Sayi9kasimaralik

Kasım-Aralık 2012 Yıl: 2 Sayı: 9
paradoks paradoks
Prof. Dr. Timur KARAÇAY
Başkent Üniversitesi
Bilgisayar ne kadar hızlı?
yazıda, sonlu sayıda bazı işlemleri bitirebilmesi
için bilgisayarın hayal edemeyeceğimiz uzun zamanlar
boyunca çalışması gerektiğini göstereceğiz.
Başka bir deyişle, sonlu sayılar çoğumuzun
hayal edemeyeceği kadar büyüktür, o kadar ki
onlara erişmeye bilgisayarın hızı bile yetmez.
Gezgin satıcı problemi
Bu problem, bilgisayar öğrenimine yeni başlayan
üniversite öğrencilerine “hesaplanabilme” olgusunun
mantık ve matematiğe ne denli dayalı olduğunu,
bilgisayarın her sorunu çözemeyeceğini
anlatmak için verilen iyi örneklerden birisidir.
Problemi biraz basite indirelim. Gezgin bir satıcı,
helikopterle 70 ilimizi dolaşarak bir ürünü tanıtacaktır.
Şirket, ona istediği ilden başlama yetkisini
vermiştir. Ama her ile yalnızca bir kez uğrayacak,
sonunda ilk başladığı ile dönecektir. Elbette, tasarruf
nedeniyle, ilden ile gezerken, toplam olarak
en kısa yolu seçmesi de istenmiştir. Kısa yolun
ne olduğunu biraz açıklamak gerekiyor. Problemi
gidebileceği 4 il, yani 4 seçeneği vardır. Adana
→ Kars yolunu seçsin. Ankara’dan Kars’a gelmek
için seçtiği yol 6.5.4=120 seçenekten yalnızca
birisidir. Kullanmadığı 119 seçenek daha
vardır. Satıcımızın Kars’tan sonra gidebileceği 3
il kalmıştır; yani 3 seçeneği vardır. Kars → Edirne
yolunu seçmiş olsun. Edirne’ye ulaştığında
6.5.4.3=360 mümkün yoldan yalnızca birisini
seçmiş olacaktır. Kullanmadığı 359 yol vardır.
Edirne’den hareket ederken elinde iki seçenek
kalmıştır. Edirne → İzmir yolunu seçsin. İzmir’e
kadar 6.5.4.3.2=720 seçenekten yalnızca birisini
kullanmıştır; geride 719 seçenek daha vardır.
İzmir’den hareket ederken elinde artık tek seçenek
kalmıştır: İzmir → İstanbul. Buraya kadar
olan mümkün seçeneklerin sayısı 6.5.4.3.2.1=6!
= 720 idi. Satıcımız bunlardan yalnızca birisini
kullandı, geriye 719 seçenek kaldı. 7 ili dolaşan
satıcımız artık Ankara’ya dönebilir.
Mevcut 720 seçenek arasından satıcının tercih
ettiği yol şudur:
90 daha da basitleştirmek için, 70 il yerine, önce 7 il
düşünelim: {Ankara, Edirne, İzmir, İstanbul, Kars,
Ankara → Adana → Kars → Edirne → İzmir →
İstanbul → Ankara.
91
Bilgisayarlar harika araçlardır. O, kendisini sürmeyi
bilmeyenleri, asil bir atın acemi binicisini
sırtından atışı gibi yere serer. Ama onun dilinden
anlayanlara sadık bir uşak gibi hizmet eder. Hepimiz
bilgisayarların çok hızlı işlem yaptığını biliriz.
Bir insanın bir ömür boyu bitiremeyeceği zor
hesapları saniyeler içinde yapabilir. O, hızlı işlem
Burada hemen bir soru aklımıza gelir. İnsan aklının
çözüm yolunu bulabildiği her problemi bilgisayar
çözebilir mi? Yazık ki bu sorunun yanıtı
“hayır”dır. Bilgisayarlar, bir sorunu çözerken, ancak
sonlu sayıda işlem yapar. Çünkü, bilgisayar
sonlu sayıda işlem sonunda problemi çözmüş
olmalıdır; sonsuz sayıda işlemi bitiremez. Yan-
Sivas, Adana}. Satıcımız gezisine Ankara’dan
başlasın ve şu sırayı izlesin: Ankara → Kars →
Edirne → Sivas → İstanbul → Adana → İzmir
→ Ankara. Bu yol, satıcımızı eğlendirmiş olabilir,
ama patronların hoşuna gitmeyecektir; çünkü
olası yollar arasından muhtemelen en uzun olanını
seçmiştir. Onun yerine, örneğin, Edirne →
İstanbul → Ankara → Sivas → Kars → Adana →
İzmir → Edirne yolu çok daha kısa olurdu. Bunu
anlamak için, lütfen haritaya bakınız, ya da kentlerin
yerlerini kabaca bir kağıda işaretleyerek bir
çizem (şema) oluşturunuz.
