matemat‹k-ıı

Alan Hesaplamaları 9Evet Zeynep, tam olarak bunu demek istemiştim. Önce fonk-ysiyonun sırasıyla en büyük değerlerini kullanıp bölgeyi dıştankuşatan ve en küçük değerlerini kullanıp bölgeye içten yaklaşan dikdörtgenlerinalanlarıyla bölgenin alanına yaklaşalım. Bunlara sırasıyla[0,1]aralığının0, 1 2 ,1 bölüntüsüne karşı gelen üst toplamı ve alt toplamıdenir.Üst toplam (Şekil 1.9)1f(0)0f 12121xÜ 2 (f)=f(0)· 1 12 + f · 12 2 = 1· 12 + 3 4·12 = 1 2 + 3 8 = 7 8 br2ve alt toplam (Şekil 1.10) 1A 2 (f)=f ·2 12 + f(1)· 12 = 3 4·12 + 0· 12 = 3 8 br2olur.Aradığımız alana A dersek A 2 (f)≤A≤Ü 2 (f) eşitsizliği gerçekleşir.Bu durumda üst ve alt toplama giren dikdörtgenlerinfarklarından oluşan fark dikdörtgenleri Şekil 1.12’deki sütunu oluştururlar.Bu sütunun alanı Ü 2 (f)−A 2 (f)= f(0)− f(1) · 12 ’dir.Şekil 1.9: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen üst toplam.134f 120y12Şekil 1.10: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen alt toplam.y1xBence ne 7 8 , ne de 3 8 istediğimiz sonuç olan 2 ’e pek yakın3sayılar değiller. Bunun için[0,1] aralığını,0, 1 4 , 1 2 , 3 4 ,11bölüntüsünü kullanarak0, 1 ,4 14 , 1 2, 12 , 3 ,4 34 ,1 0121xgibi dört eşit parçaya ayırsak daha iyi olacak hocam.Şekil 1.11: [0,1] aralığının0,12 ,1 bölüntüsüne karşılıkgelen fark dikdörtgenleri.Haklısın Engin. Bu durumda üst toplama giren dikdörtgenlerbölgeyi dıştan kuşattıkları için dikdörtgenlerin alanları toplamıbölgenin alanından büyük, fakat bir önceki adımdaki üst toplamdanküçük olacaktır. Alt toplama giren dikdörtgenlerin alanları toplamıise, bölgenin içinde kalacaklarından, bölgenin alanından küçük, fakatbir önceki adımda elde ettiğimiz alt toplamdan daha büyük olacaktır.=12f(0)− f(1)=1Şekil 1.12: [0,1] aralığının0,1,1 bölüntüsüne karşılık2gelen fark dikdörtgenlerinino l u ş t u r d ŭgu farklar sütunu.