I. Laks Wybrane aspekty numerycznego modelowania długich ...

More documents

Recommendations

Info

82 Ze względu na kryterium odtworzenia w modelu zmienności przestrzennej stanu układu i parametrów obiektu modele dzieli się na dwie grupy ( Ozga-Zielińska 1995) modele o parametrach skupionych, modele o parametrach rozłożonych. Pierwsza grupa modeli posługuje się pojedynczymi wartościami liczbowymi wyrażającymi skumulowane parametry obiektu. Natomiast modele o parametrach rozłożonych cechują się przestrzenną zmiennością parametrów i odwzorowują taką samą zmienność modelowanego obiektu. Inny podział modeli, powszechnie występujący w literaturze, wyodrębnia modele fizycznie uzasadnione(Kundzewicz 1985), zwane także modelami genetycznymi, w których uwzględnia się genezę i fizykę modelowanego zjawiska oraz modele koncepcyjne. Podział ten nie jest jednak zbyt precyzyjny, bowiem każda schematyzacja modelu fizycznego i jego dyskretyzacja zawiera w sobie czynnik koncepcyjny. W zagadnieniach modelowania przepływu cieczy w korytach otwartych określenie model genetyczny zastępowane jest najczęściej pojęciem modelu hydrodynamicznego, lepiej przybliżającego istotę modelu (jego podstawy fizyczne). Szerszą dyskusję dotyczącą modelowania i modeli numerycznych zjawisk hydraulicznych przedstawił Wosiewicz w pracy „O modelowaniu i modelach numerycznych zjawisk hydraulicznych”(Wosiewicz 1996). Model matematyczny jest tam definiowany jako matematyczny opis zachowania się modelowanego obiektu, zaś modelowanie matematyczne służy do rozwiązywania problemów inżynierskich przez sporządzenie opisu matematycznego zjawiska i rozwiązywaniu równań wynikających z tego opisu dla konkretnego obiektu lub zjawiska. Opis matematyczny utożsamiać należy z równaniem lub układem równań (najczęściej jest to układ równań różniczkowych) opisujących wewnętrzne prawidłowości - równanie ciągłości j= 1 j 3 ∑ = ∂u i ∂x i 1 i - równanie bilansu pędu 3 ∂ui + ∑u j ∂t ∂ui ∂x 1 ∂p 1 = Fi − + ρ ∂x ρ i = 0 3 ∑ ∂τ ∂x ij j= 1 j zjawiska czy procesu wraz z niezbędnymi warunkami i parametrami, których sformułowanie określa jednoznaczność tego zjawiska czy procesu. Szczegółowej analizie poddano modele matematyczne, które według klasyfikacji przedstawionej wcześniej są modelami hydrodynamicznymi (genetycznymi), a ponadto w których konieczne jest stosowanie dyskretnych metod numerycznych i komputerów. Model numeryczny zjawisk hydraulicznych definiowany jest w cytowanym artykule jako model matematyczny wraz z opracowanym (lub istniejącym) rozwiązaniem numerycznym (numeryczna metoda rozwiązania) w postaci szczegółowego algorytmu (zazwyczaj zaimplementowanego w postaci odpowiedniego programu komputerowego) oraz wszystkich liczb (danych) opisujących obiekt, proces czy zjawisko wymaganych przez ten algorytm. Z definicji tej wynika, że modelu numerycznego nie można oddzielić od konkretnej metody numerycznej i liczb opisujących dane zjawisko. Zmiana numerycznej metody rozwiązania lub danych jak również zmiana równań opisujących zjawisko jest w istocie zmianą całego modelu. Równania ruchu wody w kanałach otwartych Równaniami podstawowymi w modelach hydrodynamicznych, opisującymi przepływ wody z powierzchnią swobodną, są równania Naviera-Stokesa (Szymkiewicz 2000). Przepływ w sieci rzecznej opisywany jest natomiast równaniami uśrednionego przepływu turbulentnego, które wyprowadzane są z równań Naviera-Stokesa poprzez wprowadzenie do nich wielkości uśrednionych np. według metody Reynoldsa(Sawicki 1998). Ponieważ układ ten jest układem niedomkniętym, który musi zostać uzupełniony o zależności określające własności naprężeń turbulentnych np. poprzez zastosowanie empirycznego modelu turbulencji Boussinesqa. Równania Reynoldsa może zostać zapisane w postaci (Sawicki 1998): (1) (i=1,2,3) (2) gdzie: t- czas [s], xi- współrzędne przestrzenne, i=1,2,3 [m], ui- uśredniona składowa wektora prędkości w kierunku xi [m/s], ρ - gęstość wody [kg/m 3 ], p- ciśnienie [kg/ms 2 ], τij reprezentuje naprężenia spowodowane burzliwością i lepkością, Fi- składowe wektora sił masowych i=1,2,3 [m/s 2 ].
