matemat‹k-ıı

14 1 Belirli ve Belirsiz İntegralBelirli integralin değeri daima pozitif midir?y fAxab∫ bŞekil 1.19: f(x)dx= A.yaabxA∫ bTabii ki hayır Engin. Eğer her x∈[a, b] için f(x)≥0oluyorsaf(x)dx belirli integrali negatif olmayan bir sayıdır.aBu sayı alttan[a, b] aralığı, üstten f fonksiyonunun grafiği ve yanlardanda x= a ve x=bdoğruları ile sınırlı bölgenin alanına eşit olur.Benzer biçimde eğer her x∈[a, b] için f(x)≤0 oluyorsa f(x)dxbelirli integrali pozitif olmayan bir sayıdır. Bu sayı grafiğin[a, b] aralığıaltındaki parçası ve x-ekseni ile sınırlı bölgenin alanının eksi işaretlisidir.Peki, grafiğin bir parçası x-ekseninin üzerinde, bir parçası dax-ekseninin altında ise durum ne olur?∫ baŞekil 1.20:∫ bay2ff(x)dx=−A.Bu durumda belirli integral x-ekseninin üstünde ve altındakialanların işaretli toplamına eşittir.Söyleyin bakalım Şekil 1.21’de verilen grafiğe görenedir?∫ 5f(x)dx’in değeri−21A 1 A 2A 3−3−2−1−1−2−31 2 3 4 5xA 1 ve A 2 x-ekseni üstünde kalan bölgelerin alanları olduğuiçin pozitif işaretli, A 3 ise x-ekseninin altındaki grafikle sınırlıbölgenin alanı olduğundan negatif işaretlidir. Bu durumdaŞekil 1.21:∫ 5f(x)dx= A 1 + A 2 − A 3 .−2∫ 5f(x)dx = A 1 + A 2 − A 3−2= 2·2+(3+1)·2− 2·22 2 2 = 4 olur.Anlaşıldı ki grafikle sınırlı bölgeler, alanını hesaplayabileceğimizüçgen, dörtgen vs. gibi geometrik şekillerden oluşuyorsaişler kolay. Ancak değilse en azından bir üst ya da alt toplamı bulupn→∞için limitine bakmalıyız. Bunun başka bir yolu yok mu hocam?