matemat‹k-ıı

26 1 Belirli ve Belirsiz İntegralyMmMmxa ¯x bb−a∫ bm(b−a) ≤ f(x)dx⇒ m≤olur.y∫ baa≤ M(b−a)f(x)dx≤ Mb−aHaklısın Engin. f ’nin[a, b] aralığındaki ortalama değerini aldığı¯x’yi hemen bulamayız. Ancak f ’yi[a, b] aralığı üzerindepozitif kabul edip, yandaki şekil ve açıklama yardımıyla varlığını söyleyebiliriz.Ayrıca∫ byorumunu da yapabiliriz.af(x)dx= f(¯x)(b−a) e ş i t ğinden l i bir geometrikŞekil 1.28’e bakarsanız, f ’nin[a, b] aralığı üzerindeki f(¯x) ortalamadeğeri, şekildeki taralı dikdörtgenin yüksekliğidir. Bu dikdörtgeninalanı, fonksiyon grafiği ile x-ekseni arasında kalan alana eşittir.Sürekli bir fonksiyonun ortalama değerini anladık da hocambu günlük hayatta nerede karşımıza çıkar?Hemen bir örnek vereyim Gökçe. Bir şehre su sağlayan bir barajıniçindeki su seviyesi sürekli bir değişim gösterir. O haldebarajdaki su seviyesi zamanın sürekli bir fonksiyonudur. Su seviyesinin,saatlik, günlük, haftalık, aylık ya da yıllık ortalamalarını bilmek isteyebiliriz.Bunu da su seviyesi fonksiyonunun belirli integralini kullanarakhesaplayabiliriz.f(¯x)Peki hocam, bir de sürekli bir fonksiyonun ortalama değerininhesaplanmasına somut bir örnek görsek?f(¯x)a¯xb−abxPeki o zaman, f(x)=(x− 2) 2 fonksiyonunun[0,2] aralığıüzerindeki ortalama değerini bulabilir misin?Şekil 1.28: f(x) fonksiyonunun[a, b] aralığı üzerindeki f(¯x) ortalamadeğeri.Sürekli bir fonksiyon, m enküçük ve M en büyük değerleriarasındaki bütün değerlerialacağından [a, b] aralığındaf(¯x)=f(x)dxb−a∫ baolan ¯x noktası vardır ve∫ baolur.f(x)dx = f(¯x)(b−a)Bir deneyeyim hocam. Ortalama değerif(¯x)= 1b−a∫∫ baf(x)dx= 12−0∫ 20(x− 2) 2 dxidi. Şimdi (x− 2) 2 dx integralini hesaplayayım. u= x− 2 dersem,∫du= dx olacağından, integral u 2 du= u3+ c olur. Böylece u yerine3∫x− 2 yazar ve c= 0 alırsam (x− 2) 2 (x− 2)3dx= elde ederim.3Buradan da ortalama değerf(¯x)= 1 (x− 2) 322 30= 1 (2−2) 3− 1 (0−2) 3= 4 2 3 2 3 3 olur.