matemat‹k-ıı

38 2 Diferansiyel Denklemleryc 1 = 3c 1 = 2c 1 = 1e ş i t ğini l i elde ederiz. Bulduğumuz eşitlikte y’yi mutlak değerden kurtarırsaky=∓e c e x2 2olup, c 1 =∓e c olarak seçerseky= c 1 e x2 2c 1 =−1c 1 =−2xşeklinde diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur. O halde türevikendisinin x katı olan fonksiyon y= c 1 e x2 2şeklindedir. c 1 sabitinin çeşi t l i ğerlerine d e göre bu fonksiyonların grafiğini yandaki şekilde görebilirsiniz.c 1 =−3Şekil 2.3: f(x)=c 1 e x2 2 fonksiyonlarailesinin grafiği.Bazen bir diferansiyel denklemin bir x 0 noktasında belli biry 0 değerini alan özel bir çözümünü bulmak isteyebiliriz. Buradakiy 0 = y(x 0 ) koşuluna başlangıç değer koşulu denir. Verilen birbaşlangıç değer koşuluna uyan diferansiyel denklemin çözümünün bulunmasıproblemine başlangıç değer problemi denir. Bulunan çözümede diferansiyel denklemin verilen başlangıç koşuluna uyan özel çözümüdenir.Bu anlattıklarımızı bir örnek üzerinde görelim. y ′ = x diferansiyeldenkleminin genel çözümünü y = x22 + c olarakhesaplamıştık. Şimdi bu diferansiyel denklemin herhangi bir başlangıçdeğer koşuluna uyan çözümünü bulalım. Örneğin, y(0)=3 başlangıçkoşuluna uyan çözümünü araştıralım. Engin bir dene istersen.Bu durumda genel çözümde x yerine 0 ve y yerine de 3 yazıpkeyfi sabitin alacağı değeri bulacağız. Böylece y(0)=3için 3= 022 + c e ş i t ğinden l i c= 3 olup diferansiyel denklemin verilenbaşlangıç koşuluna uyan çözümüolarak bulunur.y= x22 + 3Evet arkadaşlar böylelikle verilen başlangıç koşuluna uyanözel çözümü hesaplamış olduk. Burada dikkat etmemiz gerekenhusus şudur: Genel çözüm keyfi bir sabit içerirken, özel çözümbaşlangıç koşullarına uygun olarak bulunan çözümdür.