L= L(1− e −5k ) yani0,4=1− e −5k denkleminden,e −5k = 1−0,4e −5k = 0,6olur. Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını alırsak ln e −5k = ln0,6yani−5k=−0,51 elde ederiz. Buradan k= −0,51 ≈ 0,102 bulunur.−5Buna göre diferansiyel denklemimizin çözümü y=L(1− e −0,102 t ) ş e k -linde olur.Bravo! Sorumuza dönecek olursak çocukların yüzde 90’ınınreklamı görmesi için reklamın kaç gün dönmesi gerektiğinibulun bakalım.Çocukların yüzde 90’ının görmesi demek 0,9L anlamına geldiğinegöre bu değeri diferansiyel denklemimizin çözümündeyerine yazıp t değerini bulmamız gerekiyor. Buna göre0,9L = L(1− e −0,102 t )0,9 = 1− e −0,102 te −0,102 t = 0,1olur.E ş i t ğin l i her iki tarafının doğal logaritması alınırsa ln e −0,102t = ln0,1yani−0,102t=−2,302 olur. Buradan da t= −2,302 ≈ 22,56 bulunur.−0,102O halde 5-9 yaş grubundaki çocukların yüzde 90’ının reklamı görmesiiçin reklamın 23 gün dönmesi gerekir.

Diferansiyel Denklemlerin Uygulaması 97Hocam çocuk sayısını vermediniz. Çocuk sayısı da verilirse hergün kaç çocuğun reklamı gördüğünü bulabilir miyiz?Bulabiliriz tabii. Türkiye’de 5-9 yaş grubundaki çocuk sayısıyaklaşık altı milyondur. Diferansiyel denklemimizin çözümündeL yerine 6000000 yazıp t’ye bazı değerler vererek her gün yaklaşık kaççocuğun reklamı gördüğünü bulabiliriz.t (gün) Reklamı gören çocuk sayısı1 6000000(1− e −0,102·1 ) ≈ 5818222 6000000(1− e −0,102·2 ) ≈ 11072253 6000000(1− e −0,102·3 ) ≈ 15816804 6000000(1− e −0,102·4 ) ≈ 20101265 6000000(1− e −0,102·5 ) ≈ 23970266 6000000(1− e −0,102·6 ) ≈ 27464087 6000000(1− e −0,102·7 ) ≈ 30619108 6000000(1− e −0,102·8 ) ≈ 33468189 6000000(1− e −0,102·9 ) ≈ 360409810 6000000(1− e −0,102·10 ) ≈ 3836430Tablo 4.3: İlk 10 gün reklamı gören çocuk sayısı.Hocam diferansiyel denklemlerin uygulaması ile ilgili bir örnekdaha verebilir misiniz?Tabii ki. Aranızda talebin fiyat esnekliğini hatırlayan var mı?Ben hatırlıyorum hocam. Bir malın talep fonksiyonu verildiğindemalın fiyatındaki yüzdelik değişime karşılık talep miktarındameydana gelen yüzdelik değişimi ifade ediyordu.Aferin Engin. x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere p(x) talepfonksiyonu verildiğinde talep fiyat esnekliği dxdp· px ifadesininmutlak değeridir. Şimdi bir esneklik değeri verildiğinde fiyat ve miktararasındaki ilişkiyi veren talep denkleminin nasıl olabileceğini elde

98 4 İktisadi Uygulamalaredeceğiz. Buna göre x> 0 olmak üzere esneklik değeri 1 ise talep denkleminibulalım.Hocam anladım sanırım. Önce verilen denklemi 1’e eşitleyip dx =1denklemini elde ederim. Ama bu mutlak değerdendp· pxnasıl kurtulacağım?Fiyat artarken talep azaldığı için dx türevi negatiftir!dpO zaman bu denklemi− dxdp· px= 1 veyadxyazabilirim. Bu bir diferansiyel denklemdir.dp· px =−1 ş e k l i n d eBen bu diferansiyel denklemi çözebilirim. Şimdi dxdp· px =−1diferansiyel denklemini değişkenlerine ayırırsak dxx=− p p olur.Buradan her iki tarafın integralini alırsak∫dxxln xln x+ ln p=∫− dpp= − ln p+c= cln(x· p) = cbulunur. Eşitliğin her iki tarafı e tabanında yazılırsa denklemin çözümüx· p=e c şeklinde de ifade edilebilir.Çok güzel Selçuk. Demek ki böyle bir durumda talebin fiyatlaters orantılı olduğunu da gösterdik.ÖzetBu bölümde, bazı iktisadi uygulamaları inceledik. Tüketici ve üreticirantının nasıl oluştuğunu inceleyip, tüketici ve üretici rantının nasılhesaplanacağını gördük. Bir ülkedeki gelir dağılımının nasıl olduğunubelirlemek için Lorenz eğrisini oluşturup Gini indeksini hesapladık. Ayrıcadiferansiyel denklemlerin bazı uygulamalarını gördük.

Okuma Parçası 99Okuma ParçasıSHenflasyon dü Hoca devam etti: “O zaman enflasyon %100 olunca , ama bu gene de tuhaf bir on ne kadar yüksek olursadu. Sorun neredeydi?1 birim olsr ise, 1 r olacak. O zaman11 birim para ile alma1 r1 rgücündeki azalma 1 kadar olacak.1r 1rO zaman enflasyon %50 yani r 0, 5 alma gücür 0,5 0,5 5 1 kadar azenflasyon %100,1 r 10,5 1,5 15 3r 1 1yani r 1 ise, 1 r 112Enflasyon %20 , yani r 0, 2ise1r r0,2 10,20,21,221216 0,166 %16,6 azalacak. Sözgelimi 10 lira ile 1 kilogram peynir10 5alabiliyorken 0,833 kg yani12 6gram peynir almaya yetecek.? Enflasyonalma gücündeazalma %10 20 40 50 80 100 150 200 300 5009,09 16,6 28,5 33,3 44,4 50 60 66,6 75 83,3

100 4 İktisadi UygulamalarÇıkarın Kağıtları1. x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere birmalın talep fonksiyonu p=15− x 2 şeklindeverilmiştir. Buna göre p 0 = 6 fiyatındaki tüketicirantı kaçtır?A) 27 B) 20 C) 18 D) 16 E) 142. x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere birmalın arz fonksiyonu p= x 2 + 4 şeklinde verilmiştir.Buna göre p 0 = 8 fiyatındaki üreticirantı kaçtır?A) 16 3B) 133C) 11 3D) 24 E) 183. x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere birmalın talep fonksiyonu p 1 = 16− x 2 ve arzfonksiyonu p 2 = x 2 + 8 şeklinde verilmiştir.Buna göre piyasa fiyatı düzeyindeki tüketicirantını ve üretici rantını bulunuz.4. x miktarı ve p fiyatı göstermek üzere birmalın arz fonksiyonu p= x+ 4 şeklinde verilmiştir.Piyasa fiyatı 7 olduğuna göre üreticirantı aşağıdakilerden hangisidir?A) 16 3B) 133C) 11 3D) 7 2E) 9 25. Bir ülkenin İstatistik kurumunun yayımladığıyüzde 20’lik fert gruplarına göre gelirdağılımı verilerinden elde edilen Lorenz fonksiyonuL(x)= x 2 şeklinde belirlenmiştir. Bunagöre bu ülkenin Gini indeksi aşağıdakiler hangisidir?A) 0,25 B) 0,33 C) 0,40D) 0,50 E) 0,666. Bir ülkenin İstatistik kurumunun yayımladığıyüzde 20’lik fert gruplarına göre gelirdağılımı verilerinden elde edilen Lorenz fonksiyonuL(x)= x 3 şeklinde belirlenmiştir. Bunagöre bu ülkenin Gini indeksi aşağıdakiler hangisidir?A) 0,30 B) 0,35 C) 0,40D) 0,50 E) 0,607. Bir ülkenin İstatistik kurumunun yayımladığıyüzde 20’lik fert gruplarına göre gelirdağılımı verilerinden elde edilen Lorenz fonksiyonuL(x)= x 4 olarak belirlenmiştir. Bunagöre bu ülkenin Gini indeksi aşağıdakiler hangisidir?A) 0,40 B) 0,45 C) 0,50D) 0,60 E) 0,758. Aşağıdaki tabloda bir ülkenin İstatistikkurumunun yayımladığı yüzde 20’lik fertgruplarına göre gelir dağılımı verileri verilmiştir.Bu verilere göre Lorenz eğrisinin geçtiğialtı noktayı bulup, eğrinin grafiğini çiziniz.Yüzde 20’lik fert grupları Toplam gelirden aldığı pay (yüzde)İlk yüzde 20 3, 8İkinci yüzde 20 11, 2Üçüncü yüzde 20 16, 1Dördüncü yüzde 20 20, 5Son yüzde 20 48, 49. Bir malın talep fiyat esnekliği 2 olarak verildiğinegöre bu malın miktarı ve fiyatı arasındakiilişkiyi veren talep denklemini bulunuz.10. Bir malın talep fiyat esnekliği 1 2 olarakverildiğine göre bu malın miktarı ve fiyatı arasındakiilişkiyi veren talep denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?A) x· p=c B) x· p 2 = e cC) 2x· p=e c D) x 2·p=e cE) x· p 3 = e c

Çözümler 101Çözümler1. p 0 = 6 değerini talep fonksiyonunda yerineyazarsak 15− x 2 = 6 eşitliğinden 9= x 2bulunur. Buradan x= 3 veya x=−3 elde edilir.Talep miktarı negatif olamayacağına görex= 3 çözüm olur. Bu değeri de x 0 = 3 şeklindegösterirsek buradan tüketici rantı∫ 30(15− x 2 )d x− 6·3 =15x− x33= 45−9−18= 18bulunur. Doğru cevap C şıkkıdır. 3− 1802. p 0 = 8 değerini arz fonksiyonunda yerineyazarsak x 2 + 4=8eşitliğinden 4= x 2 bulunur.Buradan x= 2 veya x=−2 bulunur.Arz miktarı negatif olamayacağına göre x= 2çözüm olur. Bu değeri de x 0 = 2 şeklinde gösterirsekburadan üretici rantı,2·8−∫ 20 x3 2(x 2 + 4)d x = 16−3 + 4x 0 23= 16−3 + 8= 16− 32 3x 0 = 2 ve p 0 = 12 olur. Buradan tüketici rantı∫ 2 (16− x 2 )d x− 12·2 = 16x− x3 2− 24300= 32− 8 3 − 24= 16 3ve üretici rantı∫ 2 x3 212·2− (x 2 + 8)d x = 24−3 + 8x 00 83 + 16olur.= 24−= 16 34. Arz fonksiyonunda piyasa fiyatı 7 yerineyazılırsa 7= x+ 4 olup x = 3 bulunur. Budeğeri de x 0 = 3 şeklinde gösterirsek buradanüretici rantı3·7−∫ 30(x+ 4)d x x2 3= 21−2 + 4x 032= 21−= 21− 9 2 − 122 + 12 = 16 3bulunur. Doğru cevap A şıkkıdır.3. Arz ve talebin eşit olduğu noktadaki fiyatpiyasa fiyatı olduğuna göre16− x 2 = x 2 + 82x 2 = 8x 2 = 4x = 2elde edilir. Bu değeri arz fonksiyonunda yerineyazarsak, p 2 = 2 2 +8=12 bulunur. Buna göre= 9− 9 2= 9 2bulunur. Doğru cevap E şıkkıdır.5. Bu ülkenin Gini indeksi∫ 1 x22 (x−x 2 ) d x = 22 − x3 1300 1= 22 − 1 3= 1 3 = 0,33olur. Doğru cevap B şıkkıdır.

102 4 İktisadi Uygulamalar6. Bu ülkenin Gini indeksi∫ 1 x22 (x−x 3 ) d x = 22 − x4 1400 1= 22 − 1 4= 1 2 = 0,50olur. Doğru cevap D şıkkıdır.7. Bu ülkenin Gini indeksi∫ 1 x22 (x−x 4 ) d x = 22 − x5 1500 1= 22 − 1 5= 6 10= 3 5 = 0,60olur. Doğru cevap D şıkkıdır.8. Bu verilere göre Lorenz eğrisinin geçtiğialtı noktanın görüntüsüL(0)=0L(0,20)=0,038L(0,4)=0,038+0,112=0,15L(0,6)=0,038+0,112+0,161=0,311L(0,8)=0,038+0,112+0,161+0,205= 0,516L(1)=1şeklindedir. Bu noktaları bir eğriyle birleştirirsekLorenz eğrisini buluruz.y9. Talep fonksiyonunun türevi negatif olduğundand dp·p x =2 ifadesini d x =−2 şeklindeyazabiliriz. Bu diferansiyel denklemixdp·pxdeğişkenlerineayırıp çözersekd xx∫d xxln xln x+ ln p 2= −2 dpp∫dp= −2p= −2 ln p+c=− ln p 2 + c= cln(x· p 2 ) = cbulunur. Eşitliğin her iki tarafı e tabanında yazılırsax· p 2 = e c şeklinde olur.10. Talep fonksiyonunun türevi negatif olduğundand dp·p x = 1 x 2 ifadesini d dp·p xx =− 1 2şeklinde yazabiliriz. Bu diferansiyel denklemideğişkenlerine ayırıp çözersek2d xx∫d xxln x 2 + ln p= − 1 dp2 p∫dp= −p2 ln x = − ln p+c= cln(x 2·p) = colur. Eşitliğin her iki tarafı e tabanında yazılırsax 2·p=e c şeklinde olur. Doğru cevap Dşıkkıdır.110, 80, 60, 40, 200, 0380, 150, 3110, 5160, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1x

Çizge Kuramına Giriş25.MATEMATİK 2ÜNİTE3Sadece 4 kişinin katıldığı birdavette, davete katılanlardanüçünün ikişer kişiyle, birininde üç kişi ile tokalaşmasımümkün müdür?45ÇİZGE4-RENK TEOREMİEULER FORMÜLÜKÖŞE NOKTASI6DERECEKENARBOYAMA

104 5 Çizge Kuramına GirişÇizge Nedir?Hayırdır arkadaşlar neyi tartışıyorsunuz?Hocam hafta sonu kimde toplanıp ders çalışacağız ona kararvermeye çalışıyoruz. Ne yazık ki evlerimiz birbirinden uzaktaolduğundan otobüse binmek zorundayız.Bir tek otobüs olsa yine iyi. Bazen aktarma yapıp iki otobüskullanmak gerekiyor.Daha da güzel! Bu probleminizi bugün işleyeceğimiz çizgelerkonusu ile ilişkilendirerek derse başlayalım. Ben ve PınarHoca da dâhil hepimizin evlerini düzlemde birer nokta ile gösterelim.İsterseniz bu noktaları isimlerimizin baş harfleriyle adlandıralım. Sonrakimlerin evleri arasında bir tek otobüs ile ulaşım imkânı varsa, o kişilerinevlerini temsil eden noktalar arasına bir çizgi çizelim.Hocam bu çizgiler düz çizgi mi, yoksa düz olmayabilir mi?gzeSelçuk çizgiler istediğin gibi olabilir. İster düz çiz, ister eğri.Hatta çizgilerin kesişmesinin de bir sakıncası yok (Şekil 5.1).psmŞekil 5.1: Kişilerin evlerini vebu evler arasında tek otobüs ileulaşımın mümkün olup olmadığınıgösteren diyagram.İşte bu tür diyagramlara çizge denir. Daha kesin bir tanım vermekgerekirse çizge, boş kümeden farklı noktalar kümesiylebu noktalar arasındaki çizgilerin kümesinden oluşur. Noktalar kümesiniV ile gösterirsek, örneğimizde V ={e, g, m, p,s,z} olur. Aslında noktayerine köşe noktası demek daha doğru olacaktır.Köşe noktalarının arasındaki çizgilere ise kenar denir. Çizgeninbir kenarından bahsetmek için onun iki uç noktasını söylemekyeterlidir. Örneğin, m ve p köşe noktalarını birleştiren kenarı mpile gösterebiliriz. Eğer çizgenin tüm kenarlarının kümesini E ile gösterecekolursak, örneğimizde E={ep, gp, mp, ms, ps, se,sz} olur.

105Çizgenin köşe noktalarının kümesi V ile kenarlarının kümesiE verildiğinde bir G çizgesi G=(V, E) şeklinde yazılır.Pınar Hocam m ve p köşe noktalarını birleştiren kenarı nedenpm diye isimlendirmediniz de mp dediniz? pm deseydik olmazmıydı?Zeynep hiç önemli değil. Aslında çizgenin kenarlarını köşenoktaları kümesinin iki elemanlı alt kümeleri gibi de düşü-HHCHnebiliriz. Örneğin, p ile m noktasını birleştiren kenarı{m, p} kümesiHgibi düşünebiliriz. Bir kümede elemanların yazım sırası önemli olmadığındanaynı kümeyi{p, m} şeklinde de yazabiliriz. Fakat gösterimlerdekısalık olsun diye küme parantezi ve virgülü yazmayıp, kısaca pm ya daHH H HC C CHmp yazacağız.HHHİyi de hocam bazı yollar tek yön, p köşe noktasından m k ö ş enoktasına otobüs ile gitmek mümkünken, m köşe noktasındanp köşe noktasına otobüs ile gitmek mümkün olmayabilir. Hatta otobüstenhiç inmezsek m köşe noktasından tekrar m köşe noktasına da ulaşabiliriz.O zaman da mm kenarı mı yazacağız?Şekil 5.2: Metan (CH 4 ) ve Propan(C 3 H 8 ) kimyasal moleküllerikarbon (C) ve hidrojen (H)atomları arasındaki bağlarla birçizge gibi düşünülebilir.Selçuk aslında haklısın. Yolların tek yön olup olmadığını dikkatealıp, kenarların üzerine birer ok işareti de koyabiliriz.Hatta dediğin gibi bir köşe noktasından kendisine de kenar çizebiliriz.Fakat biz çoğunlukla basit veya yalın çizge adı verilen yani bir köşe noktasındankendisine kenarı olmayan, iki köşe noktası arasında en fazlabir kenarı olan, kenarları yönlendirilmemiş ve sonlu sayıda köşe noktasıolan çizgelerle çalışacağız.Adı basit çizge ama tanımı hiç de basit değilmiş. Hocam buçizgeler başka nerelerde kullanılır? Benim aklıma nedense hiçörnek gelmiyor.Şekil 5.3: İstasyonlar ve bu istasyonlarıbirleştiren hatlarla birmetro sistemi de bir çizge oluşturur.Gökçe, çizgeler biz farkında olmasak da günlük hayatımızınhemen her alanında kullanılır. Daha sonra birçok örnek vereceğiz.Şimdilik birkaç basit örnek verelim.

106 5 Çizge Kuramına GirişcdbeahfgŞekil 5.4: Sekiz takımlı bir futbolliginde birbirleriyle en az birkez karşılaşan takımları gösterençizge.Mesela 8 takımdan oluşan bir futbol ligini düşünelim. Ligbaşladıktan birkaç hafta sonra, diyelim ki üç hafta sonra, butakımlardan bazıları birbirleriyle karşılaşacak, bazıları ise daha karşılaşmamışolacaktır. İşte köşe noktaların kümesini futbol takımları, kenarlarınkümesini de birbirleriyle en az bir kez karşılaşan takımlara karşılıkgelen köşe noktaları arasına çizeceğimiz çizgiler olarak alırsak, bir çizgeelde ederiz (Şekil 5.4).Yani, iki futbol takımı birbiriyle en az bir kez karşılaşmışsa,bu iki takımı temsil eden noktalar arasına bir çizgi çiziyoruz.O zaman çizgeye bakıp hemen birbirleriyle en az bir kez karşılaşanve henüz karşılaşmamış takımları söyleyebiliriz. Örneğin,a köşe noktası ile gösterilen futbol takımı, b, c ve d ile gösterilenfutbol takımlarıyla karşılaşmışken, e, f , g ve h ile gösterilen futbol takımlarıyladaha karşılaşmamış.dcbBir başka örnek verecek olursak: Yedi kişilik bir davette birbir-leriyle tokalaşan kişiler de bir çizgeyle kolayca gösterilebilir.Köşe noktalarının kümesi davete katılanlar, kenarların kümesi de birbirleriyletokalaşmış iki kişi arasına çizilen çizgiler (Şekil 5.5).efgaHocam e ile gösterilen kişi oldukça önemli birisi galiba. Baksanızaherkes onunla tokalaşmış.Şekil 5.5: Yedi kişinin bulunduğubir davette birbirleriyle tokalaşankişileri gösteren çizge.Çok güzel Selçuk, çizgeye bakıp birçok yorum yapılabilir. PınarHoca’nın tokalaşma ile ilgili örneğini düşünelim. Herkesinkaçar kişi ile tokalaştığını hemen söyleyebiliriz.Elbette! Her bir köşe noktasından kaç tane kenar çıktığını belirlersek,köşe noktalarına karşılık gelen kişilerin de kaç kişi iletokalaştığını belirlemiş oluruz.

107Çok güzel söyledin Zeynep. Aslında bir köşe noktasından çıkankenar sayısına o köşe noktasının derecesi denir. Tokalaşmaörneğindeki köşe noktalarına bakarsak, a köşe noktasının derecesi3 iken, e köşe noktasının derecesi 6 olur. Çizgedeki bir u köşe noktasınınderecesi d(u) şeklinde gösterilir. Bu gösterimi kullanırsak yinetokalaşma örneğine göre a köşe noktasının derecesi d(a)=3 ve e k ö ş enoktasının derecesi de d(e)=6 olur.Futbol ile ilgili verilen çizgeye bakarsak da d(e)= 2 ved(f)=3 olur.edcPeki arkadaşlar Pınar Hoca’nın tokalaşma örneğine geri dönersek,çizgeye bakıp toplam kaç tokalaşma olmuştur söyleyebilirmisiniz?Çok kolay! Bütün köşe noktalarının derecelerini toplarsak toplamkaç tokalaşma olmuştur buluruz.d(a)+d(b)+d(c)+d(d)+d(e)+d(f)+d(g)= 3+2+2+3+6+2+2=20baŞekil 5.6: a köşe noktasındançıkan kenar sayısı 4 olduğundana köşe noktasının derecesi 4, bve e köşe noktalarının derecesi2, c ve d köşe noktalarının derecesiise 3 olan bir çizge örneği.olduğundan 20 tokalaşma olmuştur.Engin hatalı düşünüyorsun. Tüm köşe noktalarının derecelerinitoplamak yerine sadece kenarları saysan sonucu doğrubulurdun. Eğer köşe noktalarının derecelerini toplarsan sanki e kişisiile f kişisinin tokalaşması ile, f kişisi ile e kişisinin tokalaşması farklıymışgibi iki kere saymış olursun. Halbuki kenarları saysaydın kenarlarkümesi E={ad, ae, af, bc, be, ce, de, dg, ef, eg} olduğundan 10 tokalaşmaolduğunu görürdün.Teorem (El Sıkışma Teoremi)Bir çizgedeki tüm köşe noktalarınındereceleri toplamıçizgedeki kenar sayısının ikikatına eşittir.Böylece çizge kuramının önemli sonuçlarından birine ulaşmışolduk. Bir çizgedeki tüm köşe noktalarının derecelerinintoplamı çizgedeki kenar sayısının iki katına eşittir.O zaman bir çizgedeki tüm köşe noktalarının derecelerinintoplamı çift sayıdır.Bir çizgedeki tüm köşe noktalarınınderecelerinin toplamıçift sayıdır.

108 5 Çizge Kuramına GirişBir çizgede derecesi tek olanköşe noktalarının sayısı çifttir.Hatta şunu da söyleyebiliriz. Madem tüm köşe noktaların derecelerinintoplamı çift sayı, herhangi bir çizgede derecesi tekolan köşe noktalarının sayısı da çift olmak zorundadır. Gerçekten de derecesitek olan noktalardan tek sayıda olsaydı, bunların derecelerinintoplamı tek sayı olurdu. Diğer yandan dereceleri çift olan köşe noktalarınınderecelerinin toplamı çift sayıdır. Ancak tek ve çift sayıların toplamıtek edeceğinden, bütün köşe noktalarının derecelerinin toplamı bir teksayı olurdu. Oysa böyle olmadığını, bu toplam derecenin çift olduğunubiliyoruz.Çok güzel arkadaşlar! Şimdi söyler misiniz, sadece 6 kişininkatıldığı bir davette, davete katılanlardan üçünün ikişer, üçününde üçer kişi ile tokalaşması mümkün müdür?Yani, 6 köşe noktası olan bir çizgenin tüm köşe noktalarınındereceleri 2, 2, 2, 3, 3 ve 3 olabilir mi diye soruyorsunuz. Derecesitek sayı olan üç tane köşe noktası var. Oysa derecesi tek sayı olançift sayıda köşe noktası olması gerekiyordu. Yani böyle bir durum mümkünolamaz.Hocam benim aklım futbol takımları ile ilgili verdiğiniz örnektekaldı. Lig bittiğinde bütün takımlar birbirleriyle en azbir kez karşılaşmış olacaklar. O zaman bu takımları temsil eden tümcköşe noktaları arasında bir kenar olmayacak mı?dbehfgŞekil 5.7: Lig bittiğinde tüm futboltakımları birbirleriyle karşıla ş m ı ş o l a ğından c a K 8 tam çizgesielde edilir.aHaklısın Selçuk, tüm köşe noktaları arasında bir kenar olacak.Aslında bir çizgenin herhangi iki köşe noktası arasında birkenar varsa, bu tür çizgelere tam çizge denir. Köşe noktalarının sayısı nolan bir tam çizge K n simgesiyle gösterilir.bbbca caacddeŞekil 5.8: K 3 , K 4 ve K 5 tam çizgeleri.

