I. Laks Wybrane aspekty numerycznego modelowania długich ...

88
[ , , , ..., ]
1 2 3 N c c c c = c spełniających układ
ograniczeń (7) należy znaleźć takie, które
minimalizują funkcję (9).
Podkreślić warto, że nie znamy postaci funkcji
E(c), jednakże dla każdego wektora c możemy
wyznaczyć jej wartość. Funkcja E(c) jest
ponadto funkcją nieliniową. Rozwiązania
takiego problemu można poszukiwać znanymi
metodami optymalizacyjnymi (Findeisen 1977).
Proces znajdowania zbioru liczb c,
spełniających układ ograniczeń i
minimalizujących miarę błędu dopasowania,
oparty na klasycznych, sekwencyjnych
metodach optymalizacyjnych, można opisać
następująco: przyjmujemy punkt startowy, tu
wartości wektora c (0) , w którym wszystkie
zmienne c1, c2,…,cN należą do zbioru rozwiązań
dopuszczalnych, czyli spełniają ograniczenia (7)
a następnie generujemy ciąg następujących po
sobie punktów c (k) , k = 1,2,…, na podstawie
jednoznacznego, ściśle określonego algorytmu,
aż do znalezienia punktu c (I+1) należącego do
zbioru rozwiązań problemu, stanowiącego
zatem poszukiwane rozwiązanie problemu (dla
stosowanego algorytmu i punktu startowego).
Warto zwrócić uwagę na kilka ważnych kwestii
dotyczących realizacji konkretnego algorytmu.
Przyjęty sposób wyznaczenia następnego
Wyznaczenie kierunku poszukiwań sprowadza
problem do wyznaczenia ekstremum wzdłuż
tego kierunku. Rozwiązania poszukiwano
metodą systematycznego przeszukiwania ze
zmianą (skróceniem) kroku przy następnym
kierunku poszukiwań.
Istotne znaczenie ma przybliżenie startowe,
im lepsze tym szybciej możemy osiągnąć
rozwiązanie i uznać identyfikację za
zakończoną. Na podstawie materiałów
kartograficznych, literatury i badań terenowych
możliwe jest na ogół oszacowanie przybliżonej
wartości parametrów modelu. Możliwe jest
także określenie zakresu zmian k min
∂ E E(
c + ∆c
) − E(
c )
i i
i
≅
∂c
∆c
i
c i c . k max
2
e = c
1
i
przybliżenia ma istotny wpływ na możliwość
uzyskania rozwiązania (na zbieżność i
stabilność metody) oraz koszt tych obliczeń.
Zwrócić trzeba uwagę na duży zwykle zbiór
zmiennych co stanowi istotne utrudnienie.
W prezentowanych dalej obliczeniach użyto
algorytmu (metody) najszybszego spadku
(Findeisen 1977). Należy ona do metod
gradientowych rzędu pierwszego i była już
stosowana w procesie identyfikacji
hydraulicznych modeli przenoszenia masy
(Szymkiewicz 1983) W tej metodzie przy
generowaniu ciągu przybliżeń c (k) korzysta się
ze złożenia dwóch odwzorowań, tzn.
wyznaczenia kierunku poszukiwań a następnie
określenia punktu c (k+1) realizującego minimum
funkcji w kierunku przyjętego wektora
poszukiwań. W metodzie najszybszego spadku
jako kierunek poszukiwań przyjmuje się
kierunek wyznaczony przez gradient funkcji
dopasowania (ze znakiem minus), czyli
(k )
(k )
− ∇E(
c ) . Postać funkcji E( c ) nie jest
jak wiemy znana. Można tylko obliczyć jej
wartość dla dowolnych argumentów. Stąd zatem
składowe wektora gradientu wyznaczano przez
szacowanie, zastępując pochodne ilorazami
różnicowymi
(10)
Oszacowane wartości mogą posłużyć w
procesie tarowania jako wartość startowa, a
ustalony zakres zmian stanowią ograniczenia
(7).
Następną kwestią jest sprawa uznania
rozwiązania za spełniające warunki zakończenia
obliczeń. Zwykle uznajemy, że osiągnęliśmy
rozwiązanie gdy w kolejnych dwóch iteracjach
(I oraz I+1) zmiany wektora rozwiązań są
niewielkie lub gdy zmiany metryki dopasowania
są niewielkie i można uznać, że ekstremum
zostało osiągnięte. Można zatem przyjąć, że
rozwiązanie zostało osiągnięte, gdy:
( I + 1)
( I )
c − ≤ ε
(11)
1
e = E c − E c <
(12)
( I + 1)
( I )
( ) ( ) ε 2
gdzie ε 1, ε 2 są przyjętymi arbitralnie liczbami a jako normę wektorów można przyjąć
( I + 1)
( I )
( I + ! ) ( I )
c − c = max ci − ci
(13)
1≤i≤
N