I. Laks Wybrane aspekty numerycznego modelowania długich ...

WYBRANE ASPEKTY NUMERYCZNEGO MODELOWANIA DŁUGICH
ODCINKÓW RZEK NIZINNYCH
SELECTED PROBLEMS OF NUMERICAL MODELING OF LONG SECTION
OF LOWLAND RIVERS
Ireneusz Laks
Katedra Mechaniki Budowli i Budownictwa Rolniczego, Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu,
e-mail: ilaks@up.poznan.pl
ABSTRACT
Selected problems of numerical modeling of unsteady open channel flow in long river network have been
presented in the paper. Processing of numerical modeling of flow transformation for long river network
has been described. Development of numerical methods, algorithms and computer programs applied to
solve equations describing open channel flow movement extended number of researchers and engineers
using this kind of tools for analyzing and prediction purposes. The paper focused on questions of using 1-
D numerical models which are most popular tools to analyze transformation of flow in a river network.
Attributes, restrictions, methods of calibration and range of using of 1-D numerical models were
discussed in particular. The problems of lack of basic knowledge considering hydrodynamics among
users of computer programs were also point out.
Key words: numerical modeling, unsteady open channel flow, calibration of numerical models
Wprowadzenie
Numeryczne modelowanie przepływów
nieustalonych w sieci koryt otwartych jest
bardzo szeroko opisywana w literaturze
fachowej (Cunge 1989, Abbott 1991,
Szymkiewicz 2000). Dotyczy to w
szczególności dobrze znanych i
wykorzystywanych w praktyce inżynierskiej
jednowymiarowych modeli numerycznych
bazujących na układzie równań de Saint-
Venanta jak i coraz częściej stosowanych
dwuwymiarowych równaniach płytkiej wody
(Szymkiewicz 2000). Rozwój metod
numerycznych i mocy obliczeniowych
współczesnych komputerów sprawił, że
algorytmy rozwiązywania równań transformacji
przepływu stały się powszechnie dostępne i nie
istnieje już bariera czasu realizacji obliczeń oraz
ilości danych niezbędnych do uzyskania
poprawnego rozwiązania. Bariera ta została
przesunięta raczej w kierunku możliwości i
kosztu pozyskania wiarygodnych danych oraz
metod identyfikacji modelu z obiektem
rzeczywistym.
Modelowanie długiego odcinka rzeki z
punktu widzenia geometrii obszaru przepływu
wydaje się mieć zdecydowanie charakter
jednowymiarowy (np. 200 km odcinek rzeki,
której średnia szerokość koryta to 80 m a
szerokość terenów zalewowych 2000 m). Nie
mniej zjawisko przepływu wody w cieku ma
charakter przestrzenny i pełne jego
odwzorowanie wymaga stosowania
adekwatnych równań transformacji. Stąd też
przy próbie modelowania takiego odcinka rzeki
musimy przede wszystkim podjąć decyzję o
wyborze równań transformacji i algorytmów ich
rozwiązania. Wybór ten musi być dokonany na
bazie pełnej analizy posiadanych danych,
zespołu badawczego i oczekiwanych wyników.
Istotnym czynnikiem jest również możliwości
pozyskania oprogramowania implementującego
algorytmy rozwiązywania równań transformacji
przepływu. Analiza taka musi zatem obejmować
wszystkie obszary tworzenia modelu
numerycznego (Wosiewicz 1996).
Matematyczne modele przepływu w korytach
otwartych
Model matematyczny przepływu w sieci koryt
otwartych jest wygodnym narzędziem analizy
reakcji modelowanego systemu na zadane
wymuszenia. Spełniać może funkcję
prognostyczną, określając zmiany stanu systemu
pod wpływem wymuszeń zadawanych
najczęściej w postaci przewidywanych
hydrogramów przepływów lub hydrogramów
stanów.

82
Ze względu na kryterium odtworzenia w
modelu zmienności przestrzennej stanu układu i
parametrów obiektu modele dzieli się na dwie
grupy ( Ozga-Zielińska 1995)
modele o parametrach skupionych,
modele o parametrach rozłożonych.