Königsberg Köprüleri 109Pınar Hocam konular zorlaşıyor, acaba toplanıp sizde mi çalışsak.Baksanıza, Zeynep hariç herkesin size tek otobüsle gelmesimümkün.Neden olmasın Selçuk. Ne de olsa Zeynep hariç hepinizlekomşuyuz. Evlerimiz yan yana olmasa da bizim durumu yansıtançizgeye göre (Şekil 5.9) komşuyuz.Bir çizgenin u ve v gibi iki köşe noktası arasında bir kenarvarsa, bu noktalara komşu noktalar denir. Buna göre Şekil 5.9gzeile verilen çizgede p köşe noktasının komşu noktaları e, g, s ve m iken,m köşe noktasının komşu noktaları p ve s olur.psKönigsberg KöprüleriArkadaşlar, çizge kuramına ait belki de en eski sonuç 18. yüzyıldaLeonhard Euler tarafından keşfedilmiştir. Bu sonuç Königsberg(şimdiki adıyla Kaliningrad)’de yaşayan halkın ortaya attığı birsoru üzerine elde edilmiştir.mŞekil 5.9: Kişilerin evlerini vebu evler arasında tek otobüs ileulaşımın mümkün olup olmadığınıgösterir diyagram.Königsberg şehri, Pregel nehrinin kolları ile dört farklı bölgeyeayrılmaktaydı ve nehrin üzerinde yer alan yedi köprüylede bu bölgeler birbirine bağlanmaktaydı (Şekil 5.10).10-10 1 2 3 4 5Şekil 5.10: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdığı bölgeleri ve bu bölgeleri birbirinebağlayan köprüleri gösteren kroki.Gökçe, söyle bakalım. Her köprüden bir kez geçerek bu şehirdebir gezinti yapmak mümkün mü?

110 5 Çizge Kuramına GirişTüm köprülerden geçilecek, ama sadece bir kez. . . Hocam hemensöyleyemeyeceğim, birkaç deneme yapmam lazım.Gökçe istersen işleri kolaylaştırmak için bölgeleri a, b, c, dşeklinde, köprüleri de 1,2,...,7 diye adlandıralım (Şekil 5.11).1b1 2 30a 4 d0 1 2 3 4 5-17 6 5c-2Şekil 5.11: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdığı bölgelerin ve nehrin üzerindeki köprülerinadlandırılışı.O zaman a bölgesinden başlıyorum ve 4 numaralı köprüyükullanarak d bölgesine geçiyorum. Sonra, 5 numaralı köprüdenc bölgesine geçiyorum. Şimdi de 6 numaralı köprüyü kullanaraktekrar a bölgesine geliyorum. Şimdi kesinlikle 7 numaralı köprüyü kullanmamalıyımaksi halde c bölgesiyle bağlantılı tüm köprüleri kullandığımiçin c bölgesinde sıkışır kalırım. Bu yüzden 2 numaralı köprüyleb bölgesine geçiyorum. Şimdi ya 1 ya da 3 numaralı köprüyü kullanmalıyım.Eğer 3 numaralı köprüyü kullanırsam d bölgesiyle bağlantılıtüm köprüler kullanılmış olacağından d bölgesinde sıkışıp kalacağım. Oyüzden 1 numaralı köprü ile a bölgesine geçiyorum. a bölgesiyle bağlantılıkullanılmayan tek köprü 7 numaralı köprü olduğu için 7 numaralıköprü ile c bölgesine geçiyorum. Bu durumda c bölgesi ile bağlantılıtüm köprüler kullanıldığından ve her köprü bir kez kullanılacağı için cbölgesinden çıkmak mümkün değil. Ne yazık ki 3 numaralı köprü hiçkullanılmamış oldu.a 4 → d 5 → c 6 → a 2 → b 1 → a 7 → cYok hocam ben bulamayacağım.

Königsberg Köprüleri 111Gökçe yanlış yerden başlarsan tabii bulamazsın. Bak şimdi,ben nasıl bulacağım. Ben c bölgesinden başlıyorum ve 5 numaralıköprüyle d bölgesine geçiyorum. Sonra 4 numaralı köprüyle abölgesine geliyorum. Daha sonra 2 numaralı köprüyle b bölgesine, buradan3 numaralı köprüyle de d bölgesine ve. . . Eyvah! d bölgesinintüm köprülerini kullanmışım. d bölgesinde hapis kaldım.c→ 5 d→ 4 a→ 2 b→ 3 dHocam ben de bulamadım. En iyisi cevabı siz söyleyin. Hangi yolu takipedeceğiz?Arkadaşlar aslında böyle bir gezintinin yapılması mümkün değil.Mete Hoca sizi biraz uğraştırdı ama başka türlü de problembu kadar anlaşılır hale gelmezdi. Şimdi neden böyle bir gezinti yapmanınmümkün olmadığını anlamaya çalışalım. Böyle bir gezinti varolsa ve a bölgesinden başlamasa bu gezinti mutlaka a bölgesine uğrayacakdeğil mi?Evet hocam uğramak zorunda. Her köprüden bir kez geçileceğinegöre ve a bölgesiyle bağlantılı beş tane de köprü olduğunab11 2 3göre bu gezinti a bölgesine uğramalı. 4 d0 1 2 3 4 5Zeynep çok güzel. O zaman a bölgesinden başlamayan veher köprüden bir kez geçen bu gezinti mutlaka a bölgesineuğrayacak.Ş i m d ia bölgesiyle bağlantılı beş köprüden birini a bölgesine gelmekiçin kullandık. Diğer dört köprünün de kullanılması gerekeceğine görebiriyle a bölgesinden ayrılacağız, kalanlardan biriyle tekrar a bölgesinegeleceğiz, tekrar ayrılacağız ve tekrar geldiğimizde a bölgesiyle bağlantılıtüm köprüleri kullanmış olacağız.O zaman a bölgesinden başlamayan ve her köprüden bir kez geçenbir gezinti varsa bu gezinti a bölgesinde bitmeli.0a-17 6 5c-2

112 5 Çizge Kuramına GirişAma hocam bir hata olmalı. Sizin mantığınıza göre b bölgesindenbaşlamayan ve her köprüden bir kez geçen bir gezintide mutlaka b bölgesine gelmeyecek mi? b bölgesiyle bağlantılı olan üçköprü var. Birisini b bölgesine ulaşmak için kullandık. Diğer ikisiyle deb bölgesinden ayrılıp, tekrar b bölgesine geleceğiz. Başka da köprü olmadığındanb bölgesinde durmak zorundayız.Yani, b bölgesinden başlamayan ve her köprüden bir kez geçen birgezinti b bölgesinde biter.Selçuk aynısı c bölgesi için de oluyor. Yani, c bölgesinde başlamayanve her köprüden bir kez geçen bir gezinti c bölgesindebitiyor. Bu sefer Pınar Hoca hatalı galiba.Arkadaşlar sizi tebrik ediyorum. Çok güzel bir keşif yaptınız,gerçekten de a bölgesinden başlamayan böyle bir gezinti abölgesinde bitmeli. Aynı zamanda b bölgesinden başlamayan bu şekildekibir gezinti b bölgesinde de bitmeli. Hatta, c bölgesinden başlamayanbu tür bir gezinti c bölgesinde de bitmeli. Kontrol etmek hiç de zordeğil aynı şekilde d bölgesinden başlamayan böyle bir gezinti d bölgesindede bitmelidir. Bunun sebebi her bölge ile bağlantılı olan köprülerinsayısının tek olmasıdır.O zaman, örneğin, b bölgesinden başlayan bu tür bir gezinti hem a,hem c hem de d bölgesinde bitmeli. Bu ise olanaksız. Buradan çıkaracağımızsonuç böyle bir gezintinin mümkün olmadığıdır.Peki hocam başka bir şehir verilse ve böyle bir gezinti var mıdırdiye sorulsa, vardır ya da yoktur demenin daha kolay bir yoluyok mu?Var tabii Selçuk. Bunun için önce bu konunun çizgelerle olanilişkisini verelim. Verilen krokideki bölgeleri köşe noktaları,bölgeler arasındaki köprüleri de kenarlar olarak düşünürsek bir çizgeelde ederiz (Şekil 5.12).

Königsberg Köprüleri 1131b1 2 3b0-1-2a 4 d0 1 2 3 4 57 6 5cacdŞekil 5.12: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdığı bölgeleri gösteren kroki ve bu krokiyekarşılık gelen çizge.Şimdi gezintimizi çizgenin kenarlarını kullanarak bu çizgeüzerinde yapabiliriz. Örneğin, a köşe noktasından d köşe noktasınabu iki noktayı birleştiren kenar üzerinden gidip sonra da d k ö ş enoktasından c köşe noktasına bu köşe noktalarını birleştiren kenar üzerindengidersek, a köşe noktasından c köşe noktasına a→d→c ş e k -linde bir gezinti yapmış oluruz.abcdO zaman her köprüden bir kez geçen bir gezinti aramak yerineher kenardan bir kez geçen bir gezinti arayacağız.Güzel! Şimdi çizgede her kenardan bir kez geçen bir gezintiolsa ve bu gezinti nereden başlarsa başlasın bir köşe noktasınagelip, bu köşe noktasından ayrılsa, bu köşe noktasından çıkan kenarlardanikisini kullanmayacak mı? Hatta bu köşe noktasından çıkançok sayıda kenar varsa, gezinti bu köşe noktasına çok defa uğrayıp ayrılabilir.O zaman bir köşe noktasına gelip, bu köşe noktasından ayrılmakiçin her seferinde bu köşe noktasından çıkan iki yeni kenara ihtiyacımızvar. Bir köşe noktasından çıkan kenar sayısına bu köşe noktasınınderecesi demiştik. O halde gezintide uğrayıp ayrıldığımız tüm köşe noktalarınınderecelerinin çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.Peki hocam ya uğrayıp da oradan ayrılmıyorsak? Yani, gezintininbittiği köşe noktaları ne olacak? Onların da dereceleri teksayı mı olmalı?Selçuk eğer gezintinin bittiği köşe noktası gezintinin başladığıköşe noktasından farklıysa, evet, gezintinin bittiğ i k ö ş enoktasının derecesi tek sayı olmalıdır.

114 5 Çizge Kuramına GirişŞöyle düşünelim: Köşe noktasına geldik ve ayrılabileceğimiz bir başkakenar daha olmadığından durduk. Yani köşe noktasından ayrılmadığımıziçin, köşe noktasının kenarlarından birini kullandık. Bu durumdaister daha önce bu noktaya gelip bu noktadan ayrılmış olalım, ister ilkkez bu noktaya geliyor olalım, bu noktanın derecesi tek sayı olur.Aynı şey gezintinin başladığı köşe noktası için de geçerlidir. Gezintininbaşladığı köşe noktası gezintinin bittiği köşe noktasından farklıysaonun da derecesi tek sayı olmalıdır.Eğer gezintinin başladığı köşe noktası ile gezintinin bittiği köşe noktasıaynı ise, bu köşeden her çıktığımızda tekrar dönmek zorunda olduğumuzdanbu köşenin de derecesi çift sayı olmalıdır. Yani bu durumdaçizgenin tüm köşe noktalarının derecesi çift sayı olur.Hocam doğru anladıysam “çizgede her kenardan bir kez geçenbir gezinti varsa ve bu gezintinin başlangıç ve bitiş noktalarıfarklıysa o zaman başlangıç ve bitiş noktaları hariç tüm noktalarındereceleri çift sayı, sadece başlangıç ve bitiş noktalarının dereceleri teksayıdır” diyorsunuz.Selçuk, Mete Hoca sadece bunu söylemiyor, “eğer bu gezintininbaşlangıç ve bitiş noktaları aynı ise o zaman çizgenin tümnoktalarının dereceleri de çift sayıdır” diyor.Evet, demek ki bir çizgede her kenardan bir kez geçen birgezinti varsa, iki durum söz konusu olabilir: Ya bütün köşenoktalarının derecesi çifttir, ya da sadece iki köşe noktasının derecesitek olup, diğerlerinin dereceleri çifttir. Bu durumda herhangi bir şehiriçin her köprüden bir kez geçen bir gezinti var mıdır diye sorulsa öncebu şehrin krokisine karşılık gelen çizgeyi oluşturacağız. Sonra da çizgeninköşe noktalarının derecelerine bakacağız. Eğer dereceleri tek olanbköşe noktalarının sayısı ikiden fazlaysa, o zaman böyle bir gezintininolamayacağını söyleyebiliriz.acdŞimdi Königsberg için oluşturduğumuz çizgeye tekrar bakın ve nedenböyle bir gezintinin olmadığını bu anlattıklarımız yardımıyla tekrarifade edin bakalım.

Königsberg Köprüleri 115Hocam Königsberg şehrine karşılık gelen çizgeye göre a k ö ş enoktasının derecesi 5, b köşe noktasının derecesi 3, c köşe noktasınınderecesi 3 ve d köşe noktasının da derecesi 3 olur. Derecesi teksayı olan köşe noktası ya iki tane olmalıydı ya da hiç olmamalıydı. Oysaburada dört köşe noktasının da derecesi tek sayı. O zaman bu çizgededolayısıyla da bu şehirde istenen şekilde bir gezinti yapılamaz.Bu argüman çok güzelmiş. Şimdi çocukken kapalı zarfı nedençizemediğimizi de anladım. Peki hocam, bir çizgede bütünköşe noktalarının derecesi çiftse veya sadece iki köşe noktasının derecesitekse, o zaman her kenardan sadece bir kez geçen bir gezintinin oldu-dKapalı Zarfcğunu söyleyebilir miyiz?abEvet Selçuk, bunu her ne kadar kanıtlamadıysak da öyle birdurumda gerçekten de her kenardan bir kez geçen bir gezintininolduğu gösterilebilir.Arkadaşlar ufak bir uyarı yapmakta da fayda var sanırım. Elbette buanlattıklarımız tek parça olan çizgeler için geçerli. Yani, çizgenin keyfiiki köşe noktasını birleştiren bir gezinti mümkünse, bu sonuçlar geçerlidir.Ayrıca, bu problemde incelediğimiz çizgenin, iki köşe noktası arasındabirden fazla kenar bulunduğundan, basit bir çizge olmadığına daişaret edeyim.Şekil 5.13: Bu çizgede 4 köşenoktasının da dereceleri 3’tür.Dereceleri tek olan nokta sayısıikiden fazla olduğuna göre, buçizge her kenardan bir kez geçerekdolaşılamaz.c bPeki arkadaşlar Şekil 5.14 ile verilen çizgede her kenardanbir kez geçen bir gezinti mümkün müdür?daefHocam hemen çizgenin köşe noktalarının derecelerine bakalım:Şekil 5.14: Çizgede her kenardanbir kez geçen bir gezinti varmıdır?Köşe Noktaları a b c d e fDereceleri 2 4 2 2 2 2Tüm köşe noktalarının dereceleri çift sayı. O zaman her kenardan birkez geçen bir gezinti vardır. Hem de başladığı yerde biter.

116 5 Çizge Kuramına GirişÇok güzel Engin. Örneğin bir gezintiyi şöyle yapabiliriz:b→a→ f→ b→c→d→ e→ b.Açık ZarfeHocam arkadaşlara bir soru da ben sorabilir miyim? Arkadaşlaraçık zarfı kalemi kaldırmadan ve aynı çizginin üzerindenbir daha geçmeden çizebilir misiniz?dacbZeynep ne var ki bunda? Şekli bir çizge gibi düşünsek sadecea ve b köşe noktalarının dereceleri tek sayı, diğerlerinin dereceleriise çift sayı (Şekil 5.16). O zaman her kenardan bir kez geçerek,yani çizgilerin üzerinden bir kez geçerek şekli çizebiliriz. Hatta şekli çizmekiçin a veya b noktalarının birinden başlayıp diğerinde bitirmeliyiz.Şekil 5.15: Bu şekli çizdiğinizçizginin üzerinden bir kez dahageçmeden ve kalemi kaldırmadançizebilir misiniz?Düzlemsel ÇizgeleredacbArkadaşlar şimdi de gelin şu basit problemi inceleyelim: Ş e -kil 5.17 ile verildiği gibi üç ev ve bu evlerin karşısında dadoğal gaz, elektrik ve su kaynakları yer alsın. Her bir evi bu üç kaynağada bağlamak istiyoruz ama tehlike yaratmasın diye bu bağlantıların birbirlerininaltından ya da üstünden geçmesini istemiyoruz. Bu bağlantılaryapılabilir mi?Şekil 5.16: Sadece a ve b k ö ş enoktalarının dereceleri tek sayıolduğundan Şekil 5.15 ile verilenşekil istendiği gibi çizilebilir.?Şekil 5.17: Evler ve karşılarında yer alan doğal gaz, elektrik ve su kaynakları.

Düzlemsel Çizgeler 117Pınar Hoca isterseniz bu sefer arkadaşları boşuna uğraştırmayalım.Arkadaşlar, evlerin bağlantılarının istenen şekilde yapılmasımümkün değil. Neden mümkün değil anlatmadan önce birkaçkavramdan söz etmek lazım. Eğer bir çizge düzlemde kenarları birbiriylekesişmeyecek şekilde çizilebiliyorsa, bu çizgeye düzlemsel çizge denir.Şimdi bazı düzlemsel çizgeleri ele alalım. Bu çizgeler en dı ş a -rıda kalan bölge ile birlikte düzlemi bazı bölgelere ayıracaktır.Gelin bu bölgelerin sayılarına bakalım. Çizgenin belirlediği bu bölgelerinsayısını b ile gösterelim. Ayrıca çizgelerin kenar (ayrıt) sayısını a veköşe noktalarının sayısını da k ile gösterelim.cbdbacab=4, a= 6, k=4 b=6, a= 10, k= 6 b=5, a=9, k=6b: bölge, a: ayrıt (kenar), k: k ö ş eŞekil 5.19: Bazı düzlemsel çizgeler ve düzlemde belirlediği bölgeler.dŞekil 5.18: K 4 tam çizgesinikenarları birbiriyle kesişmeyecekşekilde çizebildiğimizdenK 4 düzlemsel bir çizgedir.Bu çizgelerin düzlemde belirlediği bölgelerle, çizgelerin köşenoktalarının ve kenarlarının sayısı arasında bir bağıntı var. Bubağıntıyı fark edebildiniz mi?Hepsinde de bölgelerin sayısıyla köşe noktaların sayısını toplayıncakenar sayısından iki fazla çıkıyor.Evet Selçuk, önceden bilmiyor idiysen, büyük bir gözlem yaptın.Böylece Euler formülü olarak adlandırılan formülü ifadeetmiş oldun.Teorem Düzlemsel tek parça bir çizgede çizgenin düzlemde belirlediği bölgelerinsayısıyla çizgenin köşe noktalarının sayısının toplamı, çizgenin kenarsayısından iki fazla olur. Yanibölge sayısı+köşe noktalarının sayısı=kenar sayısı+2Şekil 5.20: Düzlemsel çizgelerelektronik devre tasarımındaönemli rol oynar.e ş i t ği l i geçerlidir.

118 5 Çizge Kuramına GirişMete Hocam, K 4 tam çizgesinin düzlemsel olduğunu söyledi-cbniz. Acaba tam çizgelerin hepsi düzlemsel mi? Mesela K 5 tamçizgesini de kenarları kesişmeyecek şekilde düzlemde çizebilir miyiz?adeŞekil 5.21: K 5 tam çizgesinin 10kenarı vardır.Engin, Euler formülünü kullanarak K 5 tam çizgesinin düzlem-sel çizge olmadığını görebiliriz. Önce söyler misiniz K 5 tamçizgesinin kaç kenarı vardır?Hocam K 5 tam çizgesinin 10 kenarı vardır. Nasıl buldun derseniztek tek saydım.Gökçe çok güzel. Ayrıca, K 5 tam çizgesinin 5 noktası olan tekparça bir çizge olduğunu da biliyoruz. Bu çizgenin 10 tanekenarı olduğunu da siz söylediniz. Eğer K 5 tam çizgesi düzlemsel birçizgeyse Euler formülünü sağlamalı, öyle değil mi? Böylecebölge sayısı+köşe sayısı=kenar sayısı+2yani b+5=10+ 2 e ş i t ğinden l i bölge sayısı b=7 olmalıdır.cdcbebaSon olarak K 5 tam çizgesinin, düzlemsel olması durumunda,düzlemde belirlediği bölgeleri düşünelim. Her bölge için enaz 3 kenar lazım. Diğer taraftan her kenar da 2 farklı bölgenin sınırınıoluşturuyor. Yani, kenar sayısının iki katı en az bölge sayısının üç katıkadar olmalı. Bunu bir eşitsizlikle yazacak olursak, 2a≥3b ya da a≥ 3b2elde ederiz.deaAma Mete Hocam K 5 tam çizgesi için bulduğumuz sayıları bueşitsizlikte yerine yazarsak, 10≥ 3·7 yani 10≥10,5 gibi hatalı2bir sonuç çıkıyor.Şekil 5.22: K 5 tam çizgesi düzlemseldeğilken, K 5 tam çizgesininbir kenarı çıkarılarak eldeedilen çizge düzlemseldir.Haklısın Selçuk. Demek ki K 5 tam çizgesinin düzlemsel birçizge olmadığını buradan hemen söyleyebiliriz.

Düzlemsel Çizgeler 119Ama K 5 tam çizgesinin bir kenarını çıkararak elde edilen çizgedüzlemseldir (Şekil 5.22).Hocam başta sorduğunuz problemin çözümünü anlatacaktınız.Neden evleri bağlantılar birbirleriyle kesişmeyecek şekildebağlayamıyoruz?dcbagfeSelçuk, evlerle ilgili çizdiğimiz çizge özel bir çizgedir. Bu türçizgelere iki kümeli çizge denir. Tam bir tanım yapmak gerekirsebir çizgenin köşe noktaları, aynı kümenin herhangi iki köşe noktasıarasında kenar olmayacak şekilde A ve B gibi iki kümeye ayrılabiliyorsa,bu tür çizgelere iki kümeli çizge denir (Şekil 5.23).Ş i m d iK 5 tam çizgesinin düzlemsel olmadığını nasıl gördüysekaynı şekilde evlerle ilgili çizdiğimiz K 3,3 tam çizgesininde düzlemsel olmadığını siz kendiniz görebilirsiniz. Bir yol göstermeyapacak olursam, bu durumda bölgeler üç değil en az dört kenar ilesınırlandırılıyor.Hocam zor soruları da hep ödev olarak veriyorsunuz.Şekil 5.23: A={a, b, c, d} veB={e, f , g} olmak üzere iki kümelibir çizge örneği.baŞekil 5.24: İki kümeli bir tamçizge. Bu çizge K 2,2 ile gösterilir.cbaŞekil 5.25: İki kümeli bir tamçizge. Bu çizge K 3,3 ile gösterilir.21321Selçuk madem öyle sana kolay bir soru sorayım. Bir küpünkaç yüzü, kaç ayrıtı ve kaç köşesi vardır?ba321Gerçekten de beklediğimden kolay bir soru oldu. Küpün 6yüzü, 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır.Şekil 5.26: İki kümeli bir tamçizge. Bu çizge K 2,3 ile gösterilir.Çok güzel. O zaman şimdi de kübün yüz sayısı ile köşe sayısınıtoplayınca ne çıkıyor?Hemen toplayayım. 6+8=14 oluyor. Yani, ayrıt sayısının ikifazlası çıkıyor. Bu bir kural mı yoksa tesadüf mü?Şekil 5.27: Bir üçgen prizmanın5 yüzü, 9 ayrıtı ve 6 köşesi vardır.

120 5 Çizge Kuramına GirişBir üçgen prizma alsak, 5 yüzü, 9 ayrıtı ve 6 köşesi var. Yineyüzlerinin sayısı ile köşe sayısını toplayınca ayrıt sayısının ikifazlası çıkıyor.Şekil 5.28: 1970 yılında Meksika’daoynanan dünya kupasınınresmi topu.Arkadaşlar, prizma, piramit gibi hangi konveks çokyüzlü cismialırsanız alın, yüzlerinin sayısı ile köşelerinin sayısının toplamıayrıtlarının sayısının iki fazlasını verir. Yani Euler’in formülünü“yüzlerin sayısı+köşelerin sayısı=ayrıtların sayısı+2” şeklinde de ifadeedebiliriz.Mete Hocam siz daha iyi bilirsiniz. Şimdi üzerine çeşitli desenleryapsalar da eskiden futbol topları beyaz altıgenler ve siyahbeşgenlerden oluşuyordu. Bu topların ayrıt sayılarını da bu formülle bulabilirmiyiz?Şekil 5.29: Düzgün 20 yüzlü.Selçuk aslında futbol topu bir düzgün 20 yüzlünün köşeleriuygun şekilde kesilerek elde edilebilir. Bu durumda senin dedediğin gibi 12 düzgün beşgen ve 20 düzgün altıgen ortaya çıkar. Bucismin 12+20=32 yüzü olduğunu biliyoruz. Ayrıca 60 köşesi olduğunubulmak da çok zor değil. Köşeleri traşlarken 12 köşenin herbiri 5k ö ş e d oğurdu. O zaman Euler formülünden 32+60= a+2 yazıp, ayrıtsayısının 90 olduğunu bulabiliriz.Şekil 5.30: 3 Köşesi kesilmişyirmiyüzlü.Çizgeleri BoyamakSelçuk nasıl gidiyor senin akvaristlik?Hayırlı olsun Selçuk. Artistliğe mi başladın? Hiç de haberimizolmadı.Şekil 5.31: 12 düzgün beşgen ve20 düzgün altıgenden oluşan birfutbol topu.Gökçe artistlik değil, akvaristlik! Yani akvaryumculuk.

