matemat‹k-ıı

40 2 Diferansiyel Denklemleryy= y 0 e KtEvet Gökçe, diferansiyel denklemlerin faydası da bu zaten.Denklemi verilen başlangıç koşuluna uygun olarak çözdüğümüzde,herhangi bir andaki nüfus değerini buluruz. Şimdi elde ettiğimizbu diferansiyel denklemi beraber çözelim.Denklemi düzenlersek1dy= Kdtyolur. Şimdi her iki tarafın da integralini alırsak∫1y dy= ∫Kdty 0xe ş i t ğinden l iln y= Kt+ cŞekil 2.4: K> 0 için nüfustakia r t ı ş .olur. Daha önceki örneklerde olduğu gibi eşitliğin her iki tarafını da etabanında yazıp işlemlere devam ederseke ln y = e Kt+cyy 0y= y 0 e Ktxe ş i t ğinden l iy= e Kt+c = e c e Ktolur. Burada c 1 = e c sabitini alırsak çözümü y= c 1 e Kt olarak buluruz.Şimdi başlangıç değeri olan y(0)=y 0 değerini çözüm fonksiyonundakullanırsak, t= 0 için y 0 = c 1 e 0 e ş i t ğinden l i c 1 = y 0 olur. Bu değeri deçözüm fonksiyonunda yerine yazarsaky= y 0 e KtŞekil 2.5: K < 0 için nüfustakiazalma.olarak sonuç bulunur.Böylece herhangi bir andaki canlı nüfusunu bu üstel fonksiyonukullanarak bulabiliriz. Kullanmış olduğumuz bu modelMalthus modeli olarak da adlandırılmaktadır.Şimdi bu modeli kullanarak ülkemizin gelecekteki tahmininüfusunu hesaplamaya çalışalım. Bunun için ülkemizin 2011yılına ait nüfus verilerini kullanalım. Türkiyenin 2011 yılı adrese dayalınüfus sayımına göre toplam nüfusu 74724269 olarak belirlenmiştir. Yıllıknüfus artış oranı da % 1,35 olduğuna göre 2023 yılında toplam nüfusumuzunne kadar olacağını beraber hesaplayalım.