Pierwsza grupa modeli posługuje się
pojedynczymi wartościami liczbowymi
wyrażającymi skumulowane parametry obiektu.
Natomiast modele o parametrach rozłożonych
cechują się przestrzenną zmiennością
parametrów i odwzorowują taką samą
zmienność modelowanego obiektu.
Inny podział modeli, powszechnie występujący
w literaturze, wyodrębnia modele fizycznie
uzasadnione(Kundzewicz 1985), zwane także
modelami genetycznymi, w których uwzględnia
się genezę i fizykę modelowanego zjawiska
oraz modele koncepcyjne. Podział ten nie jest
jednak zbyt precyzyjny, bowiem każda
schematyzacja modelu fizycznego i jego
dyskretyzacja zawiera w sobie czynnik
koncepcyjny. W zagadnieniach modelowania
przepływu cieczy w korytach otwartych
określenie model genetyczny zastępowane jest
najczęściej pojęciem modelu
hydrodynamicznego, lepiej przybliżającego
istotę modelu (jego podstawy fizyczne).
Szerszą dyskusję dotyczącą modelowania i
modeli numerycznych zjawisk hydraulicznych
przedstawił Wosiewicz w pracy „O
modelowaniu i modelach numerycznych zjawisk
hydraulicznych”(Wosiewicz 1996). Model
matematyczny jest tam definiowany jako
matematyczny opis zachowania się
modelowanego obiektu, zaś modelowanie
matematyczne służy do rozwiązywania
problemów inżynierskich przez sporządzenie
opisu matematycznego zjawiska i
rozwiązywaniu równań wynikających z tego
opisu dla konkretnego obiektu lub zjawiska.
Opis matematyczny utożsamiać należy z
równaniem lub układem równań (najczęściej
jest to układ równań różniczkowych)
opisujących wewnętrzne prawidłowości
- równanie ciągłości
j= 1 j
3
∑ =
∂u
i
∂x
i 1 i
- równanie bilansu pędu
3 ∂ui
+ ∑u
j
∂t
∂ui
∂x
1 ∂p
1
= Fi
− +
ρ ∂x
ρ
i
= 0
3
∑
∂τ
∂x
ij
j= 1 j
zjawiska czy procesu wraz z niezbędnymi
warunkami i parametrami, których
sformułowanie określa jednoznaczność tego
zjawiska czy procesu. Szczegółowej analizie
poddano modele matematyczne, które według
klasyfikacji przedstawionej wcześniej są
modelami hydrodynamicznymi (genetycznymi),
a ponadto w których konieczne jest stosowanie
dyskretnych metod numerycznych i
komputerów. Model numeryczny zjawisk
hydraulicznych definiowany jest w cytowanym
artykule jako model matematyczny wraz z
opracowanym (lub istniejącym) rozwiązaniem
numerycznym (numeryczna metoda
rozwiązania) w postaci szczegółowego
algorytmu (zazwyczaj zaimplementowanego w
postaci odpowiedniego programu
komputerowego) oraz wszystkich liczb
(danych) opisujących obiekt, proces czy
zjawisko wymaganych przez ten algorytm. Z
definicji tej wynika, że modelu numerycznego
nie można oddzielić od konkretnej metody
numerycznej i liczb opisujących dane zjawisko.
Zmiana numerycznej metody rozwiązania lub
danych jak również zmiana równań opisujących
zjawisko jest w istocie zmianą całego modelu.
