matemat‹k-ıı

42 2 Diferansiyel DenklemlerRadyoaktif Bozunma HesabıÜstel ve logaritmik fonksiyonlar ünitesinde Ötzi isimli mumyanınyaşının belirlenmesi için karbon yaşı hesaplama yönteminikullanmıştık. Bu yöntemde canlı organizmanın hayatı sona erdiğindevücuttaki C 14 ’ün yani radyokarbonun azalmaya başladığı gerçeğinikullanarak organik maddelerin yaşları tahmin ediliyordu. Radyokarbontesti ile organik maddenin yaşının belirlenmesindedydt =−Kydiferansiyel denkleminden yararlanılır. Burada K kimyasal maddeninçeşidine bağlı olan bir bozunma sabitidir. Şimdi bu diferansiyel denklemiçözelim:1y dy=−Kdte ş i t ğinin l i her iki tarafının integrali alınırsa∫ ∫1y dy=− Kdtolup, buradan daln y=−Kt+ cbuluruz. Eşitliği e tabanında yazarsake ln y = e −Kt+colup, buradan da y= e c e −Kt elde edilir. e c sabitini c 1 ile gösterirsek,çözümüy= c 1 e −Ktyolarak buluruz.Hocam burada üstel terimdeki eksinin anlamı nedir?y 0y= y 0 e −KtŞekil 2.7: Radyoatif madde miktarındakiazalma.tBuradaki eksi işaret, başlangıç anından itibaren sürekli olarakradyokarbonun azaldığını ifade ediyor. Şimdi denklemebaşlangıç koşullarını uygulayalım. Başlangıç anında karbon miktarı y 0kadarsa, t= 0 için c 1 = y 0 olup y= y 0 e −Kt olur. Elde ettiğimiz bu çözümfonksiyonu radyoaktif maddenin büyüklüğünün zamana göre üstelolarak azalmasını gösterir.