matemat‹k-ıı

Temel Teoremler 21∫dersek dudx = g′ (x) ya da du= g ′ (x)dx olur. Böylece integralbiçimine dönüşür. f(u)’nun bir F(u) ilkeli varsa∫f(u)duyff(u)du= F(u)+colur ve bu da∫f(g(x))g ′ (x)dx= F(g(x))+ cA(x)olduğunu verir. Buna integralde değ i ş k e n d ĕgiştirme denir.axbxTemel TeoremlerBuraya kadar belirli ve belirsiz integral alma teknikleri hakkındaaz da olsa bir fikir edindiniz. Şimdi de sürekli bir ffonksiyonu ile bu fonksiyonun grafiğinin sınırladığı alan arasındaki ilişkiyiinceleyelim.f sürekli bir fonksiyon ve[a, b] aralığı içindeki her bir x için f(x)pozitif olsun.[a, b] aralığı içindeki bir x için, f ’nin grafiği altında ve[a, x] aralığı üzerindeki alanı A(x) ile gösterelim. x değiştikçe A(x), x’inbir fonksiyonu olur. Bu durumda A ′ (x)= f(x) olur. Bunun doğruluğunuşöyle sezinlemeniz mümkündür:Şekildeki taralı alanı A(x) ile göstermiştik.∆x sıfıra çok yakın birsayı olsun.[a, b] içinde x’i∆x kadar hareket ettirelim. x+∆x noktasınagelelim. Bu durumda A(x) alanı çok az bir büyümeyle A(x+∆x)sayısına eşit olacaktır. Bu durumda A(x+∆x)−A(x) ince şeridin alanıolur. Bu şeridi çok çok küçük tuttuğumuzda alanının, yaklaşık olarak tabanı[x,x+∆x] aralığı ve yüksekliği[x, x+∆x] aralığı içindeki birk noktasının f(k) görüntüsü olan dikdörtgenin alanına eşit olduğunusöyleyebiliriz. Bu durumuŞekil 1.23: A(x) alan fonksiyonu.yfA(x)xa x byfA(x+∆x)−A(x)xax x+∆x bŞekil 1.24: A(x+∆x)−A(x) ş e -ridinin alanı.A(x+∆x)− A(x) ∼ = f(k)∆xyfbiçiminde yazalım. Ancak∆x→ 0 olduğunda f(k) değerleri f(x)’e yaklaşacaklardır.Bu da tam olarak;f(k)A ′ A(x+∆x)− A(x)(x)= lim = f(x)∆x→0 ∆xolması demektir. Böylece a ile b arasındaki her x içinA ′ (x)= f(x)ax kx+∆xxbolur. Sizce bunun bir başka anlamı var mıdır?Şekil 1.25:A(x+∆x)−A(x) ∼ = f(k)∆x.