matemat‹k-ıı

162 7 Şifreleme Kuramına GirişPeki hocam, mod n ifadesinde n herhangi bir doğal sayı olabilirmi?Doğrusal şifrelemede n sayısı a ile aralarında asal olan herhangibir doğal sayı olabilir. Çoğu zaman n asal sayı olarakalınır.Eğer bir metni şifreliyorsanız metnin yazıldığı alfabeye göre (Türkçe,İngilizce vs.) ve metnin bölündüğü bloklara göre n sayısı seçilmektedir.Ancak yine de a sayısı ile aralarında asallık koşulunun sağlanması gerekmektedir.a ile n’nin aralarında asal olması, yani ebob(a, n)=1 olmasıneden önemlidir?gereklidir.Bu koşul şifrelenmiş sayının deşifre edilmesinde önemlidir,a· x≡ 1 (mod n) denkleminin x çözümünün olması içinŞimdi doğrusal şifrelemeye dönelim:ş(x)=ax+ b (mod n).x sayısı uzunluğu n olan bir alfabenin harflerini temsil ettiği için buradax∈{0,1,...,n−1} olmalıdır. a ve b sayılarından yukarıda bahsettik.Ş i m d in’ye gelelim. Doğrusal şifrelemeyi kullanıp x sayısının kolayca şifrelenebileceğinigördük. Ancak deşifre işlemi için ebob(a, n)=1 k o ş u l ugereklidir. Bu da ax≡1 (mod n) denklemiyle bağlantılıdır.ax≡1 (mod n) denklemi şifrelemede çok önemlidir. Burada atamsayı, n doğal sayı, x ise bilinmeyen bir tamsayıdır. a ve n verildiğindeöyle x tamsayısı arıyoruz ki ax sayısını n’ye böldüğümüzde kalan1 olmalıdır.Örneğin3x≡ 1 (mod 26)denklemini çözelim.Bu denklemin bir çözümünün x = 9 olduğu açıktır. Çünkü3·9=27 ve 27’nin 26’ya bölünmesinden kalan 1’dir.