Çizgeleri Boyamak 121Mete Hocam akvaryumculuk iyi gidiyor. Akvaryumumda MalaviGölü’ne özgü Sarı Prenses (Labidochromis caerulus) türübalıklar var. Daha fazla çeşit balık yetiştirmek isterdim ama çoğu türaynı akvaryumda birbirleriyle uyumlu yaşamıyor. Bende de bir akvaryumolduğundan sadece bir çeşit balık yetiştirip balıkları riske atmakistemedim.O zaman arkadaşlar gelin Selçuk’a yardım edelim. Diyelim ki6 çeşit balık yetiştirmek istiyoruz. Bu balık türlerinin birbirleriyleuyumları da Tablo 5.1 ile verilmiş olsun. Söyleyin bakalım: Balıklarınbirbirleriyle uyum içinde yaşayabilmesi için en az kaç akvaryumaihtiyacımız var?Konumuz çizgeler olduğuna göre soruyu bir şekilde çizgelerleilişkilendirmemiz lazım. Bence balıklar kesinlikle çizgeninköşe noktaları olacak. Ama kenarlar?a b c d e fa ✓ ✗ ✓ ✓ ✗ ✗b ✗ ✓ ✗ ✓ ✗ ✓c ✓ ✗ ✓ ✗ ✗ ✓d ✓ ✓ ✗ ✓ ✗ ✓e ✗ ✗ ✗ ✗ ✓ ✗f ✗ ✓ ✓ ✓ ✗ ✓Tablo 5.1: Altı çeşit balık ve bubalıkların birbirleriyle uyumunugösteren tablo (✓: uyumlu, ✗:uyumsuz).Zeynep, ben yardımcı olayım. Eğer iki balık türü uyumlu değilse,bu balık türlerine karşılık gelen köşe noktaları arasınabir çizgi çizelim. Böylece bir çizge elde etmiş oluruz (Şekil 5.32).Şimdi balıklarımızı akvaryumlara yerleştirmeye başlayalım.İlk akvaryumumuza mavi akvaryum diyelim ve a köşe noktasıylagösterdiğimiz balığı bu mavi akvaryuma koyalım.f e da b cŞekil 5.32: Tablo 5.1 ile verilendurumu temsil eden çizge.f e dBu mavi akvaryuma a köşe noktasının komşularını koyamayız.Çünkü a köşe noktasının komşuları a köşe noktasının temsilettiği balıkla uyumlu olmayan balıkları gösteriyor.Çok güzel! Böylece çizgenin tüm köşe noktalarını komşu noktalarfarklı olacak şekilde boyarsak problemi çözmüş oluruz.Elbette altı farklı renk ile her bir noktayı farklı renge boyamak, yaniher bir balık türünü ayrı bir akvaryuma koymak da mümkün. Ama bizakvaryum sayısının en az olduğu çözümü arıyoruz.a b cŞekil 5.33: Şekil 5.32 ile verilençizgenin komşu köşe noktalarıfarklı renklerde olacak şekilde boyanmışhali.

122 5 Çizge Kuramına GirişÇizgemizin köşe noktalarını komşu noktalar farklı renklerdeolacak şekilde üç renk kullanarak boyayabiliriz. Tabii hemensorabilirsiniz, iki renk kullanarak da boyayamaz mıyız diye. Çizgede üçgenlerolduğuna ve komşu köşe noktalar farklı renklerde olacağına göreiki renk yeterli olmaz (Şekil 5.33).O zaman sadece üç akvaryum yeterli. a ve c balıkları bir akvaryumda,b, d ve f balıkları diğer akvaryumda, e balığı dakendi başına bir başka akvaryumda. . .Çizgeleri böyle boyamak kimin aklına geldiyse gerçektenbravo!Harita Boyama.—Harita boyamada, mümkün olduğunca az renk kullanarakfarklılaştırma arzu edilirken aynı zamanda da bitişik olan bölümlerin aynırenkte olması istenmez. Deneyerek bu amaç için gerekli ve yeterli renk sayısınındört olduğunu buldum ancak bunu bölge sayısı beşi geçen durumlar içinkanıtlayamıyorum. Bu görünüşte basit ve herhangi bir matematiksel çalışmadakarşılaşmadığıma şaşırdığım önermenin genel bir kanıtını görmek (ya da neredebulabileceğimi bilmek) istiyorum.F.G.Şekil 5.34: 10 Haziran 1854 tarihli Athenæum dergisinde yayımlanan bir mektup.Şekil 5.35: Ortak sınırı olan ülkelerinfarklı renklerde olduğu birharita.Engin aslında bu boyama meselesi çizgelerden önce haritalarıboyamakla başlamış. Bilirsiniz, siyasi haritalarda k o m ş uülkeler farklı renklerde gösterilir. Francis Guthrie adlı bir matematikçi1850’li yıllarda haritaların komşu ülkeler farklı renklerde olacak şekildesadece dört renk kullanılarak boyanabileceği tezini ortaya atmış. DörtRenk Problemi olarak bilinen bu problem uzunca bir süre matematiğinçözülemeyen problemleri arasında kalmış. Ancak 1976 yılında KennethAppel ve Wolfgang Haken isimli matematikçiler bilgisayarın da yardımıylabu iddiayı kanıtladılar.

Çizgeleri Boyamak 123İyi de hocam haritayla çizge arasında ne ilişki var?Selçuk birincisi, haritayı bir çizge gibi de düşünebiliriz: Sınırlarınkesişim noktaları çizgenin köşe noktaları, sınır çizgileride çizgenin kenarları (Şekil 5.35 ve Şekil 5.36). İkinci olarak, siyasi birülkeler haritası alalım ve her ülkeden (bölgeden) bir şehir seçelim. Meselabaşkentleri seçebiliriz. Sonra, ortak sınırı olan ülkelerin başkentlerinisınırı bir kez kesecek şekilde bir çizgiyle birleştirelim. Bu çizgiyi debaşkentler arasındaki bir demiryolu gibi düşünebilirsiniz.Şekil 5.36: Şekil 5.35 ile verilenharitaya karşılık gelen çizge.Böylece köşe noktaları ülkelerin başkentleri, kenarları da bubaşkentler arasındaki demiryolları olan yeni bir düzlemselçizge elde ederiz. Bu çizgeye haritayı temsil eden çizgenin eşlek (dual)çizgesi denir (Şekil 5.37).O zaman eşlek çizgeyi komşu noktalar farklı olacak şekildeboyayabilirsek, haritayı da komşu ülkeler farklı olacak şekildeboyamış oluruz.Şekil 5.37: Şekil 5.36 ile verilençizgenin eşlek çizgesi.Haritayı boyamak zor da çizgeyi boyamak kolay mı? Nedenharitayı çizgeye dönüştüreceğiz diye uğraşıyoruz?Selçuk elimizde çizgeler için çok kullanışlı bazı sonuçlar var.Mesela, bir çizgenin tüm köşe noktalarının derecesi en fazla dise bu çizgenin köşe noktalarını komşu noktalar farklı renklerde olacakş e k i l d ed+ 1 renk ile boyayabiliriz.En önemlisi az önce de sözünü ettiğimiz Dört Renk Teoremi:Her düzlemsel çizgenin köşe noktaları komşu noktalar farklırenklerde olacak şekilde dört renkle boyanabilir.Teorem (Brook, 1941) Birçizgenin tüm köşe noktalarınınderecesi en fazla d isebu çizgenin köşe noktaları,komşu noktalar farklı renklerdeolacak şekilde d+ 1renk ile boyanabilir.Teorem (4–Renk) Her düzlemselçizgenin köşe noktalarıkomşu noktalar farklırenklerde olacak şekilde dörtrenkle boyanabilir.

124 5 Çizge Kuramına GirişAğaçlarHocam elektrik direkleri ve bu elektrik direkleri arasındaki tellerde bir çizge oluşturur değil mi?Elbette Gökçe, direkler çizgenin köşe noktaları, bu direklerarasındaki teller de çizgenin kenarları olarak düşünülebilir.Peki Gökçe diyelim ki bizler evlerimiz arasında özel bir haberle ş m e ăgı kurmak istiyoruz. Bunun için de evlerimiz arasınakablo döşeyeceğiz. Bu durumu yansıtan çizgelerden birkaç tanesini çizebilirmisin?s z ge m pŞekil 5.38: Evler ve evler arasındakikablo bağlantılarını gösterenbir çizge.e p gms zŞekil 5.39: Evler ve evler arasındakikablo bağlantılarını gösterençizge.Elbette çizebilirim. Yine hepimizin evini çizgenin köşe noktalarıolarak düşünelim. Ayrıca bir evden bir eve kablo döşendiysebu evleri temsil eden köşe noktaları arasına bir kenar çizelim.Ama herkes birbiriyle haberleşebilmeli. Yani çizgenin keyfi ikiköşe noktasını birleştiren bir gezinti var olmalı. Bir baş k a i f a -deyle çizge tek parça olmalı. Bir de fazladan para harcamamak için birev zaten haberleşme ağına bağlandıysa tekrar ikinci bir bağlantıyla ağabağlanmamalı. O zaman ortaya çıkacak çizge Şekil 5.38 ile verilen gibiolmalıdır.Zeynep neden senin çizdiğin gibi olsun ki? Şekil 5.39 ile verilengibi de olabilir.ezgm p sŞekil 5.40: Evler ve evler arasındakikablo bağlantılarını gösterençizge.Gökçe, Mete Hoca’yı merkeze yerleştirip fazladan not alacağınısanıyorsan yanılıyorsun. Çizge pekala Şekil 5.40 ile verilençizge gibi de olabilir.

Ağaçlar 125Bravo arkadaşlar aslında hepiniz doğru cevap verdiniz. İ ş t ebu tür tek parça çizgelere ağaç denir. Ağaçlar özel tipte çizgelerdir.Ağaçlar üzerinde, kenarlar en fazla bir kez kullanarak yapılangezintilerde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olmaz. Yani, gezintiyebaşladığınız yere geri dönemezsiniz.İsterseniz, bir çizgede kullandığı kenarı bir daha kullanmayanve başladığı yere geri dönen gezintilere kısaca döngü diyelim.Bu durumda ağacı döngü bulundurmayan tek parça çizge şeklindetanımlayabiliriz.Hocam o zaman çizgenin bir noktasından diğer bir noktasınaiki farklı gezinti varsa bu çizgede bir döngü vardır diyebilirmiyiz?Elbette diyebiliriz Zeynep.Arkadaşlar, bir ağaca, sadece var olan köşeleri kullanarak yenibir kenar eklerseniz elde edilen çizgede bir döngü oluşur. Birağaçtan köşelere dokunmadan bir kenar çıkaracak olursanız da kalançizge tek parça olmaz.Hocam herhangi iki ev arasındaki kablo döşeme maliyetini bilseken ucuz haberleşme ağı kaça mâl olur hesaplayabilir miyiz?Selçuk ben de onu düşünüyordum. Ama baksana az önce dörtfarklı ağaç çizdik. Bunlara birkaç tane daha kolayca ekleyebilirim.Tüm mümkün ağaçların maliyetini bulup, sonra en düşüğünü alsakdiyeceğim ama kaç farklı ağaç var ki?Engin ben sana söyleyeyim. Altı tane köşe noktası olan6 4 = 1296 farklı ağaç vardır. Aslında İngiliz matematikçiArthur Cayley n tane köşe noktası olan farklı ağaçların sayısının n n−2olduğunu kanıtlamıştır.Şekil 5.41: İngiliz matematikçiArthur Cayley (1821 –1895).

126 5 Çizge Kuramına GirişEngin 1296 tane ağacın tek tek maliyetini hesaplayıp, sonra endüşük maliyetlisini bulmak biraz zor olmaz mı?aaabcbcbcŞekil 5.42: 3 noktası olan 3 3−2 = 3 farklı ağaç vardır.Evet Gökçe, probleme biraz daha sistematik yaklaşmamız gerekiyor.Bu nedenle en düşük maliyetli yani optimal ağacı bulmakiçin Kruskal Algoritması geliştirilmiştir. Bu algoritmaya göre çizgeninhangi kenarının maliyeti en düşük ise önce o kenar eklenir. Sonrayine en ucuz maliyetli kenar çizgeye eklenir. Sonra diğer kenarlarınen düşük maliyetli olanına bakılır. Eğer bu kenar çizgeye eklendiğindedöngü oluşturmuyorsa, bu kenar da çizgeye eklenir ve bundan sonrakien düşük maliyetli kenara geçilir. Eğer bu kenar çizgeye eklendiğindedöngü oluşturuyorsa bu kenar değil, bu kenar dışındaki en düşük maliyetlikenar eklenerek devam edilir. Belli bir aşamada en düşük maliyetlibirden fazla kenar varsa, hangisini seçeceğimiz sonucu etkilemez.m p g z s em 0 2 1 18 6 15p 2 0 4 10 11 12g 1 4 0 13 14 9z 18 10 13 0 7 16s 6 11 14 7 0 19e 15 12 9 16 19 0Tablo 5.2: Evler arasına kablo döşemeninmaliyetleri.Bu algoritma size biraz karışık gelmiş olabilir. Hemen bir örnekyapalım. Diyelim ki evlerimiz arasına kablo döşeyerekkendimize bir haberleşme ağı oluşturmak istiyoruz. Elbette evlerimizinbirbirine olan mesafesi, evlerimiz arasındaki fiziksel engeller vb. bu işinmaliyetini etkileyecektir. Kabul edelim ki tüm maliyetleri biliyoruz ve bumaliyetler Tablo 5.2 ile verilmiş olsun.Algoritmaya göre en düşük maliyetli kenarı seçmemiz lazım.O zaman önce g ve m noktaları arasına maliyeti 1 olan kenarıçiziyoruz. Sonra, maliyeti en düşük kenar 2 birim maliyeti olan m ve pnoktaları arasındaki kenar. Bundan sonra dikkatli olmak lazım. Kalanlariçinde maliyeti en düşük olan kenar g ve p noktaları arasındaki kenar.Ancak bu kenarı çizersek bir döngü oluşur. O nedenle bu kenarı çizmeyip,m ve s noktaları arasına maliyeti 6 birim olan kenarı çiziyoruz.Böyle devam edersek optimal ağacı elde ederiz (Şekil 5.43).

Ağaçlar 127spspzmzmegegspspzmzmegegspspzmzmegegŞekil 5.43: Kruskal Algoritması ile optimal ağacın elde edilişi.Elde ettiğimiz ağacın tüm kenarlarının maliyetlerini toplarsak,1+2+6+7+9=25çıkar. Yani en az 25 birim maliyetle bu haberleşme ağını kurabiliriz.Arkadaşlar ne yazık ki zamanımız doldu. Bu kısa sürede çizgekuramına ancak bir giriş yapabildik. Umarım bu konu hoşunuzagitmiştir ve konu ile ilgili diğer kaynakları da incelersiniz.ÖzetBu ünitede, son zamanlarda bilgisayar bilimi ve coğrafyadan, sosyolojive mimarlığa, yöneylem araştırması ve kimyadan, genetik ve dilbilimine kadar çok çeşitli alanlarda önemli bir matematiksel araç olarakortaya çıkan çizgeleri tanımladık. Çizge kavramını tanımlandıktansonra çizge kuramının temel kavramlarını verdik. Çizge kuramının belkide ilk ve en önemli sonuçlarından biri olan Königsberg’in köprüleri gibigünlük hayatta karşılaşabileceğimiz birçok problemin çizge kuramınınkavramları ile nasıl ifade edilip çözülebileceğini gördük. Ayrıca basit birharita boyama probleminin çizgelerle olan bağlantısını inceledik. Sonolarak özel tipte bir çizge olan ağaçlar ve optimal ağacın bulunmasıprobleminden söz ettik.

128 5 Çizge Kuramına GirişOkuma ParçasıGezgin Satıcı ProblemiGezgin satıcı problemi’nde (GSP) amaç, bir satıcının, bulunduğu şehirden başlayıp, herşehre sadece bir kez uğradıktan sonra başladığı şehre geri dönen en kısa turu bulmaktır.Herhangi iki şehir arasında bir yol olduğunu ve o yolun uzunluğunu bildiğimizivarsayıyoruz.Görüldüğü gibi, GSP, anlaşılması için matematiksel herhangi bir temel gerektirmeyenbir problemdir. Anlaşılması kolaydır ama çözümü zordur!GSP, çizge kuramı dilinde, şehirlerin noktalarla, şehirlerarası yolların kenarlarla temsiledildiği (yalın) bir çizge üzerinde, en kısa Hamilton turunun bulunmasıdır. Hamiltonturu, bir çizge üzerindeki her noktadan sadece bir kez geçen (dolayısıyla aynı yoldan dasadece bir kez geçen) ve başladığı noktada biten, 19. yüzyılda yaşamış matematikçiWilliam Hamilton’un adıyla anılan turdur.Örneğin n noktadan oluşan bir tam çizge, yani K n tam çizgesi (n-1)!/2 Hamilton turuiçerir.Soru Yandaki çizgede bütün Hamilton turlarını bulun veuzunluklarını hesaplayın. Şehirlerarası uzaklıklar kenarlarınüstünde verilmiştir.Yanıt Verilen çizgede her nokta çifti arasında bir kenarbulunduğu için, bunun bir tam çizge olduğunu hemen belirtelim.Bir tam çizgede, noktaların herhangi bir sırada dizilişi, birHamilton turuna karşılık gelir. Örneğin a şehrini başlangıç noktası kabul edersek,aşağıda verilen (5-1)!/2=12 turu buluruz. Burada en kısa tur için 22 birim uzunluğundadört seçenek vardır. Bu dört turdan herhangi birini, örneğin abecda turunu, bu GSP’ninen iyi çözümü olarak kabul edebiliriz.Tur abcdea abceda abdcea abdeca abecda abedca acbdea acbeda acdbea acebda adbcea adcbeaUzunluk 23 23 24 24 22 22 24 22 23 23 24 22Bu örnekteki çözüm yöntemini izleyerek, GSP için üç adımlık bir çözüm yolugeliştirilebilir.1. Çizgenin tüm Hamilton turlarını bul.2. Her turun uzunluğunu hesapla3. Turlar arasından en kısasını seç.Bu çözüm yöntemiyle, 10 şehir içeren bir GSP için bulunması gereken tur sayısı9!/2=181440’tır. Şehir sayısı 20’ye çıktığında ise bulunması gereken tur sayısı19!/2≈6,08×10 16 ’yı bulur. 25 şehir için GSP problemini bu yolla çözmek isteyen birsatıcının, yaklaşık 3,1×10 23 turu incelemesi gerekir. Eğer satıcı, 25 şehirli bir GSPproblemini, her Hamilton turunu 10 -9 saniyede inceleme kapasitesine sahip birbilgisayarla çözmeye kalkarsa, ancak 10 milyon yıl sonra en kısa turu bulabilir…Bulunan çözüm olmasına çözüm de, çözüm yolunun uygulanması imkânsız…Kaynak:Matematik Dünyası, 2003 Güz Sayısı (Çizgeler Özel Sayısı).

•••••••••••••••••••••••••••Çıkarın Kağıtları 129Çıkarın Kağıtları1. Aşağıdaki çizgelerden hangisi bir ağaçdeğildir?A) • •B) • •D) • • E) • •C) • •2. K 3,3 tam çizgesinin düzlemsel olmadığınıgösteriniz.3. Aşağıdakilerden hangisi verilen çizgede bnoktasının bir komşusu değildir?efd5. Aşağıdaki çizgenin hangi köşe noktasınınderecesi en büyüktür?daec• •A) a B) b C) c D) d E) e6. Bir düzlemsel çizgede, köşe sayısı 5, kenarsayısı 7 ise, bölge sayısı kaçtır?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 67. Aşağıdaki şekilde bir nehrin ayırdığı karaparçaları ve bu kara parçaları üzerindeki köprülerbulunmaktadır. Buna göre her köprüdenbir kez geçen ve başladığı noktaya geri dönenbir gezinti var mıdır?b• • •a b cA) a B) c C) d D) e E) f4. Aşağıdaki çizgenin tüm köşe noktalarıkomşu noktalar farklı renkte olacak şekilde enaz kaç renk ile boyanabilir?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 68. Hangisi bir çizgenin tüm köşe noktalarınınderecelerinin bir dizisi olamaz?A) 1,1,2,2,2 B) 2,2,2,2,2 C) 1,1,1,1,4D) 4,4,4,4,4 E) 1,1,3,3,39. K 4 tam çizgesinin kaç kenarı vardır?A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 810. Aşağıda verilen çizge düzlemsel midir?dac• •b

•••••••••••••••••••130 5 Çizge Kuramına GirişÇözümler1. D seçeneğindeki çizge bir ağaç değildir.Çizgenin a ve c noktalarını birleştirena→ b→c ve a→d→ c gibi bir-d cden fazla gezinti vardır. Yani bu çizgebir döngü içermektedir. Bu nedenleadoğru yanıt D seçeneğidir.• •2. İkiden fazla noktası olan düzlemsel ikikümeli bir çizgenin her bölgesi en az dört kenarile belirlenir. Diğer taraftan K 3,3 iki kümelitam çizgesinin 6 köşe noktası ve 9 kenarı vardır.O zaman K 3,3 tam çizgesi düzlemsel birçizge ise Euler formülünden b+6=9+2 yanibölge sayısı b=5olmalıdır. Her kenarın ikifarklı bölgenin sınırı olduğu da düşünülürse,kenar sayısının iki katının en az bölge sayısınındört katı kadar olması gerektiği sonucuortaya çıkar. Oysa 2·9≥4·5 eşitsizliği doğruolmadığından K 3,3 düzlemsel değildir.3. Verilen çizgede b köşe noktasıyla f köşenoktasını birleştiren bir kenar olmadığından fköşe noktası b köşe noktasının bir komşusudeğildir. O halde cevap E seçeneği olur.4.Çizge, yandaki gibi sadece ikirenk kullanılarak boyanabilir.Bu nedenle doğru yanıt A seçeneğidir.5. Verilen çizgeye göre, d(a)=3, d(b)=3,d(c)=2, d(d)=2ve d(e)=4olduğundanderecesi en büyük olan köşe noktası e olur.Doğru yanıt E seçeneğidir.b6. Verilenler Euler formülünde yerine yazılırsa,bölge sayısı+5=7+2eşitliğinden bölge sayısı 4 bulunur. Doğru yanıtC seçeneğidir.7. Kara parçaları noktalar, köprüler ise bunoktaları birleştiren kenarlar gibi düşünülürsekarşılık gelen çizge aşağıdaki gibi olur.adbcBu çizgede derecesi tek olan nokta olmadığındanistenen gibi bir gezinti vardır.8. Bir çizgenin tüm köşe noktalarının derecelerinintoplamı çift sayıdır. E seçeneğindeverilen dereceler toplamı 11 olduğundan tümköşe noktalarının dereceleri 1,1,3,3,3 olanbir çizge olamaz. Doğru yanıt E seçeneğidir.9. Bir çizgede kenar sayısı tüm köşelerin dereceleritoplamının yarısıdır. K 4 tam çizgesininher köşesinin derecesi 3 ve 4 tane de köşe noktasıolduğundan 4·3 = 6 kenarı olduğu bulunur.Kenar sayısı şekil çizilerek de2bulunabilir.10. Verilen çizgedac• •bveya• •biçiminde çizilebileceğinden, düzlemsel birçizgedir.daabcdcb

Asal Sayılar veModüler Aritmetik 16.MATEMATİK 2ÜNİTE240 gün sonra haftanınhangi gününde oluruz?3ASAL SAYI4ERATOSTHENESKALBURUARALARINDA ASALBİLEŞİK SAYI5MODÜLASAL BÖLENDENKLİK6

132 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikG i r i şMerhaba arkadaşlar! Bugün nasılsınız?Merhaba hocam, biz iyiyiz de elinizdeki bu karolar nedir? İnşaatişiniz mi var?Evet arkadaşlar, evde inşaat var. Ancak bu karoları bugün siziniçin getirdim.Çok merak ettim şimdi. Bu karolarla bugünkü dersimizin neilgisi var?Biraz sabırlı olun bakalım. Elimde, gördüğünüz gibi 12 tanekare şeklinde yer karosu var. Acaba bu karoların tamamınıkullanarak yan yana gelecek şekilde dizersek kaç farklı dikdörtgenselalan oluşturabilirsiniz?Genişliği 3, uzunluğu 4 karodan oluşan bir dikdörtgen oluşturabiliriz.Genişliği 2, uzunluğu ise 6 karodan oluşan başka bir dikdörtgendaha oluşturabiliriz.Genişliği 1, uzunluğu 12 karodan oluşan bir başka dikdörtgenoluşturabiliriz.Peki, elimizde 7 tane karo olsaydı, kaç farklı dikdörtgenselalan oluşturabilirdik?

133Sadece genişliği 1, boyu ise 7 karodan oluşan dikdörtgen oluşturabilirdik.Burada gördüğünüz üzere, 12’yi 3·4, 2·6 veya 1·1 2 ş e k l i n d eparçalayarak yazabilmemize rağmen 7’yi sadece 1·7 ş e k l i n d eyazabildik. Buradan ilham alarak doğal sayıları, ikiye ayırabiliriz: parçalayabildiklerimizve parçalayamadıklarımız. Parçalayamadığımız doğalsayılara asal sayılar, parçalayabildiklerimize de bileşik sayılar diyoruz.Şimdi anlaşıldı bu karoların burada ne işinin olduğu.Matematiksel olarak ifade edersek, 1’den büyük olan ve sadece1’e ve kendisine bölünen doğal sayılara asal sayılar diyoruz.Asal olmayan 1’den büyük tam sayılara da bileşik sayılar diyoruz.Verdiğiniz tanıma göre, asal sayılar 1’den büyük olmalı dediniz.Ancak 1’in 1 ve kendinden başka böleni olmadığına göre1’i neden asal sayı kabul etmiyoruz?Tanım 1’den büyük olan vesadece 1’e ve kendisine bölünendoğal sayılara asal sayıdenir.İlk 10 asal sayı;2,3,5,7,11,13,17,19,23 ve29’dur.Yirminci yüzyılın ortalarına kadar bazı matematikçiler 1’i asalkabul ediyorlardı. Ancak 1’i, asal olarak ele aldığımızda bazıteoremlerde değişiklik yapılması gerekir. Örneğin, daha sonra ifade edeceğimizAritmetiğin Temel Teoremi, 1’in asal sayı alınması ile geçerliliğinikaybeder. Bundan dolayı 1’i asal olarak kabul etmiyoruz.Asal sayı tanımını açıklığa kavuşturduğumuza göre, asal sayılaraörnekler verin bakalım.En küçük asal sayı 2 olup daha sonraki asal sayı 3’tür. Çünkü3, sadece 1’e ve 3’e bölünür.5 sayısı, sadece 1’e ve 5’e bölündüğünden asaldır.