Równania (1) i (2) opisują model uśrednionego przepływu turbulentnego w przestrzeni trójwymiarowej. Uśredniając równania (1) i (2) po głębokości (i wprowadzając szereg założeń upraszczających) otrzymuje się dwuwymiarowe równania płytkiej wody (Szymkiewicz 2000), w których jako niewiadome występują dwie składowe wektora prędkości oraz głębokość strumienia cieczy. Całkując te równania po głębokości oraz szerokości cieku otrzymujemy natomiast równania Saint-Venanta najczęściej stosowane w analizie transformacji przepływu dla długich odcinków rzek. równanie ciągłości: równanie bilansu ciągu: ∂ Q ∂( Ac + A + o ) = q ∂x ∂t Q /Ac ) h + gAc ( x x 2 ∂Q ∂( β ∂ + ∂t ∂ ∂ Cechy jednowymiarowych hydrodynamicznych modeli przepływu nieustalonego 83 Modele jednowymiarowe dobrze odwzorowują cieki wodne, w których warunki przepływu nie odbiegają znacząco do założeń ruchu jednowymiarowego czyli występowania jednego dominującego kierunku przepływu zgodnego ze spadkiem podłużnym rzeki (Sawicki 1998). Układ równań de Saint- Venanta opisujący transformację jednowymiarowego przepływu nieustalonego może przyjąć postać (Maidment 1992): + S f + Sec ) + W = 0 gdzie: Q - natężenie przepływu [m 3 /s], h - rzędna zwierciadła wody [m], x - współrzędna położenia przekroju [m], Ac - pole powierzchni strefy aktywnej przekroju rzeki[m 2 ], Ao - pole powierzchni stref retencji przekroju rzeki [m 2 ], t - czas [s], g - przyspieszenie ziemskie [m/s 2 ], q – jednostkowy dopływ boczny na długości cieku [m 3 /s/m], β - współczynnik Saint-Venanta [-], Sf - spadek hydrauliczny [-], S ec - człon uwzględniający straty przy zawężeniu lub rozszerzeniu przekroju [-], W=qQ/A c – człon uwzględniający jednostkowy dopływ boczny w równaniu ruchu [m 3 /s 2 ]. Dla tego typu modeli łatwo jest pozyskać informację o geometrii obszaru przepływu (przekroje poprzeczne) oraz zbudować topologię układu rzecznego. Również zbór parametrów podlegających procedurze tarowania jest stosunkowo niewielki. Model jednowymiarowy stosowany jest do obliczeń transformacji fal ekstremalnych a w szczególności określenia czasu przejścia kulminacji, rozkładu stanów i przepływów w danej chwili czasowej. Otrzymywane wartości stanów i przepływów są uśrednione po szerokości i głębokości przekroju poprzecznego, stąd też nie otrzymamy z takiego modelu przestrzennego rozkładu pola prędkości. Wyniki z takiego modelu są przydatne w analizie scenariuszy przejścia fal powodziowych, przy pracach projektowych związanych z budową systemu ochrony przeciwpowodziowej, przebudowie budowli hydrotechnicznych, regulacji koryt rzecznych oraz wyznaczania bilansu zlewni danego cieku. Wykorzystanie modeli jednowymiarowych w sposób istotny komplikuje się w przypadku próby modelowania długiego odcinka rzeki zawierającego szerokie tereny zalewowe, dopływy, poldery oraz inne budowle hydrotechniczne. Podstawowym problemem jest (3) (4) tutaj nieadekwatność przyjętego w modelach jednowymiarowych założenia o jednym dominującym kierunku przepływu do rzeczywistych warunków panujących w cieku. Naturalne, szerokie tereny zalewowe i poldery mają decydujący wpływ na transformację przepływu w cieku dla fal wezbraniowych i powodziowych. Ich poprawne odwzorowanie stanowi najbardziej istotny i najtrudniejszy element budowy jednowymiarowego modelu numerycznego rzeki. Pełne odwzorowanie tych elementów sieci rzecznej wymagałoby zastosowania przynajmniej modeli dwuwymiarowych, lepiej opisujących rzeczywiste warunki przepływu. Pomimo znaczącego rozwoju takich modeli ich zastosowanie praktyczne dla długich odcinków rzek jest jeszcze mało realne co związane jest przede wszystkim z kosztami pozyskania wiarygodnych danych pomiarowych niezbędnych do budowy modelu i jego weryfikacji. Istotnym ograniczeniem modeli bazujących na równaniach de Saint Venanta jest również zagadnienie stałego w czasie obszaru przepływu i brak możliwości zmiany topologii sieci rzecznej w trakcie obliczeń. Uniemożliwia to modelowanie szeregu istotnych zjawisk hydrodynamicznych np. przelewania się wody
Page 1: WYBRANE ASPEKTY NUMERYCZNEGO MODELO
Page 5 and 6: 4 3 R b II = (5) 2 8 g n hz 0. 56CT
Page 7 and 8: Zbiór wartości ck, czyli wektor c
Page 9 and 10: Dla uniknięcia pułapek związanyc

I. Laks Wybrane aspekty numerycznego modelowania długich ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?