matemat‹k-ıı

Radyoaktif Bozunma Hesabı 43Arkadaşlar size ilginç bir olay anlatayım. 1940’lı yıllarda tesadüfenkeşfedilen Fransa’nın Güney Dordogne bölgesinde bulunanLascaux Mağarası’nda paleolitik çağa ait pek çok duvar resimlerimevcuttur. Mağaradaki resimler yapılırken boya maddesi olarak doğalmalzemelerden elde edilmiş karışımların kullanıldığı belirlenmiştir.Araştırmacılar tarafından mağarada bir parça odun kömürü bulunmuşve siyah rengi vermek için odun kömürünün de kullanıldığı belirlenmiştir.Yapılan ölçümlerle odun kömüründeki C 14 miktarının başlangıçtakimiktarının %18’i kadar olduğu belirlenmiştir. Bu bilgiler yardımıylaodun kömürünün yaşını belirleyip duvarlardaki resimlerin yaşlarını hesaplayabiliriz.Hocam gerçekten çok ilginç. Mağaradaki duvar resimlerininyaşının diferansiyel denklemler ile hesaplanabileceğini hiç düşünmemiştim.Şekil 2.8: Lascaux Mağrası’ndanduvar resimleri.Matematik böyle birşey işte! Ne zaman karşımıza çıkacağıbelli olmaz. Arkadaşlar, daha önceki üstel fonksiyonlarla ilgilidersimizde C 14 atomlarının yarısının bozunması için 5715 yıl geçmesigerektiğini belirtmiştik. Tüm canlılar için C 14 ile C 12 oranının sabit olduğunubiliyoruz. Bu oran atmosferdeki C 14 miktarının C 12 miktarınaoranına eşit olup sabittir. Bir canlı öldüğünde C 12 miktarı sabit kalırkenC 14 miktarının azalmaya devam ettiği bilgisinden yararlanarak karbonyaşı hesaplanır. Odun kömürünün ana maddesi de ağaç olduğundan C 14miktarının C 12 miktarına oranı başlangıçta atmosferdeki orana eşittir.Bu oran başlangıç anında yani t= 0 anında y 0 olsun.dydt =−Kydiferansiyel denkleminin çözümünden herhangi bir t anındaki karbonoranını veren fonksiyonu y(t)=c 1 e −Kt olarak buluruz.Hocam buradaki c 1 ve K’nın değerlerini bulmak için ne yapacağız?Bunun için başlangıç verilerini kullanacağız. Burada t = 0için y= y 0 değerini fonksiyonda yerine yazarsak y 0 = c 1 e 0e ş i t ğinden l i c 1 = y 0 olur. Böylecey(t)=y 0 e −Kt