matemat‹k-ıı

Diferansiyel Denklemlerin Uygulaması 95Bu problemi çözmek için önce değişim oranını veren denklemibulmamız gerekiyor. y reklamı gören çocukların sayısını ve tzamanı göstersin. L,5−9 yaş grubundaki çocuk sayısı olsun. Bu takdirdereklamı görmemiş olan çocuk sayısı L− y olacaktır. Buna göre değ i ş i moranını gösteren denklemi,dydt= k(L− y)şeklinde yazabilirim.k sayısının orantı katsayısı ve denklemin de bir diferansiyeldenklem olduğunu söylemeyi unuttun Engin.Bu diferansiyel denklemin çözümü için bir de başlangıç koşuluverilmesi gerekir.Evet arkadaşlar. Reklamlar televizyonda dönmeye başladığındareklamı gören çocuk sayısı sıfır olduğundan t= 0 içiny= 0 değerini de başlangıç koşulu olarak alabiliriz. Diferansiyel denklemimizideğişkenlerine ayırırsakdyL− y= k·dtşeklinde yazabiliriz. Eşitliğin her iki tarafının integralini alırsak,∫dyL− y=∫kdt(−1) ln(L− y)+c 1 = kt+ c 2(−1) ln(L− y)= kt+ c 2 − c 1ln(L− y)=−kt− celde ederiz. c 2 −c 1 değeri de bir sabit olduğuna göre c 2 −c 1 yerine kısacac yazdık. Eşitliğin her iki tarafı e tabanında yazılırsa L− y = e −kt−cyani y=L−e −kt e −c bulunur. Şimdi başlangıç koşulunu kullanırsak e −csabitinin değerini bulabiliriz.