134 6 Asal Sayılar ve Modüler Aritmetik7 sayısı da sadece 1’e ve kendisine bölündüğü için asaldır.Bileşik sayılara örnekler verebilir misiniz?Tanım 1< a

135Hocam, bu da nereden çıktı?Bu konuyu şifreleme ünitemizde konuşuruz. Şimdi biraz enbüyük ortak bölen ve en küçük ortak kat hesabı yapalım.Hocam bir dakika! Ben, en büyük ortak bölen ve en küçükortak katın ne demek olduğunu hatırlamıyorum.Hatırlamaya gerek yok ki Selçuk! Adı üstünde. En büyük ortakbölen; iki sayıyı bölen sayıların en büyüğüdür. En küçük ortakkat ise iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür.Teşekkürler Zeynep. Adı güzel konmuş kavramlar işte böylekendilerini hatırlatırlar. Şimdi, 8 ile 12’nin en büyük ortakbölenini ve en küçük ortak katını hesaplayalım:8 sayısını bölen doğal sayılar : 1, 2, 4 ,8ve 12 sayısını bölen doğal sayılar : 1, 2, 3, 4 , 6, 12dir. Bu iki sayıyı da bölen doğal sayılar ise; 1, 2 ve 4 olup, ortak bölenleriçinde en büyük olan 4’tür, yani bu sayıların en büyük ortak böleni 4’tür.Bunu ebob(8,12)=4 şeklinde gösteririz.Şimdi de 8 ile 12’nin en küçük ortak katını bulalım:8 sayısının pozitif tam katları : 8, 16, 24 , 32, 40, ...12 sayısının pozitif tam katları : 12, 24 , 36, 48, 60, ...Tanım a ve b gibi iki doğalsayıdan her ikisini de bölendoğal sayıların en büyükolanına, bu sayıların enbüyük ortak böleni denir veebob(a, b) şeklinde gösterilir.Tanım a ve b gibi iki doğalsayıdan her ikisine debölünen doğal sayıların enküçük olanına, bu sayılarınen küçük ortak katı denir veekok(a, b) şeklinde gösterilir.dır. Buradan 8 ile 12’nin en küçük ortak katı 24 olup, bunu daekok(8,12)=24 şeklinde gösteririz.En büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı, verilen sayıların asalçarpanlarını kullanarak da hesaplayabiliriz.Hocam, şimdi hatırladım. 8 ve 12’yi asal çarpanlarına ayırmakiçin, 8 ve 12’yi en küçük asal sayı olan 2’den başlayarak sırasıylaasal sayılara bölelim:8 24 22 21ve12 26 23 31

136 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikÖrnek 36 ile 600 sayılarıiçin, ebob(36,600) veekok(36,600) sayılarını bulalım.1. 36 ve 600 sayılarını asalçarpanlarına ayıralım:36 = 2 2· 3 2= 2·2·3·3600 = 2 3· 3·5 2= 2·2·2·3·5·52. Ortak olan asal çarpanlar2 ve 3’tür. Şimdi bunlarınen küçük üslülerini belirleyelim.2’nin en küçük üslüsü 2 2ve 3’ün en küçük üslüsü de3’tür. Bunları çarparsak,ebob(36,600) = 2 2· 3= 2·2·3= 12olduğundan bu sayıları sizin de daha önce söylediğiniz gibi, 8=2·2·2ve 12=2·2·3 olarak yazabiliriz. 8’in bölenleri 1, 2, 2 2 ve 2 3 ’tür. 12’ninbölenleri ise 1, 2, 2 2 , 3, 2·3 ve 2 2· 3’tür. Böylece 8 ve 12’nin ortakbölenleri 1, 2 ve 2 2 olur. Buradan 8 ve 12’nin en büyük ortak böleni2 2 = 4 bulunur.Şimdi 8 ve 12’nin en küçük ortak katını hesaplayalım. 8’in bir katıaynı zamanda 2·2·2’nin bir katıdır. 12’nin bir katı da aynı zamanda2·2·3’ün bir katıdır. O halde bu çarpımları içeren en küçük sayı, 8 ile12’nin en küçük ortak katı olacaktır. Böylece en küçük ortak kat,ekok(8,12)=2·2·2·3=2 3· 3=24olur.Daha genel olarak ifade etmek gerekirse, m ve n gibi iki doğalsayının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı şöylebulunur:1) m ve n asal çarpanlarına ayrılır.2) Ortak olan asal çarpanlardan, üsleri en küçük olanlarının çarpımıbu sayıların en büyük ortak bölenidir.(Ortak asal çarpan yoksa, en büyük ortak bölen 1’dir.)3) Ortak olan asal çarpanlardan üsleri en büyük olanlar ile ortakolmayanların hepsinin çarpımı bu sayıların en küçük ortak katıdır.bulunur.3. Ortak olan asal çarpanlardanüsleri en büyükolanlar ile ortak olmayanasal çarpanları belirleyelim.2’nin en büyük üslüsü 2 3ve 3’ün en büyük üslüsü de3 2 ’dir. Ortak olmayan asalçarpan ise 5’tir. Şimdi 2 3 ,3 2 ve ortak olmayanlarınhepsini çarparsak,ekok(36,600) =2 3· 3 2· 5 2= 1800bulunur.Şimdi de 18 ile 30 sayılarının en küçük ortak katını ve enbüyük ortak bölenini bulalım. İlk olarak 18’i asal çarpanlarınaayıralım:18 29 3olup 18=2·3 2 olur.3 31Benzer şekilde,30 215 3olup 30=2·3·5 olur.5 51Böylece 18 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni,ebob(18,30)=2·3=6

Asal mı? Değil mi? 137dır. Bu sayıların ortak katlarının en küçüğü deekok(18,30)=2·3 2· 5=90olur.Peki, buna göre 14 ile 15 sayılarının ebob’unu bulabilirsinizartık, değil mi?Evet, bunu ben bulayım: 14=2·7 ve 15=3·5 yazarız.Ancak bu iki sayının 1’den başka ortak böleni olmadığındanebob(14,15)=1 olur.İki doğal sayı aldığınızda 1, her ikisini de böldüğünden birortak bölendir. Eğer iki doğal sayının 1’den başka ortak böleniyoksa, bu sayılara aralarında asaldır deriz. Bu örnekte olduğu gibi, 14ile 15 sayıları aralarında asaldır.Tanım a ve b doğal sayılarolmak üzere ebob(a, b)=1ise a ve b sayılarına aralarındaasaldır denir.6 ile 11 sayılarının da en büyük ortak böleni 1 olduğu için 6ile 11 de aralarında asaldır.Asal mı? Değil mi?Şimdi 100’den küçük olan asal sayıları bulalım. İlk asal sayıolan 2’den başlayarak ikişer ikişer asal sayıları sırayla söyleyinbakalım:2 ve 3.2 3 57 11 1317 19 2329 31 3741 43 475 ve 7.53 59 6167 71 738, 2 ile bölündüğünden asal değildir. 9 da 3 ile bölündüğündenasal değildir. Sıra 10’da. 10 da 2 ile bölündüğünden asaldeğildir. O halde 11’e bakalım. 11, ne 2’ye, ne 3’e, ne 4’e, ne 5’e, ne6’ya, ne 7’ye, ne 8’e , ne 9’a, ne de 10’a bölünür. Ancak 1’e ve kendinebölünür. O halde 11 asaldır. Sıra 12’de. Ancak 12, 2 ile bölündüğündenasal değildir. O halde 13’e bakalım. . . 13 de kendinden önce gelen hiçbirsayıya bölünmez. O halde 13 asal sayıdır.79 83 8997Şekil 6.1: 100’e kadar olan asalsayılar.

138 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikSıra 14’te. Ancak 14, 2 ile bölündüğünden asal değildir. 15’ebakalım. 15 de 3 ile bölündüğünden asal değildir. 16’ya bakalım.16 da 2 ile bölündüğünden asal değildir. Sıra 17’de. 17 de ne 2’ye,ne 3’e, ne 4’e, ne 5’e, ne 6’ya, ne 7’ye, ne 8’e , ne 9’a, ne 10’a, ne 11’e,ne 12’ye, ne 13’e, ne 14’e , ne 15’e, ne de 16’ya bölünür. O halde 17sadece 1 ve kendine bölünür. Sonuç olarak 17 asaldır. Sırada 18 var. 18,2’ye bölündüğünden asal değildir. 19’a bakalım. 19, 2’ye bölünmüyor.3’e de bölünmüyor. İyi de hocam bunun kolay bir yolu yok mu? Sayıbüyüdükçe bir sürü bölme işlemi yapıyoruz.Bunun kolay bir yolu var. Ama fazla büyük olmayan sayılariçin tabii. İlk olarak 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları birtablo şeklinde yazalım. Sonra 2’nin katlarını eleyelim. Geriye kalan sayılardanilki 3 olup, 3’ün katlarını eleyelim. Daha sonra geriye kalan ilksayı 5 olup, 5’in katlarını eleyelim. Bu şekilde devam edersek, geriye kalansayıların aradığımız asal sayılar olduğunu görürüz. Bu metoda eskiYunan Matematikçisi Eratosthenes tarafından bulunduğu için, Eratostheneskalburu denir.Şekil 6.2: Yunanlı matematikçi,coğrafyacı, astronom ve filozofEratosthenes (M.Ö. 276−194).Matematik ve doğa bilimlerine büyükkatkılar sağlamıştır. Yerküreninçevresini ilk olarak hesaplayankişidir. Aynı zamanda güneşindünyadan uzaklığını hesaplamışve o zaman bilinen dünyanınharitasını çıkarmıştır.2 3 ✁4 5 ✁6 7 ✁8 ✁9 ✚1011 ✚12 13 ✚ ✚14 ✚15 ✚16 17 ✚18 19 ✚20✚21 ✚22 23 ✚ ✚24 ✚25 ✚26 ✚ ✚27 ✚28 29 ✚3031 ✚32 ✚33 ✚ ✚34 ✚35 ✚36 37 ✚38 ✚ ✚39 ✚ ✚4041 ✚ ✚42 43 ✚ ✚44 ✚ ✚45 ✚46 47 ✚ ✚48 ✚ ✚49 ✚50✚51 ✚52 53 ✚ ✚54 ✚55 ✚56 ✚ ✚57 ✚58 59 ✚6061 ✚62 ✚63 ✚64 ✚65 ✚66 67 ✚68 ✚69 ✚ ✚7071 ✚ ✚72 73 ✚ ✚74 ✚ ✚75 ✚76 ✚ ✚77 ✚68 79 ✚80✚81 ✚82 83 ✚ ✚84 ✚85 ✚86 ✚ ✚87 ✚88 89 ✚ ✚90✚ ✚91 ✚ ✚92 ✚ ✚93 ✚ ✚94 ✚ ✚95 ✚96 97 ✚ ✚98 ✚ ✚99 ✟100✟Şekil 6.3: n=100 için Eratosthenes Kalburu.Hocam, mesela 61 sayısının asal olup olmadığını nasıl araştıracağız?O zaman da 1’den 61’e kadar yazıp Eratosthenes’inmetodunu mu uygulayacağız? Öyleyse işimiz var.

Kaç Tane Asal Sayı Vardır? 139Kalbur bize 61’in asal olduğunu gösterdi zaten. Ancak başkabir yol da var! Diyelim ki bir n sayısı verildiğinde bunun asalolup olmadığını araştırmak istiyoruz. Eğer bu n tam sayısı bir bileşiksayı ise n=a· b formunda yazılabilir. Burada 1

140 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikOldukça fazla olabilir.Oldukça fazladan kastın nedir?1 000 000 000 000 sayısı,bir trilyon olarak okunur.Örneğin, bir trilyon olabilir.1 000 000 000 000 000sayısı, bir katrilyon olarakokunur.Anlaşılan, Selçuk’un oldukça fazlası bir trilyonmuş. Benim içinoldukça fazla, katrilyondur.999 000 000 000 000 000sayısı, dokuz yüz doksan dokuzkatrilyon olarak okunur.Benim için de oldukça fazla, dokuz yüz doksan dokuz katrilyondur.Demek ki buradan çıkan sonuç şu oluyor: “oldukça fazla” ifadesiherkese göre değişkenlik gösterir. Neyse, gençler konuyudağıtmayalım! Soruyu ben cevaplayayım: sonsuz tane asal sayı vardır.M.Ö. 300 civarında, Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamıştır.Şekil 6.5: Yunanlı matematikçiÖklid (M.Ö. 325−265). “GeometrininBabası” olarak anılır. Düzlemgeometrisi, aritmetik ve sayılarteorisi, irrasyonel sayılar vekatı cisimler teorisini içeren 13 kitaptanoluşan Elemanlar adlı eseri20. yüzyılın başlarına kadar matematik(özellikle geometri) öğretimindekullanılmıştır.Ama pratikte, büyük basamaklı bir asal sayı bulmak, güçlübilgisayarların yardımıyla bile oldukça uzun vakit almaktadır.Şu ana kadar bilinen en büyük basamaklı asal sayı, ki basamak sayısı12978189’dur, Los Angeles California Üniversitesi (UCLA) matematikbölümünden Edson Smith ve ekibi tarafından 2008 yılında bulunmuştur.Asal Sayılar Nerede Kullanılır?Hocam, insanların çok fazla vakit harcayarak asal sayı avınaçıkmalarının nedeni nedir?Bunun nedeni, asal sayıların, yaşadığımız teknoloji çağındaönemli verilerin şifrelenerek korunması açısından önemli olmasıdır.

Modüler Aritmetik 141Nasıl yani?Örneğin; bir şirketten, internet aracılığıyla kredi kartını kullanarakbir ürün ya da hizmet satın alacağınızı düşünelim.Ödeme yapmak için şirketin web sitesine kredi kartınızın bilgilerini girmenizgerekiyor. Sizce bu bilgileri paylaşmak ne kadar güvenli olabilir?Hocam bir kere benim kredi kartım yok. Ayrıca internet üzerindenalışverişi de Gökçe yapıyor. Ama sorunuza gelince ürünüalacağımız şirket ne kadar güvenilirse bu bilgileri de paylaşmak o kadargüvenilir olur bence.2005 yılında, Almanya’da birgöz uzmanı olan ve matematikleamatör olarak ilgilenenDr. Martin Nowak, kişisel bilgisayarında50 gün çalışarak7 milyon 816 bin 230 rakamdanoluşan ve 2 25964951 − 1olarak ifade edilen bir asalsayı buldu. Bu sayı, Mersenneasal sayıları olarak bilinengruba ait 42. sayıdır.O kadar emin olma. Bir şirketin güvenilir olması, o şirketinweb sitesinden güvenilir şekilde alışveriş yapabileceğimiz anlamınagelmez. Bugün bile hala internet üzerinden birçok kredi kartıdolandırıcılığı meydana gelmektedir. Güvenli siteler, müşterilerinin bilgilerininüçüncü şahısların eline geçmesini engellemek için gittikçe dahagelişmiş şifreleme sistemleri kullanıyorlar. Asal sayılar da burada devreyegiriyor.Asal sayılar, sadece internet güvenliğinde değil, başka birçokalanlarda da önemli verilerin korunmasında kullanılıyor. Buradada, büyük asal sayılar kullanılmaktadır. Hatta, şifreleme tekniklerinigüçlendirmek amacıyla asallar hakkında araştırmaları teşvik edenbir vakıf bile var. Bu konunun ayrıntılarını daha sonra işleyeceğimiz ŞifrelemeKuramı konusuna bırakalım isterseniz.Modüler AritmetikArkadaşlar, bugün Çarşamba olduğuna göre 17 gün sonra haftanınhangi gününde olacağımızı söyleyebilir misiniz?Pt Sa Ça Pe Cu Ct Pz24 25 26 27 28 29 301 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 1 2 3 4

142 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikHemen takvime bakalım. Hımm, 7 gün sonrası Çarşamba, 14gün sonrası da Çarşamba olacaktır. Dolayısıyla on beş Perşembe,on altı Cuma ve on yedi Cumartesi. İşte on yedi gün sonra Cumartesioluyor.Teşekkürler Selçuk. Senin de söylediğin gibi haftanın günleri7 günde bir tekrarlandığı için, 7 gün sonra da Çarşamba, 14gün sonra da Çarşamba olacaktır. O halde 17’yi 7’ye bölersek17=2·7+3 olup 17 günde 2 hafta ve 3 gün olduğunu görürüz. Böylecebugünden itibaren 14 gün sonrası da Çarşamba olup, 17 gün sonrasıCumartesi olur. Yani 17 gün sonraki gün, bugünden itibaren 3 günsonraki gündür.Peki 40 gün sonra günlerden ne olur?Aynı mantıkla, 40’ı 7’ye bölüp bakalım. 40=5·7+5 olduğunagöre, Çarşamba’dan itibaren 5 gün sayacağız. O da, birPerşembe, iki Cuma, üç Cumartesi, dört Pazar dersek, beş Pazartesi olur.40 gün sonra günlerden Pazartesi’dir.Ben hala anlamış değilim. Zeynep, neden 40’ı 7’ye böldün?Şekil 6.6: Alman matematikçi JohannCarl Friedrich Gauss (1777−1855). Matematikçilerin prensiolarak da bilinen Gauss, sayılar teorisindeçok yararlı bir araç olanmodüler aritmetiğin gelişmesinebüyük katkılar sağlamıştır. 21 yaşında,sayılar kuramının önemlisonuçlarını derleyip kendi katkılarınıda ekleyerek büyük eseri DisquisitionesArithmeticae’yı yazmı ş t ı r.Bugün Çarşamba olduğuna göre 7 gün sonra da Çarşamba, 14gün sonra da Çarşamba, 21 gün sonra da Çarşamba olur. Yani7’nin katlarında hep Çarşamba oluyor. O halde 40’ın içindeki 7’nin katlarınıbularak o günlerin de Çarşamba’ya denk geldiğini söyleyebiliriz.Bunun için 40’ı 7’ye bölüyoruz. 40=5·7+5 olduğundan 5·7= 35 günsonra da Çarşamba olacaktır. Bugünden itibaren 40 gün sonrasını bulmakiçin 5·7’den itibaren 5 gün daha ilerlemeliyiz. Bu da Çarşamba’dansonra 5 gün ilerlemek demektir. Yani biz, 40’ı 7’ye bölerek bulduğumuzkalan ile işlem yapıyoruz.olduk.Zeynep gayet güzel açıkladı. Burada, bugünden itibaren, 40gün saymak yerine 5 gün saymanın yeterli olacağını görmüş

Modüler Aritmetik 143olur?Bir başka örnek de günlük hayatta çok sık kullandığımız saataritmetiğidir. Örneğin, saat sabah 9 ise, 7 saat sonra saat kaçTabii ki öğleden sonra 4 olur.Doğru. Gökçe, 9 ile 7’yi toplayıp saat 16 demek yerine saatöğleden sonra 4 demeyi tercih etti. Günlük hayatta saati söylerkençoğu kez, günü 12 saatlik iki parçaya ayırarak söylemeyi tercihederiz. Böylece saat 13 yerine öğleden sonra 1, saat 14 yerine öğledensonra 2 deriz. Yani saatler de, 12 saatlik bir döngü şeklinde tekrarlanır.Şimdi bunu matematiksel olarak ifade edersek, sabah 9’dan 7 saatsonrası 9+7=16=1·12+4 olduğundan, saat öğleden sonra 4’türderiz.Sonuç olarak, saat 16 demek ile öğleden sonra 4 demek aynış e y d i r.Haftanın günleri ile ilgili örneklerde 7 sayısını seçerek, 17’nin,7’ye bölündüğünde elde edilen 3 kalanına denk olduğunu;40’ın da, 7’ye bölündüğünde elde edilen 5 kalanına denk olduğunugördük. Saat örneğinde de 12 sayısını seçerek, 16’nın, 12’ye bölündüğündeelde edilen 4 kalanına denk olduğunu gördük. Uyguladığımız buteknikle, çözmeye çalıştığımız problemleri daha da basitleştirdik. İ ş t e ,probleme bağlı olarak, adına modül diyeceğimiz özel bir n doğal sayısıseçerek, her tam sayıyı n’ye bölümünden kalan sayı ile yer değ i ş t i r ğimizbu tekniğe Modüler Aritmetik adı verilir. Şimdi gelin hep birlikte bud itekniği anlamaya çalışalım:a ve b tam sayıları, sıfırdan farklı pozitif bir n tam sayısı tarafındanbölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayılara n modülüne göredenktir ya da kısaca mod n’ye göre denktir deriz veTanım Bir m tam sayısınısıfırdan farklı bir n doğalsayısına böldüğümüzde0≤r< n olmak üzerem=k·n+ rkoşulunu sağlayan r tam sayısınakalan denir.a≡ b (mod n)ile gösteririz.Verdiğimiz örneklere geri dönecek olursak;Birinci örnek için 17≡3 (mod 7)İkinci örnek için 40≡5 (mod 7)Son örnek için 16≡4 (mod 12)

144 6 Asal Sayılar ve Modüler Aritmetikolarak yazabiliriz. Şimdi siz de örnekler verin bakalım.4 ve 18 sayıları 7’ye bölündüğünde4=0·7+4 ve 18=2·7+4olup, kalanları 4 olduğundan 4≡18 (mod 7)’dir.20 ve 4 sayıları 3 ile bölündüğünde20=6·3+2 ve 4=1·3+1olup kalanları farklı olduğundan 20 ve 4 sayıları 3 modülüne göre denkdeğildir.3 ve 23 sayıları 5’e bölündüğünde3=0·5+3 ve 23=4·5+3olup, kalanları 3 olduğundan 3≡23 (mod 5)’tir.17 ve 15 sayıları 4 ile bölündüğünde17=4·4+1 ve 15=3·4+3olup kalanları farklı olduğundan bu sayılar 4 modülüne göre denk değildir.Tanım a, b, n tam sayılar ven > 0 olmak üzere ave b sayılarının n’ye bölümündenkalanlar aynı isea ve b sayıları n modülünegöre denktir denir vea≡ b (mod n) şeklinde gösterilir.a≡ b (mod n) olmasıdemek a−b sayısının n sayısıile bölünmesi demektir.a ve b sayılarının n modülüne göre denk olması tanımını birbaşka şekilde de ifade edebiliriz. a ve b’nin n’ye bölümündenkalanların aynı olması, yani a≡ b(mod n) olması a− b sayısının nsayısı ile bölünmesi demektir. Böylece, farkları n tarafından bölünen tamsayılar mod n’ye göre denktir diyebiliriz. Örneğin; 18−4=14 olup 14sayısı 7 ile bölündüğünden 18≡4 (mod 7)’dir.3≡23 (mod 5) olduğunu biliyoruz. Pınar Hoca’nın verdiğidenklik tanımını kullanırsak, 23−3=20 olup 5 sayısı 20 sayısınıböldüğünden 3≡23 (mod 5) olduğunu bir kez daha görmüşoluruz.

Modüler Aritmetik 145Sanırım Gökçe sıralamada bir hata yaptı. 3≡23 (mod 5)olduğunu görmek için 23−3 sayısı yerine 3−23 sayısının 5’ebölünüp bölünmediğine bakmalıydı.İyi de, 5 sayısı, 3−23=−20 sayısını da böldüğünden, senindediğin gibi yapsaydım da birşey değişmeyecekti.Gökçe haklı. a≡ b (mod n) olmasıyla b≡a (mod n) olmasıaynı şeydir. Denkliklerin bu özelliğine simetri özelliğidenir. Denkliklerin bunun gibi iki özelliği daha vardır, yansıma ve geçişmeözellikleri. n bir doğal sayı, a, b ve c tam sayılar olmak üzere,bunları şöyle ifade edebiliriz:Yansıma Özelliği: a≡a (mod n)Geçişme Özelliği: a≡ b(mod n) ve b≡c(mod n) ise a≡c(mod n)Örneğin; 3≡3 (mod 4)’tür. Çünkü 4 sayısı 3−3=0sayısını böler.2≡12 (mod 5) ve 12≡22 (mod 5) olup geçişme özelliğine göre2≡22 (mod 5)’tir. Gerçekten, 22−2 farkı 5 ile bölünür.Denklik kavramı yardımıyla sayıları sınıflara ayırabiliriz. Örneğin,herhangi iki çift sayının farkı çift olup 2 ile bölünebildiğindençift sayılar mod 2’ye göre denktir. Benzer şekilde, herhangiiki tek sayının farkı da çift olup 2 ile bölünebildiğinden tek sayılar damod 2’ye göre denktir. Ama bir çift sayı ile bir tek sayı mod 2’ye göredenk değillerdir. Çünkü, farkları bir tek sayı olup 2 ile bölünmez. Böylecemod 2’ye göre sayılar, tek sayılar ve çift sayılar olmak üzere iki sınıfaayrılabilir. Bir başka ifadeyle, bu sınıflar, iki ile bölündüğünde 1 ve0 kalanını veren sayıların oluşturduğu kümelerdir.Şimdi de denkliklerin toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerialtında korunduğunu gösteren özelliklerini verelim:a, a ′ , b, b ′ ∈ ve n bir doğal sayı olmak üzere,i) a≡ b(mod n) ve a ′ ≡ b ′ (mod n) ise a+a ′ ≡ b+ b ′ (mod n)’dir.ii) a≡ b(mod n) ve a ′ ≡ b ′ (mod n) ise a−a ′ ≡ b− b ′ (mod n)’dir.iii) a≡ b(mod n) ve a ′ ≡ b ′ (mod n) ise a·a ′ ≡ b· b ′ (mod n)’dir.

146 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikBu özelliklere göre, bir denkliğin her iki tarafını bir tam sayıile toplar, çıkarır veya çarparsak denkliğin bozulmayacağını dagörürüz.a, b, k tam sayılar ve nbir doğal sayı olmak üzerea≡b(mod n) olsun. Budurumdai) a+k≡ b+k (mod n)ii) a−k≡ b−k (mod n)iii) a·k≡ b·k (mod n)dir.Aferin Zeynep konuyu iyi kavramışsın. Ancak bölme işlemiiçin aynı şeyi söyleyemeyiz. Yani, bir denkliğin her iki tarafınıbir tam sayıya bölünce denklik değişmez diyemeyiz. Örneğin;10≡14 (mod 4)’tür. Her iki tarafı 2’ye bölersek102 ≡ 142(mod 4)ifadesi doğru olmaz. Çünkü 10 2olamaz.= 5 ve142= 7 olup 5≡7 (mod 4)Ama bazen de bölme yapabiliyoruz sanırım. Bir düşüneyim. . .Örneğin, 42≡7 (mod 5) denkliğini göz önüne alırsak, budenkliğin her iki tarafı 7’ye bölünürse 6≡1 (mod 5) olup denkliğindeğ i ş m e d ĭgini görürüz.Haklısın Zeynep. Ancak, bazı durumlarda bölme yapmamızaolanak veren şöyle bir özellik var:a·k≡ b·k (mod n)a, b, k, n tam sayılar ven>0 olmak üzerea·k≡ b·k (mod n) olsun.Eğer ebob(k, n) = 1 isea≡ b (mod n)’dir.denkliğini göz önüne aldığımızda, eğer, ebob(k, n)=1, yani k ile n aralarındaasal ise denkliğin her iki tarafını k’ya bölebiliriz.Böylece a≡ b (mod n) elde ederiz. Senin verdiğin örneğe geri dönecekolursak; 42≡7 (mod 5) denkliğinde, ebob(5,7)=1 olduğundan dolayı,her iki tarafı 7’ye bölerek6≡1 (mod 5)olduğunu elde eder ve denkliğin değ i ş m e d ĭgini görmüş oluruz.Şimdi denkliklerin toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındakorunması ile ilgili örnekler yapalım. Söyleyin bakalım23 ve 32 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlarının toplamı nedir?