Buna benzer 719 tane farklı yol izlenebilirdi. Öteki
yolları da isterseniz listeleyebilirsiniz. Ama bu
iş epeyce bir zamanınızı alacaktır. Bir ilden öteki
ile olan uzaklık bilindiğine göre, 6 sayı içeren basit
bir toplama işlemiyle her bir yolun (seçeneğin)
uzunluğunu buluruz. Böylece elimizde yolların
(seçeneklerin) uzunluklarını veren 720 sayı olur.
Bu sayılar arasından en küçük olanı seçeriz. Bu
en küçük sayıya karşılık gelen yol en kısa yoldur.
Ne kadar zaman alırsa alsın, bu işi yapmanın yolunu
biliyoruz.
yapmakla kalmaz, doğru programlandığında daima
doğru iş yapar, belleğine kaydedilenleri daima
doğru anımsar, gerektiğinde onları yeniden
ve tekrar tekrar kullanır…
Ünlü bir düşünür, “övgü ikinci sınıf insanların işidir,”
der… Onun için övmeyi bırakıp, bilgisayara
eleştirel bir gözle yaklaşalım. Öncelikle şunu belirtmeliyiz:
Bilgisayar, insan aklının çözüm yolunu
bulamadığı hiçbir problemi çözemez. Ona çözüm
yolunu gösteren insan aklıdır. Onun bütün
hüneri, insan aklının erişemediği korkunç hızı ve
yanılmaz belleğidir.
lış programlama nedeniyle, bilgisayarın sonsuz
döngüye girme olasılığı, her programcının
kâbusudur. Oysa, lise matematik derslerinde limit,
dizi, seri vb. kavramlarla tanışan öğrenciler,
insan aklının, sonsuz işlemlerin nasıl yapılacağını
ortaya koyduğunu iyi bilirler. Bu olgu, yavaş insan
aklının, hızlı bilgisayara büyük üstünlüğünün
kanıtıdır.
Tabii, bunun yanında, her problemi çözecek bir
yol, yordam, yöntem (algoritma) olamayacağını
matematikçiler kanıtlamışlardır. Ama bu önemli
mantıksal vargı, bu yazının konusu dışındadır. Bu
Şimdi probleme biraz matematik katalım. Satıcımız
Ankara’dan yola çıkacak olsun. İlk gideceği
il olarak, geriye kalan 6 ilden istediği birini seçebilir.
Demek ki geziye başlarken elinde 6 seçenek
vardır. Bunlardan birisini, örneğin Ankara → Sivas
seçeneğini kullansın. Sivas’tan gidebileceği 5
il vardır. Sivas → Adana yolunu seçmiş olsun.
Başa dönersek, Ankara’da 6 seçeneği vardı, birisini
kullandı. Sivas’ta 5 seçeneği vardı birisini
kullandı. O halde, Adana’ya gelişi 6.5 = 30 seçenekten
birisidir. Geriye kalan 29 seçenek kullanılmamıştır.
Geziye devam edelim. Adana’dan
Artık gezinin nasıl yapıldığını bildiğimize göre,
gerçek probleme dönüp, satıcımızın 70 ili dolaşması
için mümkün yolların sayısını hesaplayabiliriz.
70 ilden birisinden harekete başlayacak
satıcının gidebileceği 69 il vardır. Bunlardan birisini
seçip herhangi bir ile (ilk il) gittiğinde elinde
68 seçenek kalır. Bunlardan birisini seçip ikinci
ile gittiğinde elinde 67 seçenek kalır… Bu işlem
son ile gidene kadar sürdürülürse, satıcının 70
ili gezmek için seçebileceği yolların sayısı 69! =
69.68.67…3.2.1 = 1,71122E+98 (yaklaşık 17
nin sağına 97 sıfır koyunuz; burada E+98 sim-