matemat‹k-ıı

54 2 Diferansiyel Denklemlerolur. Söylenti 15 dakika yani 0,25 saatte 100 öğrenci tarafından duyulduğuiçin y(0,25)=100 olur. Buna göre100=15001+1499e −1500·0,25Ke ş i t ği l i elde edilir. Bu eşitlikten K orantı sabitinin değerini bulalım. Eşitliğiniki tarafını da 100’e bölüp eşitliği düzenlersek1=151+1499e −1500·0,25Kyada1+ 1499e −1500·0,25·K = 15 olur. Buradan dae −375K = 141499yazılabilir. Eşitliğin iki tarafının doğal logaritmasını alırsak−375K= ln 141499olup, gene hesap makinesiyle, ln 14 ≈−4,6735 ve buradan da1499bulunur. O haldeK≈ 4,6735375 ≈ 0,0125Öğrencielde edilir.y(t)=15001+1499e −1500·0,0125t= 15001+1499e −18,75t15001000500saat0,25 0,51Şekil 2.10: Dedikodunun yayılmasıelde edilir.Artık yarım saat sonra söylentiyi kaç kişinin duyacağını hesaplayabiliriz.Bu eşitlikte t yerine 0,5 koyarsak1500y(0,5)=1+1499e−18,75·0,5≈1331Hocam, dedikodu ne kadar hızlı yayılıyormuş böyle!ÖzetBu ünitede, birinci mertebeden diferansiyel denklemler üzerinde durdukve kolay çözülebilen bazı diferansiyel denklemleri ayrıntılı olarakinceledik. Ayrıca diferansiyel denklemlerin nüfus hesaplaması, sıcaklıkhesabı, organik maddenin yaşının belirlenmesi, sınırlı büyüme problemlerive dedikodunun yayılması gibi çeşitli uygulamalarını inceledik.