matemat‹k-ıı

136 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikÖrnek 36 ile 600 sayılarıiçin, ebob(36,600) veekok(36,600) sayılarını bulalım.1. 36 ve 600 sayılarını asalçarpanlarına ayıralım:36 = 2 2· 3 2= 2·2·3·3600 = 2 3· 3·5 2= 2·2·2·3·5·52. Ortak olan asal çarpanlar2 ve 3’tür. Şimdi bunlarınen küçük üslülerini belirleyelim.2’nin en küçük üslüsü 2 2ve 3’ün en küçük üslüsü de3’tür. Bunları çarparsak,ebob(36,600) = 2 2· 3= 2·2·3= 12olduğundan bu sayıları sizin de daha önce söylediğiniz gibi, 8=2·2·2ve 12=2·2·3 olarak yazabiliriz. 8’in bölenleri 1, 2, 2 2 ve 2 3 ’tür. 12’ninbölenleri ise 1, 2, 2 2 , 3, 2·3 ve 2 2· 3’tür. Böylece 8 ve 12’nin ortakbölenleri 1, 2 ve 2 2 olur. Buradan 8 ve 12’nin en büyük ortak böleni2 2 = 4 bulunur.Şimdi 8 ve 12’nin en küçük ortak katını hesaplayalım. 8’in bir katıaynı zamanda 2·2·2’nin bir katıdır. 12’nin bir katı da aynı zamanda2·2·3’ün bir katıdır. O halde bu çarpımları içeren en küçük sayı, 8 ile12’nin en küçük ortak katı olacaktır. Böylece en küçük ortak kat,ekok(8,12)=2·2·2·3=2 3· 3=24olur.Daha genel olarak ifade etmek gerekirse, m ve n gibi iki doğalsayının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı şöylebulunur:1) m ve n asal çarpanlarına ayrılır.2) Ortak olan asal çarpanlardan, üsleri en küçük olanlarının çarpımıbu sayıların en büyük ortak bölenidir.(Ortak asal çarpan yoksa, en büyük ortak bölen 1’dir.)3) Ortak olan asal çarpanlardan üsleri en büyük olanlar ile ortakolmayanların hepsinin çarpımı bu sayıların en küçük ortak katıdır.bulunur.3. Ortak olan asal çarpanlardanüsleri en büyükolanlar ile ortak olmayanasal çarpanları belirleyelim.2’nin en büyük üslüsü 2 3ve 3’ün en büyük üslüsü de3 2 ’dir. Ortak olmayan asalçarpan ise 5’tir. Şimdi 2 3 ,3 2 ve ortak olmayanlarınhepsini çarparsak,ekok(36,600) =2 3· 3 2· 5 2= 1800bulunur.Şimdi de 18 ile 30 sayılarının en küçük ortak katını ve enbüyük ortak bölenini bulalım. İlk olarak 18’i asal çarpanlarınaayıralım:18 29 3olup 18=2·3 2 olur.3 31Benzer şekilde,30 215 3olup 30=2·3·5 olur.5 51Böylece 18 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni,ebob(18,30)=2·3=6