Modüler Aritmetik 14723=3·7+2 ve 32=4·7+4olup kalanlar sırası ile 2 ve 4’tür. Böylece kalanların toplamı 2+4=6bulunur.Şimdi de 23 ve 32’nin toplamının 7 ile bölümünden kalanıbulun.23+32=55=7·7+6olup kalan 6 bulunur. Böylece 23≡2 (mod 7) ve 32≡4 (mod 7) iken23+ 32≡2+4 (mod 7)olduğunu görmüş oluruz. Demek ki, 23 ve 32’nin toplamının 7’ye bölümündenkalanı bulmak ile 23 ve 32’nin ayrı ayrı 7’ye bölümlerindenkalanlarının toplamını bulmak aynıdır.Çok doğru Engin. Aynı örnek için çarpma işlemi ile ilgili özelliğinde sağlandığını görelim. 23·32=736 olup 736’yı 7’yeböldüğümüzde kalan 1 olduğundan 736≡1 (mod 7)’dir. Diğer taraftan,23 ve 32 sayılarının 7’ye bölümlerinden kalanlar sırasıyla 2 ve 4 idi.O halde 2·4=8 olup 8≡1 (mod 7)’dir. Böylece23· 32≡2·4≡1 (mod 7)olduğunu görürüz.Şimdi de 29·37+79 sayısının mod 3’e göre hangi sayıya denkolduğunu bulalım:29≡2 (mod 3), 37≡1 (mod 3) ve 79≡1 (mod 3)’tür. Denkliklerinçarpma işlemi altında korunması özelliğinden29· 37≡2·1≡2 (mod 3)dür. Denkliklerin toplama işlemi altında korunması özelliğinden ise29· 37+ 79≡2+1≡0 (mod 3)bulunur.

148 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikŞ i m d i 4 2 sayısının 5’e bölümünden kalan sayıyı bulalım.Ne var ki bunda! 2 4 = 2·2·2·2=16 olduğundan 16’nın 5’ebölümünden kalan 1’dir.O halde 2 45 sayısının 5’e bölümünden kalan sayıyı bulun bakalım.Hocam, bu kadarına da pes doğrusu!Gökçe, bu da göründüğü kadar zor değil aslında. Eğer2 45 = 2 4· 2 4···2 4}{{}·211 taneolarak yazarsak, 2 4 ≡ 16≡1 ( mod 5) olduğundanbulunur.2 45 ≡}{{}·2 2 4· 2 4···2 4 ≡ 1·1···1}{{}·2 ≡ 2 (mod 5)11 tane 11 taneolduğundanbulunur.Şimdi de 9 7 ’nin 11’e bölümünden kalanı bulalım.9 7 = 9 2· 9 2· 9 2· 9 ve 9 2 = 81≡4 (mod 11)9 2· 9 2· 9 2· 9 ≡}{{}· 4·4}{{}4·9 (mod 11)≡ 16·36 (mod 11)16≡5 ( mod 11) ve36≡3 ( mod 11) olduğundan≡ 5·3 (mod 11)≡ 4 (mod 11)Son olarak da 6 8 ’in birler basamağındaki sayıyı bulalım.

Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklikler 149Bu sefer 6’yı 8 kere kendisiyle çarpmaktan başka çaremiz yoksanırım.Yanılıyorsun Engin! Bir sayının birler basamağındaki sayı, osayının 10 ile bölümünden kalan sayıdır. Örneğin, 23 sayısınıele alalım. Eğer, 23’ü 10’a bölersek kalanı 3 buluruz ki, bu 23’ün birlerbasamağındaki sayıdır. Benzer şekilde 41 sayısını 10’a bölersek 1 kalanınıelde ederiz ki bu da 41’in birler basamağındaki sayıdır. Buna göremod 10’a göre 6 8 ’in neye eşit olacağını bulalım.6 8 = 6 2· 6 2· 6 2· 6 2olarak yazarsak, 6 2 = 36≡6 (mod 10) olduğundanbulunur.6 8 ≡}{{}· 6·6}{{} (mod 10)≡ 36·36 (mod 10)≡ 6 · 6 (mod 10)≡ 6 (mod 10)Bir Bilinmeyenli Doğrusal DenkliklerDaha önce gördüğümüz birinci dereceden bir bilinmeyenlidenklemlere benzer olarak, x bilinmeyen, a ve b tam sayılarolmak üzerea· x≡b (mod n)şeklindeki bir denkliğe bir bilinmeyenli doğrusal denklik denir. Bu denkliğisağlayan x bilinmeyenine de bu doğrusal denkliğin çözümü denir.Eğer x = x 0 sayısı, a· x≡b (mod n) denkliğinin bir çözümü vex 1 ≡ x 0 (mod n) ise a· x 0 ≡ a· x 1 ≡ b (mod n) olduğundan x 1 debu denkliğin bir çözümüdür. Yani, a· x≡b (mod n) şeklindeki birdenkliğin bir çözümü mevcut ve x 0 olsun. Bu durumda x 0 ’a mod n’yegöre denk olan her tam sayı da bu denkliğin bir çözümüdür.

150 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikBu kadar teorik bilgiden sonra gençlerin kafası karışmayabaşladı galiba. İsterseniz bir örnekle devam edelim:x+ 2≡3 (mod 4) denkliğini çözmeye çalışalım. Denkliğin her iki tarafından2 çıkarıp x’i yalnız bırakırsak,x+ 2−2 ≡ 3−2 (mod 4)x ≡ 1 (mod 4)elde ederiz. Böylece bu denkliğin çözüm kümesi, 4’e bölümünden 1 kalanınıveren sayıların kümesidir.Hocam bu denkliği sağlayan sayılardan bir kaç örnek verir misiniz?Örneğin, 1 sayısı bu denkliği sağlar. Çünkü, 1’in 4’e bölümündenkalan 1’dir. 1’e 4 eklediğimizde elde ettiğimiz 5 de budenkliği sağlar. Çünkü, 5=1·4+1 olup, 5’in 4’e bölümünden kalan da1’dir.5’e 4 eklediğimizde elde ettiğimiz 9 da bu denkliği sağlar.Çünkü, 9=2·4+1 olup, 9’un da 4’e bölümünden kalan 1’dir.Hocam, hep ekledik, çıkarsak da bir çözüm bulur muyuz?olur.Tabii ki. 1’den 4 çıkarsak,−3 de bir çözümdür. Gerçekten de,denklikte x yerine−3 yazarsak,−3+2=−1≡3 (mod 4)−1 nasıl 3’e denk oluyor?−1 ile 3’ün farkı−4 olup, 4’e bölündüğü için!Böylece, 1’den başlayıp, 4 ekleyerek veya 4 çıkararak eldeettiğimiz sayılar, 4’e bölümünden 1 kalanını veren sayılarınkümesini, yani{...,−11,−7,−3,1,5,9,13,...}kümesini oluşturur.

Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklikler 151Şimdi de x− 6≡5 (mod 7) denkliğini çözelim.Bunu da ben çözeyim. Denkliğin her iki tarafına 6 ekleyerekx’i yalnız bırakırsak,x− 6+6≡5+6 (mod 7)yani,x≡ 11 (mod 7)elde ederiz. 11≡4 (mod 7) olduğundan da çözümx≡ 4 (mod 7)olarak bulunur. Yani, çözüm kümesi, 7’ye bölündüğünde 4 kalanını verensayıların kümesi olan{...,−17,−10,−3,4,11,18,...}kümesidir.Tabii her zaman, bir bilinmeyenli doğrusal denkliklerin çözümleriolmayabilir ya da çözümü bulmak bu kadar kolay olmayabilir.Örneğin, 2· x≡ 3 (mod 4) denkliğinin çözümünü bulmayaçalışalım. Herhangi bir x tam sayısı 4’e bölündüğünde ya 0, ya 1, ya 2ya da 3 kalanını vereceği için ya x≡ 0 (mod 4), ya x≡ 1 (mod 4), yax≡ 2 (mod 4) ya da x≡ 3 (mod 4) olabilir.Birinci durumda, 2x ≡ 2·0 ≡ 0 (mod 4),İkinci durumda, 2x ≡ 2·1 ≡ 2 (mod 4),Üçüncü durumda, 2x ≡ 2·2 = 4 ≡ 0 (mod 4)ve nihayet son durumda2x≡ 2·3=6≡2 (mod 4)olur. Yani hiçbir zaman 2x≡ 3 (mod 4) olamaz. Demek ki bu denkliğinçözümü yoktur.

152 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikBir başka örnek olarak, 3· x≡ 5 (mod 6) denkliğini çözmeyeçalışalım. Herhangi bir x tam sayısı 6’ya bölündüğünde ya 0,ya1,ya2,ya3,ya4yada5kalanınıvereceği için ya x≡ 0 (mod 6), yax≡ 1(mod 6), ya x≡ 2(mod 6), ya x≡ 3(mod 6), ya x≡ 4(mod 6)ya da x≡ 5 (mod 6) olabilir.x≡ 0 (mod 6) durumunda, 3x≡ 3·0≡0 (mod 6),x≡ 1 (mod 6) durumunda, 3x≡ 3·1≡3 (mod 6),x≡ 2 (mod 6) durumunda, 3x≡ 3·2=6≡0 (mod 6),x≡ 3 (mod 6) durumunda, 3x≡ 3·3=9≡3 (mod 6),x≡ 4 (mod 6) durumunda, 3x≡ 3·4=12≡0 (mod 6)ve nihayet son durum olan x≡ 5 (mod 6) durumunda3x≡ 3·5=15≡3 (mod 6)olur. Yani hiçbir zaman 3x≡ 5 (mod 6) olamaz. Sonuç olarak, bu denkliğinde çözümü yoktur.a· x≡b (mod n) şeklindekibir doğrusal denkliğin çözümününolması için gerek veyeter koşul ebob(a, n) sayısınınb sayısını bölmesidir.Bu iki örnekte gördüğünüz gibi, bir bilinmeyenli doğrusaldenkliklerin her zaman çözümü yoktur. a· x≡b (mod n)şeklindeki bir doğrusal denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeterkoşul ebob(a, n) sayısının b sayısını bölmesidir. Örneklere geri dönecekolursak, 2· x≡ 3 (mod 4) denkliğinde, ebob(2,4)=2 olup, 3 sayısı2’ye bölünmediğinden bu denkliğin çözümü yoktur. 3· x≡ 5 (mod 6)denkliğinde de ebob(3,6)=3 olup, 3 sayısı 5’i bölmez. Dolayısıyla budenkliğin de çözümü yoktur.Son olarak, 3· x≡ 2 (mod 4) denkliğini göz önüne alalım.Bunu çözmek isteyen var mı?Nihayet dersin sonunu görebildik!Ben çözmeye çalışayım. x sayısı bu denkliği sağlıyorsa, her ikitarafı 3 ile çarparsak3·3· x ≡ 3·2 (mod 4)9· x ≡ 6 (mod 4)yani, 9≡1 (mod 4) ve 6≡2 (mod 4) olduğundan,x≡ 2 (mod 4)

Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklikler 153denkliğini de sağlar. Diğer yandan, x≡ 2 (mod 4) ise her iki tarafı 3 ileçarparsak,3· x≡ 6 (mod 4)yani,3· x≡ 2 (mod 4)denkliği de sağlanır. Demek ki 3· x≡ 2 (mod 4) denkliğini sağlayansayılarla, x≡ 2 (mod 4) denkliğini sağlayan sayılar aynı olup3· x≡ 2 (mod 4) denkliğinin çözüm kümesi{...,−10,−6,−2,2,6,10,...}kümesidir.Gerçekten süpersin Zeynep!ÖzetBu ünitede, ilk bölümde, asal sayılar tanımlanarak, verilen bir sayınınasal olup olmadığı incelenmiştir. Verilen bir sayının nasıl asal çarpanlarınaayrılacağı, en büyük ortak bölen ve en küçük ortak katın nasılbulunacağı tartışılmıştır. Asal sayıların günlük hayattaki önemi vurgulanmıştır.İkinci bölümde ise denklikler ile yapılan aritmetik işlemler demekolan modüler aritmetik konusu üzerinde durulmuştur. Denkliklerintoplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile ilgili özellikleri incelenerek, günlükhayatta modüler aritmetik kullanımına ilişkin örnekler verilmiştir.Son olarak da, bir bilinmeyenli doğrusal denklikler ve çözümleri üzerindedurulmuştur.

154 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikOkuma Parçası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http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/problemler.htm))

Çıkarın Kağıtları 155Çıkarın Kağıtları1. Bugün günlerden Salı ise 86 gün sonragünlerden ne olur?A) ÇarşambaB) PerşembeC) CumaD) CumartesiE) Pazar6. mod 11’e göre 13·8 işleminin sonucuaşağıdakilerden hangisidir?A) 1B) 2C) 3D) 4E) 52. Aşağıdaki sayılardan hangisi asaldır?A) 26B) 39C) 71D) 77E) 1113. ebob(60,90)=?A) 3B) 6C) 10D) 15E) 304. ekok(15,20)=?A) 45B) 60C) 75D) 90E) 1205. Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarındaasaldır?A) 4, 20B) 6, 21C) 18, 27D) 21, 40E) 27, 397. (25) 4 sayısının 6 ile bölümünden kalankaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 58. 3 64 sayısının birler basamağındaki rakamkaçtır?A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 99. 4 günde bir nöbet tutan bir hemşireilk nöbetini Çarşamba günü tuttuğunagöre 17’nci nöbetini hangi gün tutar?A) PazartesiB) SalıC) ÇarşambaD) PerşembeE) Cuma10. 3· x− 4 ≡ 2 (mod 5) denkliğininçözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?A){...,−10,−5,0,5,10,...}B){...,−9,−4,1,6,11,...}C){...,−8,−3,2,7,12,...}D){...,−7,−2,3,8,13,...}E){... ,−6,−1,4,9,14,...}

156 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikÇözümler1. 86 sayısını 7’ye bölersek86=12·7+2olup, Salı’dan itibaren 2 gün sonrası olan Perşembegünü aradığımız gündür. Cevap B şıkkıdır.2. 26 sayısı, 2’ye bölündüğünden; 39 ve 111sayıları 3’e bölündüğünden ve 77 sayısı 7’yebölündüğünden asal değildirler. 71 sayısı için,71

Şifreleme Kuramına Giriş7.MATEMATİK 2ÜNİTEİnternetten alışverişyapmanın asal sayılarlane alakası var?SEZAR ŞİFRESİDOĞRUSAL ŞİFRELEMEFREKANS ANALİZİŞİFRELEMEÇARPANLARA AYIRMADEŞİFRELEMERSA ŞİFRELEMESİ

158 7 Şifreleme Kuramına GirişG i r i şArkadaşlar, bugün önceki derste öğrendiğimiz asal sayılar vemodüler aritmetik konularının iletişim güvenliği ile ilgili uygulamalarındanbahsedeceğiz.Herhalde şifrelemeyi kastediyorsunuz?Evet. Bugün bu kavramların bir uygulaması olan şifrelemehakkında temel bilgileri öğreneceğiz. “Matematik ne işe yarar?”diye soranlar da matematiğin ne işe yarayabileceğini bir daha görmüşolacaklar.Umarım bu konu bizi fazla zorlamaz.Şifreleme problemlerinde kullanılan matematiksel yöntemlerinbütününe kriptografi denir ki “gizli, saklı yazım” anlamınagelir. Kriptanaliz ise şifrelenmiş metinden doğru metni bulma yöntemleridir.Bu iki bilim dalına birlikte kriptoloji denir ve gizli bilim anlamınıtaşımaktadır. 1970’lere kadar bu bilim gerçekten halktan gizli tutulan,devletin çeşitli birimleri arasında gizli haberleşmeyi sağlayan bir teknikti.Günümüzde teknolojinin günlük yaşantımıza daha fazla girmesiylegüvenlik konuları herkes için çok önem kazanmıştır.Kullandığımız kredi ve bankomat kartları, cep telefonları, internetvs. ile ilgili bilgilerin çeşitli yollarla ele geçirilebilme ihtimali vardır. Bunedenle bu bilgilerin şifrelenmesi gerekir, yani gerçek bilgiler yerine bubilgilerin değiştirilmiş formatını kullanmaya, tutmaya ve göndermeyeihtiyaç vardır. Kısacası, gizli haberleşme, kimlik kanıtlama ve elektronikimza gibi alanlarda şifreleme kullanılmaktadır.Kriptografinin tarihi ve günümüzdeki kullanım alanlarından dersimizinsonuna doğru bahsedeceğiz.Şimdi isterseniz basit bir örnekle başlayalım. Diyelim ki “ANADOLU”kelimesini bir yolla şifreleyip göndermek istiyorsunuz. Öneriniz var mı?

159Ben bir yerde okumuştum, Jül Sezar komutanlarına göndereceğimesajları şifreleyerek gönderiyormuş. Bunun için alfabedekiharfleri kaydırarak şifreli mesaj oluşturuyormuş.Sanıyorum, alfabedeki her harfi 3 adım sağa kaydırıyormuş.Şimdi ANADOLU sözcüğünü buna göre şifreleyelim. A yerineÇ, N yerine P,. . . , U yerine Y yazarsak şifreli sözcüğümüz “ÇPÇGROY”olur. Mesajı alan kişi de sözcüğü okumak için alfabedeki harfleri 3 adımsola kaydırarak “ANADOLU” kelimesini elde eder.A B C Ç D E F··· V Y ZÇ D E F G Ğ H··· A B CŞekil 7.1: Gaius Julius Caesar(M.Ö. 100 - M.Ö. 44)Tabii, burada mesajı alan kişinin de mesaj şifrelenirken kaç harf atlandığınıbilmesi gerekmektedir.İsterseniz bir de Sezar’ın ünlü sözü “VENI, VIDI, VICI” yi buyöntemle şifreleyelim.A B C D E F G··· W X Y ZD E F G H I J··· Z A B CV→Y, E→ H, N→Q, I→L, D→G, C→Folarakdeğiştirirsek “YHQL, YLGL, YLFL” şifreli sözünü elde ederiz.Bu şifreleme yöntemini harfler yerine sayılar dilinde de ifadeedebiliriz. Bunun için modüler aritmetiği kullanacağız.Kendisi de bir şifre olarakkullanılmış olan" A Y Ş E T A ṪILE ÇIKSIN"cümlesinin Sezar yönteminegöre şifrelenmişi nedir?A ş ağıdaki şifreli mesajı çözebilirmisiniz? (Her gördüğünüzşifreyi Sezar şifresi sanmayın!)"UB AYUNOK KOÇ NIŞILAÇ."Yani 17 denktir 3, 40 denktir 5 gibi ifadeleri mi kullanacağız?"ANASTAS MUM SATSANA"Evet. Ancak yanlarında hangi modüle göre denk olduğunu dabelirtmek gerekir. Örneğin,"EY EDİP ADANADA PİDE YE"17≡3 (mod 7).Bu 17’nin 7’ye bölümünden kalan 3’tür veya 17−3 sayısı 7’ye tam bölünürdemektir. Buna göre 40≡5 (mod 7), 50≡1 (mod 7) vs.dir.

160 7 Şifreleme Kuramına GirişGenelde a≡ b(mod n) e ş i t ği, l i a− b sayısının n sayısına tam olarakbölünebildiğini ifade eder. Eğer 0≤ b

Doğrusal Şifreleme 161Öyle anlaşılıyor ki alfabedeki sırayı ezberlemek gerekecek.Bu sırayı bildiğinizi sanıyordum, ama bilgisayar çocukları olarakunutmuş olabilirsiniz. Ancak ilerde sayılarla çalışacağımıziçin unuttuysanız da zararı yok.Kaydırma şifresinin kırılması kolaydır. Türkçe alfabede 29 harf olduğuiçin toplam 28 deneme ile harflerin kaç adım kadar kaydırıldığıbulunabilir.Kaydırma şifrelemesi doğrusal (afin) şifrelemenin özel bir halidir.Şimdi doğrusal şifreleme konusunu ele alalım.Doğrusal Şifrelemea ve b tamsayılar, n ise birden büyük bir doğal sayı olsun.Doğrusal şifrelemeş(x)=ax+ b (mod n)formülü ile verilir.a ve b sayıları negatif de olabilir mi? Şifreleme nasıl yapılır?Evet olabilir. Örneğin,ş 1 (x)= 3x+ 5 (mod 29)ş 2 (x)= 5x− 4 (mod 26)doğrusal şifrelemelerdir. 10 sayısını ş 1 ile şifrelediğinizdeş 2 ile şifrelediğinizdeş 1 (10) ≡ 3·10+ 5≡ 35≡ 6 (mod 29),ş 2 (10) ≡ 5·10− 4≡ 46≡ 20 (mod 26)çıkar. Artık, 6 sayısı 10’un ş 1 fonksiyonu ile şifrelenmiş hali, 20 sayısı ise10’un ş 2 fonksiyonu ile şifrelenmiş halidir.

162 7 Şifreleme Kuramına GirişPeki hocam, mod n ifadesinde n herhangi bir doğal sayı olabilirmi?Doğrusal şifrelemede n sayısı a ile aralarında asal olan herhangibir doğal sayı olabilir. Çoğu zaman n asal sayı olarakalınır.Eğer bir metni şifreliyorsanız metnin yazıldığı alfabeye göre (Türkçe,İngilizce vs.) ve metnin bölündüğü bloklara göre n sayısı seçilmektedir.Ancak yine de a sayısı ile aralarında asallık koşulunun sağlanması gerekmektedir.a ile n’nin aralarında asal olması, yani ebob(a, n)=1 olmasıneden önemlidir?gereklidir.Bu koşul şifrelenmiş sayının deşifre edilmesinde önemlidir,a· x≡ 1 (mod n) denkleminin x çözümünün olması içinŞimdi doğrusal şifrelemeye dönelim:ş(x)=ax+ b (mod n).x sayısı uzunluğu n olan bir alfabenin harflerini temsil ettiği için buradax∈{0,1,...,n−1} olmalıdır. a ve b sayılarından yukarıda bahsettik.Ş i m d in’ye gelelim. Doğrusal şifrelemeyi kullanıp x sayısının kolayca şifrelenebileceğinigördük. Ancak deşifre işlemi için ebob(a, n)=1 k o ş u l ugereklidir. Bu da ax≡1 (mod n) denklemiyle bağlantılıdır.ax≡1 (mod n) denklemi şifrelemede çok önemlidir. Burada atamsayı, n doğal sayı, x ise bilinmeyen bir tamsayıdır. a ve n verildiğindeöyle x tamsayısı arıyoruz ki ax sayısını n’ye böldüğümüzde kalan1 olmalıdır.Örneğin3x≡ 1 (mod 26)denklemini çözelim.Bu denklemin bir çözümünün x = 9 olduğu açıktır. Çünkü3·9=27 ve 27’nin 26’ya bölünmesinden kalan 1’dir.

Doğrusal Şifreleme 163Evet. Modüler aritmetik ünitesinden hatırlayacağınız gibi, butür denkliklerin sonsuz çözümleri olabiliyordu. Örneğin budenklikte x= 9, x= 35, x= 61, . . . gibi sonsuz tane çözüm vardır. Buçözümlerin hepsi mod 26’ya göre denktirler. Yani9≡35≡61≡··· (mod 26).Bu sayıların hepsinin 3 katının 26’ya bölümünden kalan 1’dir.Şimdi hangisini alacağız?Şifreleme açısından en küçük pozitif olanını alacağız.Denkleme bakarak çözüm var ya da yok diyebilir miyiz?Evet diyebiliriz. ax≡1 (mod n) denkleminin x çözümüancak ebob(a, n)=1 iken vardır, yani a ve n aralarında asalolmalıdır (a ve n’nin 1’den büyük ortak böleni olmaması gerekiyor).3x≡ 1 (mod 26) denkleminde 3 ve 26 aralarında asaldır.2x≡ 1 (mod 26) denkleminde 2 ile 26 aralarında asal değil(2 bu sayıların ortak bölenidir), buna göre denklemin çözümü yoktur.8x≡ 1 (mod 15)’in çözümü vardır, çünkü ebob(8,15)=1’dir(Bu durumda örneğin x = 2 bir çözümdür, çünkü 8·2 = 16≡1(mod 15)’tir). Ancak9x≡ 1 (mod 30)denkleminin çözümü yoktur, çünkü ebob(9,30)=3≠1’dir.Diyelim ki ebob(a, n)=1’dir. x çözümlerini nasıl bulacağız?ax≡1 (mod n) denklemininx çözümünün olması içinebob(a, n)=1 olmalıdır.n büyük sayı olduğunda x’in bulunması için genişletilmiş Öklidalgoritması denilen bir algoritma vardır. Ancak biz küçükn sayılarıyla ilgileneceğimiz için deneme-yanılmayla x’i kolayca bulabileceğiz.

