matemat‹k-ıı

12 1 Belirli ve Belirsiz İntegralolur. Bunu üst toplam formülünde yerine koyarsak1 n(2n− 1)Ü n (f)= 1−n·(n−1)6n 2= 1− (n−1)(2n−1)6n 2= 6n2 −(2n 2 − n−2n+1)6n 2olur. Şimdi n→∞için= 4n2 + 3n−16n 2ylim Ü 4n 2 + 3n−1 4n(f)= limn→∞ n→∞ 6n 2 = limn→∞ 6 + 36n − 1 = 4 6n 2 6 = 2 3bulunur ve Arşimet’in iddiasının doğruluğu da görülmüş olur.Hocam, üst toplamların limitini buldunuz ve Arşimet’in sonucunundoğru olduğunu söylediniz. Alt toplamın limitinin de1n2n3ni−1ninn−1nxnn =1buna eşit olması gerekmez miydi?Şekil 1.17: [0,1] aralığının0,1, 2 ,··· , n−1,1 bölüntüsünekarşılık gelen farkn n ndikdörtgenleri.. ... ..=1Haklısın Zeynep. Üst toplamlara giren dikdörtgenlerle alt toplamlaragiren dikdörtgenlerin farklarının oluşturduğu fark sütunununtabanı 1 , yüksekliği ise f(0)− f(1) birimdir. Buradan, n sonsuzagiderken fark sütununun alanı sıfıra gider. Yani n→∞nikenÜ n (f)−A n (f)= 1 (f(0)− f(1))→ 0’dır. Böylece bu örnek için üst venalt toplamların limitleri eşit olur. Bu da söz konusu alanın anlamlı birdeğere sahip olduğunu gösterir. Tabii istersen alt toplamın limitini doğrudanhesaplayıp gene 2 çıktığını görebilirsin.31nŞekil 1.18: [0,1] aralığının0,1n−1bölüntüsünen n nkarşılık gelen farklarsütunu.Belirli İntegralArşimet’in probleminin çözümünde izlenen yolla, negatif değeralmayan bir y = f(x) sürekli fonksiyonunun belli bir[a, b] kapalı aralığı üzerindeki parçasının altında kalan bölgenin alanınıbenzer işlemleri yaparak elde edebiliriz. Artık[a, b] aralığı üzerindef ’nin Belirli İntegrali diye adlandıracağımız sayıyı tanımlayabiliriz.