matemat‹k-ıı

150 6 Asal Sayılar ve Modüler AritmetikBu kadar teorik bilgiden sonra gençlerin kafası karışmayabaşladı galiba. İsterseniz bir örnekle devam edelim:x+ 2≡3 (mod 4) denkliğini çözmeye çalışalım. Denkliğin her iki tarafından2 çıkarıp x’i yalnız bırakırsak,x+ 2−2 ≡ 3−2 (mod 4)x ≡ 1 (mod 4)elde ederiz. Böylece bu denkliğin çözüm kümesi, 4’e bölümünden 1 kalanınıveren sayıların kümesidir.Hocam bu denkliği sağlayan sayılardan bir kaç örnek verir misiniz?Örneğin, 1 sayısı bu denkliği sağlar. Çünkü, 1’in 4’e bölümündenkalan 1’dir. 1’e 4 eklediğimizde elde ettiğimiz 5 de budenkliği sağlar. Çünkü, 5=1·4+1 olup, 5’in 4’e bölümünden kalan da1’dir.5’e 4 eklediğimizde elde ettiğimiz 9 da bu denkliği sağlar.Çünkü, 9=2·4+1 olup, 9’un da 4’e bölümünden kalan 1’dir.Hocam, hep ekledik, çıkarsak da bir çözüm bulur muyuz?olur.Tabii ki. 1’den 4 çıkarsak,−3 de bir çözümdür. Gerçekten de,denklikte x yerine−3 yazarsak,−3+2=−1≡3 (mod 4)−1 nasıl 3’e denk oluyor?−1 ile 3’ün farkı−4 olup, 4’e bölündüğü için!Böylece, 1’den başlayıp, 4 ekleyerek veya 4 çıkararak eldeettiğimiz sayılar, 4’e bölümünden 1 kalanını veren sayılarınkümesini, yani{...,−11,−7,−3,1,5,9,13,...}kümesini oluşturur.