164 7 Şifreleme Kuramına GirişBu ax≡1 (mod n) denkleminin şifrelemeyle ne alakası var?x→ ş(x)≡ y (mod n)d(y) ≡ c(y−b)≡ c(ax+ b− b)≡ cax≡ 1· x≡ x (mod n)y→ d(y)≡ x (mod n)Çok alakası var. ax≡1 (mod n) denklemini sağlayan xsayısına a’nın n moduna göre tersi denir. Bu sayıya c diyelim,yani a·c≡ 1 (mod n). Birçok yöntemde deşifre işlemi için bir sayınınbelli bir mod’a göre tersinin alınması işlemi kullanılmaktadır. Örneğin,yukarıda tanımladığımızş(x)=ax+ b (mod n)doğrusal şifreleme içind(y)=c(y−b)(mod n)deşifre fonksiyonudur, yani gönderilecek sayı ş(x) fonksiyonu yardımıylaşifrelenip, d(y)’nin yardımıyla deşifre edilir.Hocam, birkaç örnek yapsak. . .Örneğin, şifreleme fonksiyonuş(x)=3x+ 10 (mod 29)olarak verilsin. 25 sayısını şifreleyip göndermek istiyoruz.ş(25)=3·25+ 10 (mod 29)3·25+ 10=85 olup 85≡27 (mod 29)olduğundan, demek kiş(25)=27 (mod 29)olur (85’in 29’a bölümünden kalan 27’dir). 27 sayısı 25’in şifrelenmişhalidir ve alıcıya gönderilir. Alıcı 27’yi deşifre etmek için önce3x≡ 1 (mod 29)denklemini çözüyor, yani öyle bir x sayısı arıyor ki 3x’in 29’a bölümündenkalan 1 olsun. Bu denkliği sağlayan en küçük pozitif sayının x= 10olduğunu bulup deşifre içind(y)=10·(y− 10)(mod 29)fonksiyonunu kullanıyor. Böyleced(27)=10·(27− 10)≡170≡25 (mod 29)bulunuyor ve bizim gönderdiğimiz sayıyı elde etmiş oluyor.

Doğrusal Şifreleme 165Ancak gönderici ve alıcının hangi ş(x) fonksiyonunun kullanılacağınıönceden kararlaştırmaları gerekiyor.Evet haklısınız. Başka bir örnek yapalım. Şifreleme fonksiyonuş(x)=(8x− 5)(mod 27)olsun. Zeynep, bu kurala göre x= 11 sayısını şifreleyebilir misin?ş(11) ≡ 8·11− 5≡ 83≡ 2 (mod 27)Demek ki 11 sayısının bu kurala göre şifrelenmişi 2 sayısıdır.Şimdi de bu 2 sayısını deşifre edelim.Bari deşifreyi de ben yapayım. Hep Zeynep yapıyor. Önce8x ≡ 1 (mod 27) denklemini çözmem gerekiyor.ebob(8,27)=1 olduğu, yani 8 ile 27 aralarında asal oldukları için,8x≡ 1 (mod 27) denkleminin çözümü vardır. Ama bunu bulmak birazzor olacak. Ben şimdi ne yapayım?O kadar da zor değil Gökçe. Aradığın sayının 8 katının 1 eksiği27’nin bir katı olacak. Yani aradığın sayının 8 katı, 27’ninbir katından 1 fazla olacak. Örneğin 28 olabilir, ya da 2·27+1=55,veya 3·27+ 1=82 gibi.Galiba şimdi anlıyorum. Aradığım sayının 8 katı, 28 veya 55ya da 82 gibi bir sayı. Ama bunlar 8’e bölünmüyor. Biraz dahailerleyelim. 4·27+1= 109, ama o da 8’e bölünmüyor. 5·27+1= 136,galiba şimdi oldu. 136 sayısı 8’e bölünüyor.8x= 136 ⇒ x= 17.O zaman deşifre fonksiyonunun ifadesini hatırlarsak,d(y)=17(y+ 5)(mod 27)

166 7 Şifreleme Kuramına Girişolacaktır.Bize şifre olarak verilen 2 sayısını deşifre fonksiyonunda yerine yazarsakd(2) ≡ 17·(2+5)≡ 17· 7≡ 119≡ 11 (mod 27)(119’un 27’ye bölümünden kalan 11 olduğu için) elde edilir. Böyleceşifrelenen 11 sayısını geri kazanmış oluruz.Arkadaşlar, yukarıda öğrendiğimiz şifreleme yöntemlerindegönderici ve alıcı ya aynı anahtarları kullanmıştı, ya da alıcınınanahtarı göndericinin anahtarlarından kolayca elde ediliyordu. Buçeşit şifreleme yöntemlerine simetrik yöntemler denir. Simetrik şifrelemedebu anahtarlar gizli kalmalıdır ve gönderici ile alıcının gizli anahtarkonusunda anlaşmaları gerekir.Simetrik şifrelemenin bir diğer özelliği ise çok hızlı olmasıdır.Ancak afin şifreleme gizli anahtarlı şifreleme olsa da kolay kırılabilenbir şifrelemedir. Şimdi gizli anahtarlı ve zor kırılabilen bir şifrelemeyiöğreneceğiz.Kuvvet Fonksiyonuyla ŞifrelemeDaha önce ş(x)=ax+ b (mod n) şifreleme fonksiyonunundanbahsettik. Şimdiş(x)=x e (mod p)şifreleme fonksiyonundan bahsedeceğiz. Bu şifreleme yöntemi asal sayılarve modüler aritmetiğ i n a ş ăgıdaki teoremine dayalıdır.Teorem p> 2 bir asal sayı, e ise(p−1) ile aralarında asal bir sayı olsun,yani ebob(e, p−1)=1 koşulu sağlansın.d sayısı, e·d≡ 1 (mod p−1) koşulunu sağlayan bir sayı ise her M sayısıiçinM ed ≡ M (mod p)denkliği sağlanır.

Kuvvet Fonksiyonuyla Şifreleme 167Buna bir örnek verebilir misiniz hocam?Uygulamalarda p sayısı çok büyük bir asal sayı alınır. Ancakbiz örnek olarak küçük p’lerle yetineceğiz.p=7 alalım. p− 1=6 olur. ebob(e,6)=1 koşuluna uyan bir sayıolarak e= 5 seçelim.5· d≡ 1 (mod 6)koşulundan d = 5 seçilebilir (25’in 6’ya bölümünden kalan 1 olduğuiçin).Örneğin M= 4 olsun. 4 5·5 ≡ 4 25 (mod 7)’yi hesaplayıp 4’e denkolduğunu görelim. 4 3 = 64≡1 (mod 7) olduğuna göre4 25 ≡}{{}4 3· 4 3···4 3 ·4 (mod 7)8 tane≡ 1·1···1·4 (mod 7)≡ 4 (mod 7)olur. Yani teoremimiz p= 7, e=5 ve d= 5 için sağlanmış olur.Bu teorem şifrelemede nasıl kullanılır?Bu teoreme dayalı şifreleme fonksiyonuDeşifre yöntemi neden çalışıyor:deşifre fonksiyonu iseş(x)=x e (mod p),d(y)=y d (mod p)d(y) ≡ y d≡ (x e ) d≡ x ed≡ x (mod p)olur.Gönderici p’den küçük olan M sayısını ş(x) fonksiyonu ile şifreler,alıcı ise aldığı şifreli sayıyı d(y) ile deşifre edip M’ye ulaşır.Bu p, e ve d sayıları herhalde gizli tutulmalıdır.

168 7 Şifreleme Kuramına GirişEvet. Onları ancak alıcı ve gönderici biliyor. Şifreleme ve ş i f -reyi okuma işlemini tekrarlayalım:1) Gönderici ve alıcı p>2 asal sayısını, p−1 ile aralarında asal olane sayısını ve e·d≡ 1 (mod p−1) koşulunu sağlayan d sayısınıseçerler.2) Gönderici M sayısını şifreleyip göndermek içinM e (mod p)sayısı olan y’yi hesaplar. y şifreli mesajdır, bunu alıcıya gönderir.3) Alıcı da y d (mod p)’yi hesaplayıp M’ye ulaşır.Bir örnek yapsak belki anlar mıyız acaba?Tabii ki Gökçe. Biraz önce p=7, e=5, d= 5 ve M = 4a l m ı ş t ı M’yi k . şifrelerseky = 4 5 (mod 7)≡ 4 3· 4 2 (mod 7)≡ 1·16 (mod 7)≡ 2 (mod 7)elde ederiz. y= 2 şifrelenmiş mesajdır.Alıcı isehesaplayıp M= 4’e ulaşmış olur.y d ≡ 2 5 (mod 7)≡ 32 (mod 7)≡ 4 (mod 7)Hocam, asal sayı olarak p= 11 alırsak ne olur?p= 11 ise p− 1=10 olur.ebob(e,10)=1koşulunu sağlayan bir sayı olarak e= 3 alabiliriz. Çünkü 3 ile 10 aralarındaasaldır.3d≡ 1 (mod 10)

Kuvvet Fonksiyonuyla Şifreleme 169koşulundan d= 7 alabiliriz, çünkü 3d= 3·7=21’in 10’a bölümündenkalan 1’dir.M= 4’ü şifrelerseky = 4 3 (mod 11)≡ 64 (mod 11)≡ 9 (mod 11) olur.y= 9’u deşifre edersek9 7 ≡ 9 2· 9 2· 9 2· 9 (mod 11)≡ 4·4·4·9 (mod 11)≡ 64·9 (mod 11)≡ 9·9 (mod 11)≡ 81 (mod 11)≡ 4 (mod 11) olduğundanyeniden M= 4’ü bulmuş oluruz.M= 5’i şifreleyelim.y = 5 3 (mod 11)≡ 125 (mod 11)≡ 4 (mod 11).y= 4’ü deşifre edersek4 7 ≡ 4 3· 4 3· 4 (mod 11)≡ 9·9·4 (mod 11)≡ 81· 4 (mod 11)≡ 4·4 (mod 11)≡ 16 (mod 11)≡ 5 (mod 11)olur. M= 5’i yeniden elde ettik.Doğrusal fonksiyon ve kuvvet fonksiyonu kullanarak yaptığımızşifrelemelerde şifrelenen mesajı alıcının çözebilmesi içingöndericinin ve alıcının şifreleme ve deşifre fonksiyonlarını (yani “gizlianahtarı”) bilmesi gerekir.

170 7 Şifreleme Kuramına GirişDiyelim ki iki kişi güvenli bir biçimde mesajlaşmak istiyor, ancakbu kişilerin ortak gizli bir anahtar üzerinde anlaşma imkanlarıyoktur. Bu durumda ne yapabilirler?Onun da çaresi bulundu. Asal sayılar ve modüler aritmetikkullanılarak yeni bir yöntem, RSA yöntemi keşfedildi. Bu yöntemdealıcı ve gönderici birbirlerini tanımak zorunda değiller. Alıcınınbir açık adresi (açık anahtarı) ve bir de gizli anahtarı vardır. Göndericide göndereceği mesajı bu açık anahtara göre şifreleyip gönderir. Bu şifrelenmişmesajı ancak alıcı açabilir. Şimdi bu yöntemi ele alacağız.RSA Yöntemiİlk açık anahtarlı şifreleme sistemi olan RSA, ismini bu yöntemi1977 yılında bulan üç kişinin soyadlarının (Rivest-Shamir-Adleman) birinci harflerinden alır. Bu yöntem halen şifreleme alanındakullanılan çok önemli bir yöntemdir.Şekil 7.2: Ron Rivest, Adi Shamir,Len Adleman (1977).Bu yöntem de herhalde matematiğe, sayılar teorisine dayalıolmalı.Bu yöntem, asal sayılar ve modüler aritmetiğin iki önemliteoremine dayalıdır. Yöntemin güvenilirliği yani şifrenin kırılamamasıise iki büyük asal sayının çarpımı olan bir sayıyı asal çarpanlarınaayırmanın çok zor olması olgusuna dayalıdır.Yüz basamaklı bir asal sayı:3532461934402770121272604978198464368671197400197625023649303468776121253679423200058547956528088349Matematik bu kadar gelişmiş, bilgisayarlar bu kadar geliş m i ş ,ancak hala büyük sayıları çarpanlara ayırma problemi çözülmemiş.Selçuk, bu sayılar on-onbeş basamaklı sayılar değil. Bu sayılaryüzlerce basamaklıdır.

RSA Yöntemi 171Biz şimdi yüz basamaklı sayılarla mı uğraşacağız?Hayır. Biz yöntemi düşük basamaklı sayılar üzerinde açıklayacağız.Bu RSA yönteminin dayandığı teoremler nasıl şeyler hocam?Birinci teoremi doğrusal şifreleme konusundan biliyorsunuz:Eğer a ve n sayıları aralarında asal yani ebob(a, n)=1 ise ozaman ax≡1 (mod n) denkleminin x çözümü vardır.İkinci teorem ise şöyledir:Teorem p ve q sayıları farklı asal sayılar, e≥1 sayısı iseebob(e,(p− 1)(q− 1))=1koşulunu sağlayan bir sayı olsun (yani e ile(p−1)(q− 1) sayıları aralarındaasal olsunlar). d sayısıe·d≡ 1 (mod (p−1)(q−1)) (7.1)koşulunu sağlasın. O zaman her M pozitif tamsayısı içinM ed ≡ M (mod pq)sağlanır.(7.1) eşitliğindeki d’nin varlığını nereden biliyoruz?Doğrusal şifrelemede gördüğümüz teoreme göreebob(a, n)=1 ise ax≡1 (mod n) denkleminin x çözümüvardır. a sayısını e olarak, n sayısını ise(p−1)(q− 1) şeklinde düşünürsekx= d çözümünün varlığı sağlanmış olur.

172 7 Şifreleme Kuramına GirişHocam bu ikinci teoremi bir örnekte görsek iyi olur.p ve q farklı asal sayılar, örneğin p= 3, q=5 olsun.p· q=15, (p−1)(q−1)=2·4=8 olur.e sayısı 8 ile aralarında asal olmalıdır. Örneğin e= 3 olsun.3d≡ 1 (mod 8)e ş i t ğini l i d= 3 sağlamaktadır (3·3=9’un 8’e bölümünden kalan 1’dir).Örneğin, M= 7 alalım. 7 3·3 (mod 15)’i hesaplayalım. Bu hesabı daZeynep yapsın.Geçen dersimizde buna benzer sorular çözmüştük.7 9 = 7 8· 7=(7 2 ) 4· 7,7 2 ≡ 4 (mod 15)(49’un 15’e bölümünden kalan 4 olduğu için),(7 2 ) 4 ≡ 4 4 (mod 15)≡ 4 2· 4 2 (mod 15)≡ 1·1 (mod 15)≡ 1 (mod 15)7 9 ≡ 7 8· 7 (mod 15)≡ 1·7 (mod 15)≡ 7 (mod 15)yani yeniden M= 7 sayısına varmış olduk.Bu teoremin şifrelemeyle nasıl bir bağlantısı var?Diyelim ki M sayısını karşı tarafa göndermek istiyorsunuz. Ozaman M e (mod pq)’yu hesaplıyorsunuz. Yani M e sayısınınpq sayısına bölümünden kalanı buluyorsunuz. Buna y diyelim. Bu ysayısı şifrelenmiş sayıdır. y sayısını alıcıya gönderiyorsunuz. Alıcı day d(mod pq)

RSA Yöntemi 173ifadesini (yani y’nin d. kuvvetini alıp pq sayısına bölümünden kalanı)hesaplayıp gerçek M sayısına ulaşır. Çünkü teoreme görey d ≡(M e ) d ≡ M ed ≡ M (mod pq).Özetlersek, RSA yönteminin çalışma prensibi şöyledir:1) Önce alıcı iki tane farklı p ve q asalları seçiyor ve onların N çarpımınıhesaplıyor: N= p·q. Sonra(p−1)(q−1) ile aralarında asal olane sayısını belirliyor. p ve q gizli tutulmasına karşın(N, e) ikilisi alıcınınaçık adresi olarak ilan edilir.2) Gönderici göndereceği M sayısını şifrelemek için N ve e sayılarınıkullanıyor vey≡ M e (mod N)sayısını hesaplıyor. Yani M e kuvvetinin N’ye bölümünden kalanı hesaplıyor.Artık y şifreli (yanıltıcı) sayı oluyor.3) Gönderici y’yi açık biçimde kimseden saklamadan herhangi biryolla alıcıya gönderiyor. Alıcıe·d≡ 1 (mod (p− 1)(q−1))koşulunu sağlayan en küçük pozitif d sayısını hesaplıyor. Alıcı bu d sayısınıgizli tutuyor. d’yi hesapladıktan sonray d (mod N)sayısını hesaplayıp M’ye ulaşıyor, çünküy d (mod N)≡ M.Böylece alıcı, kendisine gönderilen M sayısını güvenli biçimde almış oluyor.Biraz karıştırdık. Hangileri açık, hangileri gizli oldu şimdi?N ve e sayıları açık, p, q ve d sayıları gizlidir. Bunların hepsinialıcı belirliyor.N = p·q sayısı açık olduğu için deneme-yanılmayla p ve qbulunamaz mı?İki tane üç basamaklı asal sayınınçarpımı olan633439sayısını çarpanlarına ayırın!

174 7 Şifreleme Kuramına Girişp ve q sayıları yüzlerce basamaklı olduğu için bu iş çok zordur.Hocam bir açık adres belirleyin, biz de size şifreli sayılar gönderelim.Siz bu şifreleri açıp hangi sayıları gönderdiğimizi bulunuz.Tamam. Benim açık adresim(15,3) olsun. 1 ile 15 arasındabir sayı seçin, onu şifreleyin ve bana şifrelenmiş sayılarınızıgönderin, ben de seçtiğiniz (şifrelenmemiş) sayılarınızı bulayım.Gökçe’den başlayalım.Benim bir uğurlu sayım var ve verdiğiniz(15,3) açık adresinegöre onun şifrelenmişi 7.Benim sayımın şifrelenmişi 12.Benimkinin şifrelenmişi 2.Benimkinin şifrelenmişi de 3.Ben şimdi biraz gizli hesaplar yaparak sizlerin gerçek sayılarınızıbulacağım.Gökçe’nin sayısı M= 13,Selçuk’un sayısı M= 3,Engin’in sayısı M= 8,Zeynep’in sayısı M= 12.Hocam şimdi gizliliği bırakıp bu sayıları beraber bulsak!Ben p= 3, q=5 seçtim. N= 3·5=15.(p− 1)·(q−1)=2·4=8 olduğu için 8 sayısıyla aralarındaasal olan e= 3’ü seçmiştim. Bundan dolayı(N, e)=(15,3) ikilisi benimaçık adresimdi. d sayısı olarake·d≡ 1 (mod 8)

RSA Yöntemi 175yani 3· d≡ 1 (mod 8)’den d= 3 buldum (9’un 8’e bölümünden kalan1’dir).Hocam d sayısı e’ye eşit çıktı. Bu bir tesadüf mü?Evet bir tesadüf. Biz küçük asal sayılarla çalıştığımız için böyleçıktı. Uygulamalarda e küçük sayı (örneğin 3), d ise çok büyüksayı çıkar.Sonra, d = 3 olduğundan sırasıyla bana gönderdiğiniz sayılarınüçüncü kuvvetlerinin(mod 15)’ini yani 15’e bölümünden oluşan kalanlarıbuldum:y= 7 için M ≡ 7 3 (mod 15)≡49· 7 (mod 15)≡ 49 (mod 15)·7 (mod 15)≡ 4·7 (mod 15)≡28 (mod 15)≡ 13 (mod 15),y= 12 için M ≡ 12 3 (mod 15)≡144·12 (mod 15)≡ 144 (mod 15)·12 (mod 15)≡ 9·12 (mod 15)≡108 (mod 15)≡ 3 (mod 15),y= 2 için M ≡ 2 3 (mod 15)≡ 8 (mod 15),y= 3 için M ≡ 3 3 (mod 15)≡ 27 (mod 15)≡ 12 (mod 15).Günümüzde RSA şifrelemesi için p ve q sayıları kaç basamaklıseçiliyor?512 bitlik yani 2 512 sayısına yakın sayılar olarak seçiliyor, buda yaklaşık olarak 150 basamaklı asal sayı demektir.Büyük sayıların büyük kuvvetlerinin modlarını hesaplamak gerekiyor.Biraz zor değil mi?Her bir sayı 2-lik tabanda yazılabilir.Örneğin,45= 32+8+4+1= 1·2 5 + 0·2 4 + 1·2 3+1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 ,99= 1·2 6 + 1·2 5 + 0·2 4+0·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1+1·2 0 .Kuvvetlerin modüllerini hesaplamakiçin kuvvetteki sayı2-lik tabanda yazılır, sonraüslü sayı çarpanlara ayrılır.Örneğin, 13 21 (mod 11)üslü sayısı13 21 = 13 24 +2 2 +2 0= 13 24· 13 22· 13 20şeklinde yazılır, sonra13 2i−1 2= 132 iformülünden yararlanılıpmodül hesaplanır:13 20 ≡ 13 1 ≡ 2 (mod 11)13 21 ≡ 2 2 ≡ 4 (mod 11)13 22 ≡ 4 2 ≡ 5 (mod 11)13 23 ≡ 25≡3 (mod 11)13 24 ≡ 9 (mod 11)böylece13 21 ≡ 9·5·2≡ 90≡ 2 (mod 11)bulunur.

176 7 Şifreleme Kuramına GirişBu modülleri hesaplamak için kuvvetlerin kendilerini hesaplamayagerek yoktur. Zaten hesaplanması da çok zordur. AncakM e gibi bir kuvveti hesaplarken e üssü 2-lik tabanda yazılıp bilgisayarında yardımıyla kuvvetin modülü kolayca hesaplanır.SıraİkilikTabanASCIIKod0 00000000 NUL1 00000001 SOH2 00000010 STX...32 00100000 space33 00100001 !34 00100010 "35 00100011 #36 00100100 $37 00100101 %...59 00111011 ;60 00111100 63 00111111 ?64 01000000 @65 01000001 A66 01000010 B67 01000011 C...97 01100001 a98 01100010 b99 01100011 c100 01100100 d...122 01111010 z123 01111011 {...254 11111110 255 11111111Kelimelerle yazılmış metinler sayılara nasıl dönüştürülür?Bunun için çeşitli yöntemler vardır. En yaygın olan ASCII denilensistemdir. Bu sistemde her harfin (hem küçük hem debüyük), her noktalama işaretinin ve her sembolün 0 ve 1’lerden oluşan8 basamaklı (8 bitlik) bir ifadesi vardır. Şifre metni önce 0 ve 1’lerdenoluşan büyük basamaklı bir sayıya dönüştürülür, sonra sayı belli uzunluklu(örneğin 64-lük) bloklara ayrılır ve tekrar her blok 10-luk tabanadönüştürülerek sayılar elde edilir.Geçmişten Günümüze Kriptoloji: Kısa bir özetKriptolojinin ne zaman başladığı belli değil, ancak yazının bulunmasıylabaşladığı tahmin edilmektedir. Roma dönemindenkalma Jül Sezar şifrelemesine benzer kaydırma şifreleri ve harf sıralarınıdeğiştirme şifrelerine başka kültürlerde de rastlanmaktadır.9. yüzyılda Arap bilimadamı El-Kindi tarafından harflerin frekansanalizinin bulunması mevcut şifreleme yöntemlerini güvensiz hale getirmekteydive zorunlu olarak yeni şifreleme yöntemleri arayışına girildi.16. yüzyıldan başlayarak Vigenere şifresi kullanılmaya b a ş l a n d ı . B u ş i f -relemede bir anahtar sözcük seçiliyor ve bunun yardımıyla her harfinşifrelemesi alfabedeki farklı bir kaydırma ile yapılıyordu. Bu sayede frekansanalizinin uygulanması zorlaşıyordu.Böylece frekans analizinin uygulanmasıyla yenilgi yaşayan kriptograflarVigenere şifresinin bulunmasıyla üstünlük elde ettiler. Ancak 200yıla yakın güvenle kullanılan bu şifre de 1860 yıllarında kırılmış oldu.Herhalde kriptograflar yeni yöntemler aramaya başladılar.

Geçmişten Günümüze Kriptoloji: Kısa bir özet 17719. yüzyılın bitiminde telsiz keşfedildi ve bu keşif, haberleşmedebüyük avantajlar sağlasa da yeni sorunları getirmişoldu. Çünkü telsizin yayınlarını başkaları da yakalayabilirlerdi. Telsizlerinşifrelenmesi için birçok yöntem geliştirildi. I. Dünya Savaşı esnasındakriptanalistler bu şifrelerin kırılması için çok çalıştılar ve başarılı oldular.Savaşın kaderinin değişmesinde önemli bir rol oynadılar.Örneğin, o dönem Alman Dışişleri Bakanı Zimmerman’ın Meksikahükümetine 16 Ocak 1917’de gönderdiği telgrafın İngilizler tarafındanyakalanıp deşifre edilmesi, o zamana kadar tarafsız olan Amerika’nınsavaşa girme nedenlerinden biri oldu.Amerika gibi bir devletin savaşa girmesi de savaşın seyrini değiştirditabii.Evet. Artık kriptograflar kağıt kalemle yapılan şifreleme yöntemleriyerine şifre makinalarının bulunması gerekliliğini anladılar.Almanlar tarafından 1920’li yıllarda kullanılmaya başlananENIGMA şifreleme makinası bu tür makinalardandı.Alman ordusu, yaklaşık 20 yıl boyunca haberleşmeyi bu makinalarlasağladı. Ancak 2. Dünya Savaşı öncesi Polonyalı matematikçiler bu şifreninkırılabileceğini gösterdiler. 2. Dünya Savaşı sırasında da İngiliz matematikçilerdaha da zorlaştırılmış ENIGMA şifrelerini kırabildiler. Hiçşüphesiz bu da savaşın seyrini etkilemişti.Birçok kişi bu sayede II. Dünya Savaşının 2-3 sene daha kısaldığıgörüşünde birleşmektedir.Sonra da bilgisayar dönemi başladı.Evet. Bilgisayarın keşfi ve kullanımı şifrelemede bilgisayarlarınkullanımının yolunu açsa da, yeni güvenlik problemleriniortaya çıkarmış oldu. DES şifrelemesi, Diffie-Hellman anahtar değ i ş i m ialgoritması, RSA açık anahtarlı şifreleme sistemi gibi şifreleme yöntemleribulundu ki bunlardan en önemli ve en çok kullanılanı RSA yöntemidir.

