matemat‹k-ıı

198 8 Oyunlar Kuramına GirişSıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge⎡⎢⎣(a 11 ,b 11 ) ··· (a 1m ,b 1m )(a 21 ,b 21 ) ··· (a 2m ,b 2m ). .. ....(a n1 ,b n1 ) ··· (a nm ,b nm )⎤⎥⎦Sıfır toplamlı olmayan sonlu oyun (8.1) matrisiyle verilsin(size kolaylık olsun diye bu matrisi yandaki vitrine de koyduk).I. oyuncu satır, II. oyuncu sütun seçiyor.I. oyuncu i. satırı, II. oyuncu j. sütunu seçtiğinde bu satır-sütunlarınkesişimindeki(a ij , b ij ) ikilisinde birinci terim olan a ij sayısı I. oyuncunun,b ij sayısı ise II. oyuncunun kazancıdır.Oyuncular kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışıyorlar.İkililerde büyük-küçük kavramı olmadığı için sıfır toplamlılardageçerli olan satırda en küçük, sütunda en büyük tanımıburada geçersiz olacak herhalde.Evet, ancak sıfır toplamlı oyun sıfır toplamlı olmayan oyununözel halidir. Vereceğimiz yeni denge tanımı sıfır toplamlıoyundaki denge tanımının genelleşmesi olacak.(8.1) matrisi verilsin. Bir(i ∗ , j ∗ ) ikilisi içina i ∗ j ∗ ≥ a ij∗ her i içinb i ∗ j ∗ ≥ b i ∗ j her j için(8.4)eşitsizlikleri sağlanıyor ise(i ∗ , j ∗ ) ikilisine (8.1) oyunun (J. Nash anlamında)denge ikilisi denir.(8.4)’ün yorumu nasıl oluyor?I. oyuncunun a ij ’yi, II. oyuncunun b ij ’yi büyütmeye çalıştığınıhatırlayalım.(8.4)’deki a i ∗ j ∗≥ a ij ∗ eşitsizliği şunu ifade ediyor: Eğer I. oyuncu i∗ .satırı değil de bir başka i. satırı seçerse onun kazancı artmaz,b i ∗ j ∗≥b i ∗ j eşitsizliğine göre ise eğer II. oyuncu j ∗ . sütunu değil, birb a ş k a j. sütunu seçerse onun da kazancı artmaz.(8.4) eşitsizliklerine göre (i ∗ . satır, j ∗ . sütun) çiftinin denge ikilisiolması için bu satır ve sütunun kesişimindeki(a i ∗ j ∗, b i ∗ j ∗) ikilisinde a i ∗ j ∗sayısı, o sütunda birinci bileşenlerin içerisinde en büyük, b i ∗ j ∗ sayısı dao satırda ikinci bileşenlerin içerisinde en büyük olmalıdır.