178 7 Şifreleme Kuramına GirişDemek ki biz günümüzün en önemli şifreleme yöntemini öğrenmişolduk.Günümüzde kullanılan RSA sistemindeki p ve q sayıları 512bitlik asal sayılar olarak alınır. Bu da yaklaşık olarak 2 512 civarındabir sayı demektir. Şimdiki bilgisayarlar ile böyle iki farklı asalsayının çarpımı olan 1024 bitlik bir sayının çarpanlara ayırılması hemenhemen imkansızdır. Ancak geleceğin bilgisayarı denilen kuantum bilgisayarlarınınbu problemleri kolayca çözecekleri iddia edilmektedir ve bugerçekleşirse RSA güvenilirliğini kaybedecektir.Günlük yaşantımızdan bir örnekle bitirelim. Diyelim ki ATM’yekartınızı takıyorsunuz. ATM sizden şifre istiyor. Şifrenizin x=26470 olduğunu varsayalım. Ancak bankanın merkez bilgisayarında sizinisminizin karşısında bu sayı değil başka bir y sayısı durur. Bu y sayısışifreleme kullanılarak 26470 sayısından elde edilmiştir. Gerçek şifrenizolan 26470 sayısını tutmak risklidir, başkasının eline geçebilir.Kartı takıp şifre girdiğinizde, ATM onu bir y ′ sayısına çevirir. Bu y ′sayısı ve kart üzerindeki kişisel bilgileriniz telefon hatları üzerinden bankanınbilgisayarına ulaşır. y ′ sayısı orada tutulan y ile çakıştığında işlemyapmaya izin verilir. Yanıt yine telefon hattı üzerinden gelir. Bu gidipgelenşifre gerçek şifre olmadığından güvenlik de sağlanmış olur.Bir başkası 26470 yerine örneğin 62470 girse, bunun çevrildiği y ′sayısı, bankada tutulan y sayısı ile çakışmayacağından işleme izin verilmez.Banka benim girdiğim 26470 şifresini bilmiyor mu?Bilmiyor. Şifrenizi alıp, genel bir kural yardımıyla başka sayıyaçevirir. Şifreyi unuttuğumuzda banka size bilgisayardanyeni bir şifre gönderiyor.

Geçmişten Günümüze Kriptoloji: Kısa bir özet 179ÖzetBu ünitede asal sayılar ve modüler aritmetiğin uygulamaları olaraküç şifreleme yöntemi ele alındı:Doğrusal şifrelemede ebob(a, n)=1olmak üzere, şifreleme fonksiyonuş(x) = ax+b (mod n) şeklinde ve deşifre fonksiyonu ised(y)=c(y−b) (mod n) şeklinde tanımlanır. Burada c sayısı ac≡1 (mod n) denkliğini sağlamaktadır.p≥2asal bir sayı, e ise ebob(e, p− 1)=1koşulunu sağlayan birsayı olmak üzere, şifreleme fonksiyonu x e (mod p) ve deşifre fonksiyonuy d (mod p) ile tanımlı şifrelemeye kuvvet fonksiyonu ile verilenşifreleme denir. Burada d sayısı ed≡ 1 (mod p−1) koşulunu sağlamaktadır.RSA şifrelemesinde alıcı p ve q farklı asal sayılarını,ebob(e,(p− 1)(q−1))=1koşulunu sağlayan bir e sayısını veed≡ 1 (mod (p−1)(q−1))koşulundan da d sayısını seçiyor. p, q ve d alıcı için gizli anahtar,(N, e)ikilisi ise açık adres oluyor. Burada N= pq dur. Şifreleme fonksiyonux e (mod pq), deşifre fonksiyonu ise y d (mod pq)’dur.

180 7 Şifreleme Kuramına GirişOkuma ParçasıAl-Kindi’nin Frekans Analizi“... bir yoldan çözebilmek için matematik, kritpanaliz için gerekli olan matematik, ist ozofu olarak bilinen Al-Kindi’nin ‘ ’ ’ Al-Kindi’ Al-Kindi, bu kriptanaliz yöntemine frekans analizi... ‘A’ ‘E’ dir.... ”HARF Binde HARF Binde HARF BindeA 121 I 48 R 68B 25 107 S 28C 9 J 0,5 16Ç 10 K 47 T 31D 41 L 62 U 29E 95 M 37 Ü 15F 5 N 71 V 8G 13 O 22 Y 31 11 Ö 7 Z 14H 11 P 8Kaynak: Canan Çimen, Sedat Akleylek, , Kriptografi (s.29-31)

Çıkarın Kağıtları 181Çıkarın Kağıtları1. Doğrusal şifreleme fonksiyonuş(x)=3x+ 5 (mod 7)ile x = 4 sayısının şifrelenmişi aşağıdakilerdenhangisidir?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12. Doğrusal şifreleme fonksiyonuş(x)=2x+ 3 (mod 29)ise 15 sayısının şifrelenmişi aşağıdakilerdenhangisidir?A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 23. Doğrusal şifreleme fonksiyonuş(x)=4x+ 3 (mod 29)ile x= 20 sayısının şifrelenmişi aşağıdakilerdenhangisidir?A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 284. Deşifre fonksiyonud(y)=22(y− 3) (mod 29)ile y= 25 sayısının deşifresi aşağıdakilerdenhangisidir?A) 22 B) 21 C) 20 D) 19 E) 185. Kuvvet fonksiyonuyla şifrelemedep= 13, e=5olsun. M= 6 sayısının şifrelenmişi aşağıdakilerdenhangisidir?6. Kuvvet fonksiyonuyla şifrelemedep= 11, e= 3olsun. M= 5 sayısının şifrelenmişi aşağıdakilerdenhangisidir?A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 57. Kuvvet fonksiyonuyla şifrelemedep = 11, e = 3 ise deşifre fonksiyonu aşağıdakilerdenhangisidir?A) d(y)= y 3 (mod 11)B) d(y)= y 7 (mod 11)C) d(y)= y 5 (mod 11)D) d(y)= y 11 (mod 11)E) d(y)= y 4 (mod 11)8. RSA şifrelemesi kullanan alıcının açıkadresi(33,3) olsun. M= 5 sayısının bu açıkadrese göre şifrelenmişi aşağıdakilerden hangisidir?A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 279. RSA şifrelemesi kullanan alıcı p = 3,q= 7 ve e= 5 sayılarını seçmiştir. Ona gönderilecekşifreli sayıyı okumak için gereken gizlid sayısı aşağıdakilerden hangisidir?A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 1110. RSA şifrelemesi kullanan alıcı p = 3,q= 11 ve e=3 sayılarını seçmiştir. Ona gönderilecekşifreli sayıyı okumak için gerekengizli d sayısı aşağıdakilerden hangisidir?A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

182 7 Şifreleme Kuramına GirişÇözümler1.ş(4)=3·4+5 (mod 7),17≡3 (mod 7)olduğundan ş(4)=3 olur. Doğru cevap A şıkkıdır.2.ş(15)=2·15+3 (mod 29),33≡4 (mod 29)olduğundan ş(15)=4olur. Doğru cevap D şıkkıdır.7.p− 1=11−1=10,3· d≡ 1 (mod 10)olduğundan d= 7 olarak bulunur (3·7= 21’in10’a bölümünden kalan 1’dir). Deşifre fonksiyonud(y)= y 7 (mod 11)olur. Doğru cevap B şıkkıdır.8.ş(5) = 5 3 (mod 33),5 3 ≡ 26 (mod 33)3.ş(20)=(4·20+3) (mod 29),83≡25 (mod 29)(5 3 = 125’in 33’e bölümünden kalan 26’dır).Dolayısıyla ş(5)=26. Doğru cevap D şıkkıdır.9.olduğundan ş(20)=25’tir. Doğru cevap B şıkkıdır.4.d(25)=22·(25−3) (mod 29),22·22≡484≡20 (mod 29).Dolayısıyla d(25)= 20’dir. Doğru cevap C şıkkıdır.5.ş(x)= x e (mod p)= x 5 (mod 13),ş(6)=6 5 (mod 13),6 5 = 6 2·6 2·6≡10·10·6≡ 9·6≡2(mod 13).Dolayısıyla, ş(6)=2’dir. Doğru cevap E şıkkıdır.(p−1)·(q−1) = 2·6=12,5· d ≡ 1 (mod 12)denkliğinden d= 5 bulunur (25’in 12’ye bölümündenkalan 1’dir). Doğru cevap B şıkkıdır.10. (p−1)(q−1)=2·10=20 ve e=3olduğundan3· d≡ 1 (mod 20)alırız. Buradan d= 7 bulunur (21’in 20’ye bölümündenkalan 1’dir). Doğru cevap C şıkkıdır.6.ş(x) = x 3 (mod 11),ş(5) = 5 3 (mod 11),125 ≡ 4 (mod 11)olduğundan ş(5)=4. Doğru cevap A şıkkıdır.

Oyunlar Kuramına Giriş8.MATEMATİK 2ÜNİTEBen bu oyunlarkuramını iyi öğrenirsemkumarhanelerdeiyi paralar kazanabilirmiyim?STRATEJİAŞAĞI DEĞERDENGE İKİLİSİKAZANÇ FONKSİYONUYUKARI DEĞERTUTUKLU İKİLEMİMİNİMAKS-MAKSİMİN

184 8 Oyunlar Kuramına GirişG i r i şMerhaba değerli arkadaşlar. Bugünkü dersimizin konusu oyunlarkuramıdır. Bu derste biz oyunlar kuramı hakkında en temelbilgileri vermeyi amaçlıyoruz. Oyun dediğimizde ilk akla gelenlertavla, dama, satranç, briç, poker vs. gibi oyunlardır. Ancak oyunlar kuramınınüzerinde durduğu problemler daha çok ekonomi, biyoloji, harpgibi alanlardandır. Bu problemlerde farklı amaçları olan taraflar (oyuncular)söz konusu olmaktadır. Oyunlar kuramı rekabet, karşıdurma içerenolayları matematiksel yöntemlerle incelemektedir.Şekil 8.1: George Bingham- DamaOyuncuları-1850.Ben bu oyunlar kuramını iyi öğrenirsem kumarhanelerde iyiparalar kazanabilir miyim?O tür oyunların fazla matematiği yoktur. Orada matematiksadece oyunlardaki beklentileri, yani çok defa oynadığındakazanıp-kazanmayacağını hesaplamada işe yarayabilir. Bu beklentilerise genelde negatiftir. Kumarhanelerden kazandığı paralarla kimse zenginolmamıştır ve dolayısıyla eğer oraya gidersen büyük ihtimalle cebindekiparaları da koyup çıkarsın.Yukarıda söylendiği gibi oyunlar kuramı rekabet, karşıdurma,mücadele içeren olayların matematiksel modellerini ele almaktadır.Oyuncuların (tarafların) ellerindeki bilgiler, oyuncular arasındakimünasebetler, tek veya çok hamle vs. durumlarına göre oyunlarınçeşitleri vardır. Ancak biz en basit oyun modelini ele alacağız. Bu modeldeoyuncular, onların ellerindeki strateji kümeleri ve her bir oyuncununkazanç fonksiyonu vardır. Bu fonksiyonlar strateji kümeleri üzerindetanımlıdırlar. Yani her bir oyuncu tek hamle ile aynı anda birer stratejiseçtiğinde bu stratejilere bağlı olarak her oyuncunun kazanç fonksiyonubelli bir değer almaktadır. Oyuncu öyle bir strateji seçmelidir kikazanç fonksiyonu (kazancı) maksimum olsun.Bu matematiksel probleme neden oyun denir?

185Çünkü, oyunlarda olduğu gibi burada da1) Belli bir kural söz konusudur.2) Her bir oyuncunun kazancı bir tek kendi seçtiği stratejiye bağlıolmayıp, diğer oyuncuların seçtikleri stratejilere de bağlıdır.3) Her bir oyuncu strateji seçerken diğer oyuncuların strateji kümelerini,kazanç fonksiyonlarını biliyor ancak hangi stratejiyi seçeceğinibilmemektedir.Bu özellikler, her bir taraf için en iyi strateji seçme problemine butaraflar arasında bir oyun karakteri vermektedir.Oyuncuların tek hamle yaptıklarını tekrar vurgulayalım. Karma stratejilerkullanılırken oyunların tekrarlanması varsayılmaktadır. O konularagirmeyeceğiz.Strateji, kazanç fonksiyonu derken kafamız karıştı hocam, birörnek verseniz.Taş, makas, kâğıt oyununu biliyorsunuzdur herhalde.Yoksa oyun mu oynayacağız hocam?Neden olmasın. Ama bu oyun yardımıyla kavramları açıklamayaçalışalım. Şimdi oyunun kurallarını bir hatırlayalım.Çocukken çok oynamıştık. İki kişi ile oynanan bir oyundu. İkikişi aynı anda taş, makas veya kâğıttan birini seçip söyler. Kurallarıise şöyledir: kâğıt taşı sarar, makas kağıdı keser ve taş da makasıkırar.Bu oyunu Zeynep ile Gökçe’nin oynadığını varsayalım. Bunagöre de her birinin seçtiği stratejiye göre elde edecekleri getirilerihesaplamaya çalışalım.

186 8 Oyunlar Kuramına GirişZeynep’in seçeneklerine bakarsak “taş”, “makas” veya “kâğıt”diyebilir. Buna göre Zeynep’in strateji kümesine X dersek,X={taş, makas, kâğıt}olur. Benzer durumda Gökçe’nin strateji kümesine de Y dersek bu kümedeY={taş, makas, kâğıt}olacaktır. Şimdi her birinin seçimine göre getirilerini hesaplayalım.Zeynep’in taş dediğini varsayalım. Bu durumda Gökçe de taşderse her ikisi sıfır puan alsın. Diğer bir ifadeyle getirileri 0olsun.Eğer Gökçe makas dediyse taş makası parçalayacağından Zeynep’ingetirisi 1, Gökçe’nin getirisi−1 olsun. Eğer Gökçe kağıt derse kâğ ı t t a ş ısardığından Zeynep’in getirisi−1, Gökçe’nin getirisi 1 olsun.Hocam bunu bir tablo şeklinde göstersek daha iyi olmaz mı?Evet Zeynep. Senin taş demen durumunda, getiri tablosunuGökçeZeynepTT M K(0,0)(1,−1)(−1,1)şeklinde yazalım. Burada örneğin(1,−1) ikilisi şunu temsil ediyor: Zeyneptaş ve Gökçe makas dediğinde, Zeynep’in getirisi 1 ve Gökçe’ningetirisi−1’dir.Zeynep’in makas dediğini varsayarsak da şöyle gösterebiliriz:GökçeZeynepMT M K(−1,1)(0,0)(1,−1)Ayrı ayrı yazarsak yandık. Bari hepsini bir tabloda gösterelim.

187ZeynepBravo Selçuk. Zeynep’in kâğıt demesi durumunda üçüncü satırıda yazarak hepsini birleştirirsek,GökçeTMKT M K(0,0) (1,−1)(−1,1)(−1,1) (0,0) (1,−1)(1,−1)(−1,1) (0,0)şeklinde bir tablo elde ederiz. Bu tabloya oyunun matrisi diyeceğiz. Yalnızşuna dikkat edelim ki, bu matrisin elemanları birer sayı değil, birersayı ikilileri. İkilinin birinci terimi Zeynep’in getirisini, ikinci terimide Gökçe’nin getirisini gösteriyor. Bütün ikililer için getirilerin toplamı,yani ikilinin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı sıfırdır. Bu nedenle buoyuna sıfır toplamlı bir oyun denir.Bu oyunu kim kazanır hocam?Stratejilerin birbirlerine göre bir avantajı olmadığından çokdefa oynandığında oyuncular bu stratejileri aşağı yukarı eşitsayıda yani rastgele seçmelidirler. Dolayısıyla çok defa oynanırsa oyuntoplamda berabere biter.Hocam, bu oyunun sıfır toplamlı olduğunu söylediniz. Sıfırtoplamlı olmayan oyunlar da var mı?Oyunlar kuramında sıfır toplamlı olmayan oyunlar önemli yertutmaktadır. Bu kuramın klasik bir örneği olan “Tutuklu İkilemi”oyununu ele alalım. Polis bir cinayetin iki kişi tarafından birliktei ş l e n d ğinden şüphelenmektedir. Bu şüpheliler ayrı odalarda polis tarafındansorgulanıyor. Her iki tutuklunun iki stratejisi vardır: susmakveya cinayeti birlikte işlediklerini itiraf etmek. Susma stratejisine S, itirafetme stratejisine İ dersek her iki tutuklunun stratejiler kümesi{S,İ}olmaktadır.Yasalar gereği alacakları cezalar şöyledir ve şüpheliler de bu cezalarıbilmektedirler:- Her ikisi de susar ise cinayet kanıtlanmamış olur ve şüpheliler ruhsatsızsilah bulundurmaktan birer yıl ceza alır.- Biri susar diğeri beraber yaptıklarını itiraf ederse susan kişi 10 yılceza alır, itiraf eden kişi ise polise yardım ettiği için serbest kalır.- Her ikisi de itiraf ederse, her biri 6 yıl ceza alır.

188 8 Oyunlar Kuramına GirişBu oyunun da matrisini yazalım. Her bir oyuncunun iki stratejisiolduğu için bu matris 2×2 boyutlu olacaktır.Aferin Gökçe. Tutuklular alacakları cezayı azaltmaya çalış a -cakları ve oyunların genel tanımı gereği oyuncular getirilerinimaksimize etmeye çalıştıkları için cezaları negatif sayılar olarak yazalım.Örneğin tutuklular birer yıl ceza alıyorlarsa onların getirilerinin(−1,−1) ikilisiyle verilmesi uygundur.Hocam, o zaman oyunun matrisiniII. Tutuklu⎡SI. Tutuklu ⎣İşeklinde yazabilir miyiz?S İ(−1,−1) (−10,0)(0,−10) (−6,−6)⎤⎦Evet. Matristeki ikililerde birinci terim I. tutuklunun, ikinciterim ise II. tutuklunun alacağı cezayı ifade ediyor. Bu ikililerdebirinci terimle ikinci terimin toplamı sıfır olmadığı için bu bir sıfırtoplamlı olmayan oyundur.Hocam, bir oyunun sıfır toplamlı olması için matristeki tümikililerde birinci terimle ikinci terimin toplamı sıfır mı olmalıdır?Evet, bu özellik tüm ikililer için sağlanmalıdır.Bu oyunda tutukluların hangi stratejiyi, susmayı mı yoksa itirafetmeyi mi seçmesi mantıklıdır?Gökçe istersen bunu Selçuk’a soralım. Selçuk, I. tutuklununyerinde olsaydın neyi seçerdin?

İki Kişilik Sonlu Oyun 189I. tutuklunun yerinde olmak istemezdim, ancak ben olsaydımsusmayı tercih ederdim. Çünkü II. tutuklu da susarsa birer yılceza alırız.II. tutuklunun susacağını nereden biliyorsun? O bağımsız hareketediyor ve aranızda hiçbir anlaşma ve iletişim yok. Dolayısıylaitirafı da seçebilir. O zaman sen, yani I. tutuklu 10 yıl ceza alırsın.Yani sessiz kalırsan ve o itiraf ederse pişman olursun. Sonradan pişmanolmaman için itirafı seçmen daha mantıklıdır.Aynı mantık II. tutuklu için de geçerlidir.Görüldüğü gibi her iki tutuklu için itirafı seçmek daha mantıklıdır,çünkü bu bir savunma stratejisidir. Bu sayede 6 yılıgöze alıp 10 yıl ceza almaktan kurtulmuş olurlar.Her ne kadar sessiz kalmak daha iyi görünse de bu yöntemsonradan pişman olmamak için itirafa zorluyor.Buradaki ikilem, daha az ceza almak varken diğerine güvenemediğive iletişimleri de olmadığı için tutukluların kötününiyisi deyip itirafı seçmeye zorlanmasıdır.Tutukluların en iyi stratejisi(İtiraf, İtiraf) olmalıdır.İki Kişilik Sonlu OyunBöylece birisi iki kişilik sıfır toplamlı, diğeri ise iki kişilik sıfırtoplamlı olmayan oyun örnekleri görmüş olduk.Bu örneklerde:1) Oyuncuların strateji kümeleri sonlu kümelerdi.2) Oyunlar matrislerle verilebiliyordu. I. oyuncu matrisin satırını, II.oyuncu ise sütununu seçiyordu. Bu satır-sütunların kesişimindekiikilide birinci terim I. oyuncunun, ikinci terim ise II. oyuncunungetirisi oluyordu. Her iki oyuncu kendi getirisini maksimize etmeyeçalışıyordu.

190 8 Oyunlar Kuramına GirişBu örneklerden yola çıkıp iki kişilik sonlu oyunun tanımınıverebiliriz.X= x 1 , x 2 ,...,x nkümesi I. oyuncunun,Y= y 1 , y 2 ,...,y mkümesi ise II. oyuncunun stratejileri kümesi olsun.Örneklerden de görüldüğü gibi bu kümeler sayı kümeleri olmak zorundadeğildirler.Taş-Makas-Kâğıt oyununda X = Y = {Taş, Makas, Kâğıt}ve n = m = 3’tür. Tutuklu ikilemi oyununda X = Y ={Susma, İtiraf}, n= m=2’dir.İki kişilik sonlu oyun (8.1)matrisiyle verilir. Oyunla ilgilitüm bilgiler bu matristetoplanmıştır.I. oyuncuya satır oyuncusu,II. oyuncuya sütun oyuncusudenir. I. oyuncu i. satırı,II. oyuncu j. sütunu seçerseI. oyuncu a ij , II. oyuncu iseb ij kazanır.I. oyuncu X kümesinden herhangi x i stratejisini (i= 1,...,n),II. oyuncu Y kümesinden herhangi y j stratejisini (j= 1,...,m)seçtiklerinde I. oyuncunun kazancı a ij , II. oyuncunun kazancı b ij olsun.O zaman sonlu oyun bir tablo ile verilebilir. Bu a ij ve b ij sayılarından(a ij , b ij ) ikililerini oluşturup bir tablo yazalım:⎡ ⎤(a 11 , b 11 )(a 12 , b 12 ) ··· (a 1m , b 1m )(a 21 , b 21 )(a 22 , b 22 ) ··· (a 2m , b 2m )⎢. . (8.1)⎣. . .. . ⎥⎦(a n1 , b n1 )(a n2 , b n2 ) ··· (a nm , b nm )Bu tabloya oyunun matrisi denir.Artık bu oyunla ilgili ne varsa hepsi bu tabloda toplanmıştır:I. oyuncu bu tabloda bir satır, diyelim ki i. satırı, II. oyuncu aynı andabu tabloda bir sütun, diyelim ki j. sütunu seçiyor. i. satır ile j. sütununkesişimindeki(a ij , b ij ) sayı ikilisinde a ij sayısı I. oyuncunun, b ij ise II.oyuncunun kazancı olur. Bu sayılar negatif de olabilir. Negatif kazançaslında kayıptır. Terminoloji açısından ona da kazanç denir.Hocam, x 1 , x 2 ,..., y 1 , y 2 ,... stratejileri nereye gitti, onlarmatriste gözükmüyor.

Sıfır Toplamlı Oyunda Denge 191Matriste gözükmese de a ij , b ij sayılarını onlar belirliyorlar. I.oyuncunun i. satırı seçmesi onun x i stratejisini seçmesi demektir.II. oyuncunun j. sütunu seçmesi onun y j stratejisini seçmesidemektir.Eğer (8.1) matrisinde her(a ij , b ij ) ikilisinde a ij + b ij = 0 isebu oyuna sıfır toplamlı oyun denir.Sıfır toplamlı oyunlarda b ij =−a ij olduğu için onların matrisgösteriminde b ij ’leri yazmayabiliriz.Tanım (8.1) matrisi ile verilmişolan iki kişilik oyundaher(a ij , b ij ) ikilisinde a ij +b ij = 0 ise bu oyuna sıfır toplamlısonlu oyun denir.İki kişilik sıfır toplamlı sonluoyunlara matris oyunları dadenir.Evet doğrudur. b ij =−a ij olduğu için II. oyuncunun b ij ’yibüyütmesi onun a ij ’yi küçültmesine dönüşür.Böylece, iki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyun bir n× m boyutlu⎡ ⎤a 11 a 12 ··· a 1ma 21 a 22 ··· a 2m⎢ . (8.2)⎣. . .. . ⎥⎦a n1 a n2 ··· a nmmatrisle verilir. I. oyuncu satır seçerek büyük eleman, II. oyuncu isesütun seçerek küçük eleman elde etmeye çalışmaktadır.Örneğin,⎡ ⎤⎣ 2 −2 1 ⎦4 3−2matrisiyle verilmiş bir oyun iki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyundur. I.oyuncu satır oyuncusudur (satır seçiyor) ve iki stratejisi vardır, II. oyuncuise sütun oyuncusudur (sütun seçiyor) ve üç stratejisi vardır.Sıfır Toplamlı Oyunda DengeSıfır toplamlı sonlu oyun (8.2) matrisiyle verilsin. Sizce I.oyuncu hangi satırı, II. oyuncu hangi sütunu seçmelidir?

192 8 Oyunlar Kuramına GirişBu seçim matristeki sayılara bağlı değil mi?Haklısınız. O zaman bir örnek üzerinde çözüm kavramını yanien iyi strateji kavramını anlamaya çalışalım. Burada çözümiçin denge denilen strateji çiftinin olmasının çok önemli olduğunu göreceğiz.İki kişilik sıfır toplamlı bir oyun⎡ ⎤4 −3 −1 0⎢⎣5 4 2 3⎥⎦−1 3−2 −6matrisiyle verilsin.I. oyuncu maksimizasyon yapıyor ve satır seçiyor,II. oyuncu minimizasyon yapıyor ve sütun seçiyor.I. oyuncu1. satırı seçtiğinde{4,−3,−1,0} sayılarının en küçüğü olan−3,2. satırı seçtiğinde{5,4,2,3} sayılarının en küçüğü olan 2,3. satırı seçtiğinde{−1,3,−2,−6} sayılarının en küçüğü olan−6getirilerini garanti eder. Maksimizasyon yaptığı için I. oyuncu 2. satırıseçmekten yana olacaktır. Bunu seçtiğinde garantilemiş olduğu getiri enbüyük olur. Bu getiri 2’dir. Bu stratejiye I. oyuncunun maksimin stratejisi,2 sayısına ise oyunun aşağı değeri denir.Herhalde II. oyuncu için de benzer şeyler geçerlidir.II. oyuncu1. sütunu seçtiğinde{4,5,−1} sayılarının en büyüğü olan 5,2. sütunu seçtiğinde{−3,4,3} sayılarının en büyüğü olan 4,3. sütunu seçtiğinde{−1,2,−2} sayılarının en büyüğü olan 2,4. sütunu seçtiğinde{0,3,−6} sayılarının en büyüğü olan 3kayıplarını garanti eder. Minimizasyon yaptığı için II. oyuncu 3. sütunuseçmekten yana olacaktır. Bunu seçtiğinde garantilemiş olduğu kaybı en

Sıfır Toplamlı Oyunda Denge 193az olur. Bu kayıp 2’dir. Bu stratejiye II. oyuncunun minimaks stratejisi,2 sayısına ise oyunun yukarı değeri denir.Hocam bu sayılar, yani aşağı değer ile yukarı değer eşit çıktı.Evet eşit çıktı, eşit olması dengenin olması demektir.Yaptığımız işlemleri matris üzerinde gösterelim. Her satırınsağına o satırın en küçüğünü, her sütunun altına o sütununen büyüğünü yazalım:⎡ ⎤4 −3 −1 0 →−3⎢⎣5 4 2 3⎥⎦→ 2−1 3−2 −6 →−6↓↓↓↓5 4 2 3Oyuncunun denge stratejisiniseçmesindeki mantık“bunu seçeyim, yoksa dahada kötü olabilir” mantığıdır.maks{−3,2,−6}=2, min{5,4,2,3}=2. Bu gösterimlerde “min” sembolü“en küçük”, “maks” sembolü ise “en büyük” anlamındadır.Bu 2 sayısı bulunduğu 2. satırda en küçük, bulunduğu 3. sütundaise en büyüktür.Evet Selçuk. Bu da zaten dengenin tanımıdır. Eğer matristeöyle bir eleman varsa ki bu eleman bulunduğu satırda en küçük,bulunduğu sütunda ise en büyükse bu elemanın bulunduğu satırsütunnumaralarına denge ikilisi denir. Bu örnekte(2. satır, 3. sütun)denge ikilisidir.Bunu genel bir tanım olarak verebilir miyiz?Genel tanımı vermeden önce bu örnek üzerinde dengeyi tartı ş a l ı m I. . oyuncu, denge stratejisi olan 2. satırı seçmesi durumunda2 getirisini garantilemişti.

194 8 Oyunlar Kuramına GirişMaksimin stratejisi nedir?Bir matris oyununda, yani ikikişilik sıfır toplamlı sonlu biroyunda, I. oyuncu her satırınkarşısına o satırdaki enküçük sayıyı yazar. Sonra busayılar içinde en büyük olanınıbelirler. Bu sayıya matrisoyununun aşağı değeri denir.Oyuncu sonra da bu aşağıdeğerin bulunduğu satırı seçer.Bu seçime I. oyuncununmaksimin stratejisi denir.Minimaks stratejisi nedir?Bir matris oyununda II.oyuncu her sütunun altınao sütundaki en büyük sayıyıyazar. Sonra bu sayılar içindeen küçük olanını belirler. Busayıya matris oyununun yukarıdeğeri denir. Oyuncusonra da bu yukarı değerinbulunduğu sütunu seçer. Buseçime II. oyuncunun minimaksstratejisi denir.Evet. I. oyuncu 4 kazanayım diye 1. satırı seçerse, II. oyuncunundengede yani 3. sütunda kalması durumunda I.’ninkazancı−1 olur. Yani azalır.I. oyuncu 3 kazanayım diye 3. satırı seçerse, II. oyuncunun yinedengede kalması durumunda I.’nin kazancı−2 olur, yine azalır.Dolayısıyla denge varsa I. oyuncunun denge stratejisi yerinebaşka bir strateji seçmesi ona fayda getirmez.Herhalde aynı şey II. oyuncu için de geçerlidir. II. oyuncudenge stratejisi olan 3. sütunu seçmesi durumunda 2 kaybınıgarantilemişti. Az kaybedeyim diye denge stratejisi olan 3. sütun yerine:1. sütunu seçerse I. oyuncu dengede yani 2. satırda kalacağı için II.oyuncu 5 kaybeder.2. sütunu seçerse 4 kaybeder.4. sütunu seçerse 3 kaybeder.Dolayısıyla II. oyuncunun da denge stratejisi yerine başka stratejiseçmesi ona fayda getirmez.Bu örnekten görüldüğü gibi denge ile ilgili iki özellik ortayaçıkmış oldu:I. oyuncunun maksimin,II. oyuncunun minimaksstratejilerine onlarınsavunma stratejileri denir.1) Matriste öyle bir eleman vardır ki bu eleman bulunduğu satırdaen küçük, bulunduğu sütunda ise en büyüktür. Bu elemanın bulunduğusatır-sütun numaraları denge ikilisi olur.2) Oyunun aşağı değeri yukarı değerine eşittir. Bu durumda maksiminminimaksstratejileri denge ikilisi olur.Matrisler kuramında bu iki özellikten birisi matris oyununda dengenintanımı olarak alınabilir.O zaman sıfır toplamlı sonlu oyunlarda bu iki özellik denktir,yani biri diğerinden elde edilebilir demek mi istiyorsunuz?

Sıfır Toplamlı Oyunda Denge 195Evet. Şimdi isterseniz genel tanıma geçelim.Tanım Bir oyunun matrisi⎡⎢⎣ile verilsin. Eğer bir(i ∗ , j ∗ ) ikilisi için⎤a 11 a 12 ··· a 1ma 21 a 22 ··· a 2m... ... .. ⎥⎦a n1 a n2 ··· a nma i ∗ j≥ a i ∗ j ∗≥ a ij ∗ (8.3)eşitsizliği her i ve j için sağlanıyorsa(i ∗ , j ∗ ) ikilisine oyunun denge ikilisidenir.Bu tanımın yukarıdaki özelliklerle ne bağlantısı var?(8.3)’e göre a i ∗ j ∗ elemanı i∗ satırında bulunmaktadır ve bulunduğusatırda en küçük elemandır (a i ∗ j≥ a i ∗ j∗ olduğu için);diğer yandan a i ∗ j ∗ elemanı j∗ sütununda bulunmaktadır ve bulunduğusütunda en büyük elemandır (a i ∗ j ∗≥ a ij∗ olduğu için).Oyunun matrisinde her satırın sağına o satırın en küçüğünü,her sütunun altına da o sütunun en büyüğünü yazalım. i. satırdakien küçük elemana a i , j. sütundaki en büyük elemana da y j diyelim.⎡ ⎤a 11 a 12 ··· a 1m → a 1a 21 a 22 ··· a 2m→ a 2⎢ . ⎣. . .. . ⎥⎦.a n1 a n2 ··· a nm → a n↓ ↓ ··· ↓y 1 y 2 ··· y mO zaman maks{a 1 , a 2 ,...,a n } = a sayısına oyunun aşağı değeri,min{y 1 , y 2 ,...,y m }= y sayısına da oyunun yukarı değeri denir.a 1 , a 2 ,..., a n , sayılarının en büyüğünün i 0 indisine I. oyuncununmaksimin stratejisi,y 1 , y 2 ,..., y m , sayılarının en küçüğünün j 0 indisine II. oyuncununminimaks stratejisi denir.

196 8 Oyunlar Kuramına GirişDengenin olması aşağı değerin yukarı değere eşit olması, yania= y olması demektir. Bu durumda i 0 indisini i ∗ ve j 0 indisinij ∗ ile gösteriyoruz ve maksimin-minimaks stratejileri denge ikilisioluyor. a= y = a i ∗ j∗ değeri oyunun değeri oluyor. Oyuncular bukazanç-kayıp değerine razı oluyorlar ve denge stratejilerinden uzaklaşmalarıonlara fayda getirmiyor.Neden böyle oluyor hocam?Matris oyununda dengeninolması, aşağı değerin yukarıdeğere eşit olmasıdır.Oyunun aşağı değeri olan a sayısı bulunduğu satırda en küçük,yukarı değeri olan y sayısı bulunduğu sütunda en büyükve a= y olduğu için denge koşulu sağlanmış oluyor (bu sayı bulunduğusatırda en küçük, sütunda en büyük oluyor) ve bunları gerçekl e ş t i r e nsatır-sütun numaraları denge ikilisi oluyor. Örneğin⎡ ⎤−2 2−3 → −3⎢⎣3 4−4⎥⎦→−4−1 −2 −5 →−5↓↓↓3 4−3maks{−3,−4,−5}=−3, min{3,4,−3}=−3 olduğu için (1. satır, 3.sütun) denge ikilisidir.Dengenin Olması Neden Önemlidir?Arkadaşlar, matris oyununda dengeyi açıkladık. Dengenin olmasıdurumunda oyuncuların dengedeki stratejileri seçmelerininmantıklı olacağını, dengeden uzaklaşmalarının onlar için faydalıolamayacağını görmüş olduk. Peki denge yoksa oyuncular hangi stratejiyiseçmeliler?Denge yoksaI. oyuncu maksiminII. oyuncu minimaksgibi savunma stratejilerini seçip oynasınlar.

Dengenin Olması Neden Önemlidir? 197Bu iş sandığınız kadar açık değil. Örneğin⎡ ⎤1 4−3⎢⎣−1 0 3⎥⎦5 −2 1gibi bir matris oyununu ele alalım.⎡ ⎤1 4−3⎢⎣−1 0 3⎥⎦5 −2 1↓ ↓↓5 4 3→−3→−1→−2maks{−3,−1,−2}=−1, min{5,4,3}=3.I. oyuncunun maksimin stratejisi 2. satır, oyunun aşağı değeri−1II. oyuncunun minimaks stratejisi 3. sütun, oyunun yukarı değeri3’tür.Evet, I. oyuncu 2. satırı, II. oyuncu 3. sütunu seçsinler.Diyelim ki I. oyuncu 2. satırı seçti ve II. oyuncu da onunbu seçimini tahmin etti. O zaman II. oyuncu minimizasyonyaptığı için 3. sütunu değil, 1. sütunu seçmekten yana olur. Çünkü odurumda kaybı azalıp 3 yerine−1 olur.I. oyuncu da onun bu düşüncesini tahmin ederse maksimizasyonyaptığı için 2. satır yerine 3. satırı seçip kazancını−1’den 5’e çıkarır veböyle devam eder. Oyun içinden çıkılmaz hale gelir.Denge olması durumunda böyle bir durum ortaya çıkmıyor.Evet çıkmıyor. Oyuncunun dengeden uzaklaşması ona ancakzarar getirebilir.

198 8 Oyunlar Kuramına GirişSıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge⎡⎢⎣(a 11 ,b 11 ) ··· (a 1m ,b 1m )(a 21 ,b 21 ) ··· (a 2m ,b 2m ). .. ....(a n1 ,b n1 ) ··· (a nm ,b nm )⎤⎥⎦Sıfır toplamlı olmayan sonlu oyun (8.1) matrisiyle verilsin(size kolaylık olsun diye bu matrisi yandaki vitrine de koyduk).I. oyuncu satır, II. oyuncu sütun seçiyor.I. oyuncu i. satırı, II. oyuncu j. sütunu seçtiğinde bu satır-sütunlarınkesişimindeki(a ij , b ij ) ikilisinde birinci terim olan a ij sayısı I. oyuncunun,b ij sayısı ise II. oyuncunun kazancıdır.Oyuncular kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışıyorlar.İkililerde büyük-küçük kavramı olmadığı için sıfır toplamlılardageçerli olan satırda en küçük, sütunda en büyük tanımıburada geçersiz olacak herhalde.Evet, ancak sıfır toplamlı oyun sıfır toplamlı olmayan oyununözel halidir. Vereceğimiz yeni denge tanımı sıfır toplamlıoyundaki denge tanımının genelleşmesi olacak.(8.1) matrisi verilsin. Bir(i ∗ , j ∗ ) ikilisi içina i ∗ j ∗ ≥ a ij∗ her i içinb i ∗ j ∗ ≥ b i ∗ j her j için(8.4)eşitsizlikleri sağlanıyor ise(i ∗ , j ∗ ) ikilisine (8.1) oyunun (J. Nash anlamında)denge ikilisi denir.(8.4)’ün yorumu nasıl oluyor?I. oyuncunun a ij ’yi, II. oyuncunun b ij ’yi büyütmeye çalıştığınıhatırlayalım.(8.4)’deki a i ∗ j ∗≥ a ij ∗ eşitsizliği şunu ifade ediyor: Eğer I. oyuncu i∗ .satırı değil de bir başka i. satırı seçerse onun kazancı artmaz,b i ∗ j ∗≥b i ∗ j eşitsizliğine göre ise eğer II. oyuncu j ∗ . sütunu değil, birb a ş k a j. sütunu seçerse onun da kazancı artmaz.(8.4) eşitsizliklerine göre (i ∗ . satır, j ∗ . sütun) çiftinin denge ikilisiolması için bu satır ve sütunun kesişimindeki(a i ∗ j ∗, b i ∗ j ∗) ikilisinde a i ∗ j ∗sayısı, o sütunda birinci bileşenlerin içerisinde en büyük, b i ∗ j ∗ sayısı dao satırda ikinci bileşenlerin içerisinde en büyük olmalıdır.

Sıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge 199Tutuklu ikilemi oyununda(2. satır, 2. sütun)={İtiraf,İtiraf}stratejileri bu tanıma uymaktadır. Çünkü(−6,−6) ikilisindebirinci bileşen bulunduğu sütundaki birinci bileşenlerin maksimumu,ikinci bileşen de bulunduğu satırdaki ikinci bileşenlerin maksimumudur.Dolayısıyla (İtiraf,İtiraf) denge ikilisidir.En son olarak sıfır toplamlı olmayan⎛ ⎞(3,2)(4,4)(4,1)⎜⎝(4,1)(7,3)(5,2) ⎟⎠(2,0)(6,2)(8,1)oyununun denge stratejilerini bulalım.(7,3) ikilisinde 7 sayısı bulunduğu2. sütundaki birinci bileşenlerin en büyüğüdür (bu bileşenler 4, 7,6’dır). 3 sayısı da bulunduğu 2. satırdaki ikinci bileşenlerin en büyüğüdür(bu bileşenler 1, 3 ve 2’dir). Bundan dolayı(2. satır,2. sütun) dengeikilisidir.ÖzetBu ünitede iki kişilik sonlu oyunların temelleri ele alındı. Denge kavramı,denge çiftlerinin bulunması yöntemi verildi.Matris oyununda bir eleman bulunduğu sütunda en büyük, satırdaise en küçük eleman ise bu elemanın bulunduğu satır-sütun denge ikilisidir.Matris oyununda I. oyuncunun bir satırı seçtiğinde garantilenmişkazancı o satırın en küçük elemanı, II. oyuncunun bir sütunu seçtiğindegarantilenmiş kaybı o sütunun en büyük elemanıdır.Oyunun aşağı değeri satırların en küçük elemanları içerisinde en büyüksayı, oyunun yukarı değeri ise sütunların en büyük elemanları içerisindeen küçük olan sayıdır. Bunların eşit olması durumunda oyundadenge vardır.

200 8 Oyunlar Kuramına GirişOkuma Parçası stratejili olmayan oyun) vs. - Teoremi’nde sözü edilen karma stratejiler. - Ödülü, Teoremi’ni, -toplam olmayan, iki ya da daha bizi etkilemek için yan ödemeler yapabilirler. me dünya problemi için uygulanabilir bir çözüm sya-John F. Nash ölçüde

Çıkarın Kağıtları 201Çıkarın Kağıtları1. Matrisi⎡⎢⎣−1 1 −33 −2 04 2 1⎤⎥⎦6. Matrisi⎡⎢⎣1 4 −3 −2−1 0 3 −15 −2 1 4⎤⎥⎦olan sıfır toplamlı oyunun, eğer varsa, dengeikilisini bulunuz.2. Matrisi⎡⎢⎣4 −1 4 0−2 2 5 11 0 −3 3⎤⎥⎦şeklinde verilen oyunda I.oyuncu 2. satırı seçtiğindegarantilenmiş kazancı aşağıdakilerdenhangisidir?A)−2 B) 2 C) 5 D) 1 E) 03. Bir önceki matris oyununda oyunun aşağıdeğeri ve yukarı değeri kaçtır?4.⎡⎢⎣−45 1−12 −2⎤⎥⎦matris oyununda II. oyuncu 1. sütunu seçtiğindegarantilenmiş kaybı ile 2. sütunu seçtiğindegarantilenmiş kaybının toplamı aşağıdakilerdenhangisidir?A) 0 B) 1 C) 5 D) 6 E) 8olan oyunun aşağı değeri aşağıdakilerdenhangisidir?A)−3 B)−2 C)−1 D) 1 E) 07. Bir önceki matris oyununda oyunun yukarıdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 08. Matrisi⎡⎢⎣2 −4 0 −13 2 −3 1−4 1 2 0⎤⎥⎦olan oyunda oyuncuların maksimin-minimaksstratejileri nedir?9.⎡⎢⎣−3 2 4 −25 4 −4 1−2 0 −5 3⎤⎥⎦matris oyununda oyunun aşağı değeri aşağıdakilerdenhangisidir?A)−7 B)−6 C)−5 D)−4 E)−310. Bir önceki matris oyununda II. oyuncununminimaks stratejisi nedir?5. Matrisi⎡⎢⎣−1 5 −20 2 3−6 1 4⎤⎥⎦olan sıfır toplamlı oyunun, eğer varsa, dengeikilisini bulunuz.

202 8 Oyunlar Kuramına GirişÇözümler1. Her satırın karşısına en küçük elemanı,sütunların altına en büyük elemanı yazıp birincilerinmaksimumunu, ikincilerin minimumunubulalım:⎡ ⎤−1 1 −3⎢⎣3 −2 0⎥⎦4 2 1↓ ↓ ↓4 2 1→ −3→ −2→ 1maks{−3,−2,1}=1, min{4,2,1}=1. Sayılareşit (=1) çıktığı için bu 1’in bulunduğu (3.satır,3. sütun) denge ikilisidir. Şöyle de diyebiliriz:Bu 1 sayısı bulunduğu 3. satırda en küçük,bulunduğu üçüncü sütunda ise en büyüktür.2. 2. satırdaki{−2,2,5,1} sayılarının en küçüğüolan−2’dir. Doğru cevap A şıkkıdır.3. Her satırın karşısına bu satırın en küçükelemanını, her sütunun altına o sütunun enbüyük elemanını yazalım:⎡⎢⎣4 −1 4 0−2 2 5 11 0 −3 3↓ ↓ ↓ ↓4 2 5 3⎤⎥⎦→ −1→ −2→ −3sağdaki{−1,−2,−3} sayılarının en büyüğü(−1) sayısı oyunun aşağı değeri, alttaki{4,2,5,3} sayılarının en küçüğü olan 2 sayısıise oyunun yukarı değeridir.4. 1. sütun seçildiğinde garantilenmiş kayıp{5,−4,2} sayılarının en büyüğü olan5’tir. 2. sütun seçildiğinde garantilenmiş kayıp{1,−1,−2} sayılarının en büyüğü olan 1’dir.Cevap 5+1=6’dır. Doğru cevap D şıkkıdır.5. Her satırın karşısına o satırın en küçükelemanını, her sütunun altına bu sütunun enbüyük elemanını yazalım:⎡ ⎤−1 5 −2⎢⎣0 2 3⎥⎦−6 1 4↓ ↓ ↓0 5 4→ −2→ 0→ −6maks{−2,0,−6}=0, min{0,5,4}=0 olduğuiçin denge vardır ve 0’ın bulunduğu(2. satır,1. sütun) denge ikilisidir.6. Satırların en küçükleri−3,−1 ve−2’dir.Bu sayıların en büyüğü−1 olduğundan aşağıdeğer−1’dir. Doğru cevap C şıkkıdır.7. Sütunların en büyükleri 5, 4, 3 ve 4’tür.Bu sayıların en küçüğü 3 ve buradan da yukarıdeğer 3’tür. Doğru cevap B şıkkıdır.8.⎡⎢⎣2 −4 0 −13 2 −3 1−4 1 2 0↓ ↓ ↓ ↓3 2 2 1⎤⎥⎦→ −4→ −3→ −4maks{−4,−3,−4}=−3, min{3,2,2,1}=1.(2. satır, 4. sütun) çifti maksimin-minimaks stratejileriçiftidir.9. Satırların en küçükleri−3,−4 ve−5’tir.Bu sayıların en büyüğü olan−3 sayısı aşağıdeğerdir. Doğru cevap E şıkkıdır.10. Sütunların en büyükleri 5, 4, 4 ve 3’tür.Bu sayıların en küçüğü 3’tür. 3’ün bulunduğu4. sütun II. oyuncunun minimaks stratejisidir.

Kaynakça 203Kaynakça[1] G.C. Berresford, Applied Calculus, Houghton Mifflin Company, 1996.[2] M.L. Bittinger, D.J. Ellenbogen, Calculus and its Applications, Pearson Addison Wesley, 2008.[3] C. Çimen, S. Akleylek, E. Akyıldız, Şifrelerin Matematiği: Kriptografi, ODTÜ Yayınları, 2011.[4] J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography, Springer,2008.[5] N. Koblitz, A course in number theory and cryptography, Springer-Verlag, 1994.[6] L. Lovász, J.Pelikán, K. Vesztergombi, Discrete Mathematics, Springer-Verlag, 2003.[7] A. Nesin, Nash Dengesi, Matematik Dünyası, 2010-III.[8] M.N. Özer, D. Eser, Diferansiyel Denklemler (Teori ve Uygulamaları) , III.Baskı, Eskişehir, 2002.[9] K.H. Rosen, Elementary number theory and its applications, 4th ed., Reading, Addison-WesleyLongman, 2000.[10] A. Sabuncuoğlu (çeviri editörü), Genel Matematik, nobel Akademik Yayıncılık, 2011.[11] İ. Şıklar(Editör), İktisada Giriş, Açık Öğretim Fakültesi Yayınları, No:785, 2005.[12] Matematik Dünyası, Çizgeler Özel Sayısı, 2003.[13] TUİK haber bülteni, Sayı: 262, 2011.[14] E.S. Ventsel (çeviren H.Yüksel), Oyunlar teorisine giriş, TMD, İstanbul, 1965.[15] P. William, Prisoner’s dilemma: john von neumann, game theory and the puzzle of the bomb,Anchor boks, New York, 1993.[16] www.dersnotlari.net/kavramlar/lorenz.htm[17] tr.wikipedia.org/wiki/Antik_Mısır[18] www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook[19] data.worldbank.org

204 KaynakçaŞekil 2.8: en.wikipedia.org/wiki/LascauxŞekil 5.3: www.aparisguide.com/maps/metro.htmŞekil 5.20: www.cgvector.com/vector-electronic-circuit-board-close-upŞekil 5.28: www.telegraph.co.uk/sport/football/competitions/world-cup-2010/pictures/6670565/Fifa-World-Cup-match-balls-through-time.html?image=13Şekil 5.34: Brendan D. McKay, A note on the history of the four-colour conjecture,arXiv.org, 2012.Şekil 5.41: en.wikipedia.org/wiki/Arthur_CayleyŞekil 6.2: en.wikipedia.org/wiki/EratosthenesŞekil 6.5: www.encyclopedia.com/topic/Euclid.aspxŞekil 6.6: www.encyclopedia.com/topic/Carl_Friedrich_Gauss.aspxŞekil 7.1: ancienthistory.about.com/od/romeancientrome/ig/Ancient-Rome/Julius-Caesar.-3ye.htmŞekil 7.2: www.boiledbeans.net/2007/10/08/public-ize-thisŞekil 8.1: hoocher.com/George_Caleb_Bingham/The_Checker_Players_1850.jpgtr.wikipedia.org/w/index.php?title=Dosya:Orman.JPGen.wikipedia.org/wiki/Planimeteravm.gen.tr/media-market-kayseri-acilis.jpgbestuff.com/stuff/john-forbes-nash-jr

Dizin 205Dizinİntegralin Temel Teoremi, 22açık anahtar, 170ağaç, 125alt toplam, 9amaç fonksiyonu, 62Aritmetiğin Temel Teoremi, 134aritmetik ortalama, 24arz, 84aşağı değer, 192asal çarpan, 134asal sayı, 133aralarında asal, 137aşağı değer, 195bağımlı değişken, 32bağımlı değişken, 32başlangıç değer koşulu, 38başlangıç değer problemi, 38beklenti, 184belirli integral, 12belirsiz integral, 15bileşik sayı, 134bir bilinmeyenli doğrusal denklik, 149bölüntü, 9çizge, 104düzlemsel, 117eşlek (dual), 123iki kümeli, 119tam, 108tek parça, 115yalın (basit), 105çokgen bölge, 69Dört Renk Problemi, 122dedikodunun yayılması, 52değişken değiştirme, 21denge ikilisi, 193, 195derece, 107diferansiyel denklem, 32genel çözüm, 34özel çözüm, 34doğrusal eşitsizlik, 61doğrusal programlama problemi, 62, 70doğrusal şifreleme, 161döngü, 125en büyük ortak bölen, 135en küçük ortak bölen, 135ENIGMA, 177Eratosthenes kalburu, 138eşitsizlik sistemi, 61Euler formülü, 117frekans analizi, 176getiri, 185Gezgin Satıcı Problemi (GSP), 128Gini indeksi, 92, 93gizli anahtar, 170hamle, 184ilkel, 15karar değişkenleri, 62kazanç fonksiyonu, 184kenar, 104kısmi integrasyon, 19komşu nokta, 109

206 Dizinköşe noktası, 104kriptanaliz, 158kriptografi, 158Kruskal Algoritması, 126kuvvetin modülü, 175Lorenz Eğrisi, 89, 90maksimin strateji, 192, 195minimaks strateji, 193, 195modüler aritmetik, 143mutlak eşitlik doğrusu, 92Nash anlamında denge, 198Newton’un soğuma yasası, 45nüfustaki değişim, 39ortalama değer, 24oyunun matrisi, 187, 190piyasa fiyatı, 86problemin tanım kümesi, 65radyoaktif bozunma, 42RSA yöntemi, 170sıfır toplamlı oyun, 187, 191sınırlı büyüme, 50strateji, 184talebin fiyat esnekliği, 97talep, 82taş-makas-kağıt, 185toplam fayda, 82tutuklu ikilemi, 187tüketici rantı, 82, 83üretici rantı, 84, 85üst toplam, 9yukarı değer, 193, 195