Równania ruchu wody w kanałach otwartych
Równaniami podstawowymi w modelach
hydrodynamicznych, opisującymi przepływ
wody z powierzchnią swobodną, są równania
Naviera-Stokesa (Szymkiewicz 2000). Przepływ
w sieci rzecznej opisywany jest natomiast
równaniami uśrednionego przepływu
turbulentnego, które wyprowadzane są z równań
Naviera-Stokesa poprzez wprowadzenie do nich
wielkości uśrednionych np. według metody
Reynoldsa(Sawicki 1998). Ponieważ układ ten
jest układem niedomkniętym, który musi zostać
uzupełniony o zależności określające własności
naprężeń turbulentnych np. poprzez
zastosowanie empirycznego modelu turbulencji
Boussinesqa. Równania Reynoldsa może zostać
zapisane w postaci (Sawicki 1998):
(1)
(i=1,2,3) (2)
gdzie: t- czas [s], xi- współrzędne przestrzenne, i=1,2,3 [m], ui- uśredniona składowa wektora prędkości w
kierunku xi [m/s], ρ - gęstość wody [kg/m 3 ], p- ciśnienie [kg/ms 2 ], τij reprezentuje naprężenia
spowodowane burzliwością i lepkością, Fi- składowe wektora sił masowych i=1,2,3 [m/s 2 ].

Równania (1) i (2) opisują model uśrednionego
przepływu turbulentnego w przestrzeni
trójwymiarowej. Uśredniając równania (1) i (2)
po głębokości (i wprowadzając szereg założeń
upraszczających) otrzymuje się dwuwymiarowe
równania płytkiej wody (Szymkiewicz 2000), w
których jako niewiadome występują dwie
składowe wektora prędkości oraz głębokość
strumienia cieczy. Całkując te równania po
głębokości oraz szerokości cieku otrzymujemy
natomiast równania Saint-Venanta najczęściej
stosowane w analizie transformacji przepływu
dla długich odcinków rzek.
równanie ciągłości:
równanie bilansu ciągu:
∂ Q ∂(
Ac
+ A
+
o )
= q
∂x
∂t
Q /Ac
) h
+ gAc
(
x
x
2
∂Q ∂(
β
∂
+
∂t
∂
∂
Cechy jednowymiarowych
hydrodynamicznych modeli przepływu
nieustalonego
83
Modele jednowymiarowe dobrze odwzorowują
cieki wodne, w których warunki przepływu nie
odbiegają znacząco do założeń ruchu
jednowymiarowego czyli występowania
jednego dominującego kierunku przepływu
zgodnego ze spadkiem podłużnym rzeki
(Sawicki 1998). Układ równań de Saint-
Venanta opisujący transformację
jednowymiarowego przepływu nieustalonego
może przyjąć postać (Maidment 1992):
+ S f + Sec ) + W = 0
gdzie:
Q - natężenie przepływu [m 3 /s], h - rzędna zwierciadła wody [m], x - współrzędna położenia przekroju [m],
Ac - pole powierzchni strefy aktywnej przekroju rzeki[m 2 ], Ao - pole powierzchni stref retencji przekroju rzeki
[m 2 ], t - czas [s], g - przyspieszenie ziemskie [m/s 2 ], q – jednostkowy dopływ boczny na długości cieku
[m 3 /s/m],
β - współczynnik Saint-Venanta [-], Sf - spadek hydrauliczny [-],
S ec - człon uwzględniający straty przy zawężeniu lub rozszerzeniu przekroju [-], W=qQ/A c – człon
uwzględniający jednostkowy dopływ boczny w równaniu ruchu [m 3 /s 2 ].
Dla tego typu modeli łatwo jest pozyskać
informację o geometrii obszaru przepływu
(przekroje poprzeczne) oraz zbudować
topologię układu rzecznego. Również zbór
parametrów podlegających procedurze
tarowania jest stosunkowo niewielki. Model
jednowymiarowy stosowany jest do obliczeń
transformacji fal ekstremalnych a w
szczególności określenia czasu przejścia
kulminacji, rozkładu stanów i przepływów w
danej chwili czasowej. Otrzymywane wartości
stanów i przepływów są uśrednione po
szerokości i głębokości przekroju poprzecznego,
stąd też nie otrzymamy z takiego modelu
przestrzennego rozkładu pola prędkości. Wyniki
z takiego modelu są przydatne w analizie
scenariuszy przejścia fal powodziowych, przy
pracach projektowych związanych z budową
systemu ochrony przeciwpowodziowej,
przebudowie budowli hydrotechnicznych,
regulacji koryt rzecznych oraz wyznaczania
bilansu zlewni danego cieku.
Wykorzystanie modeli jednowymiarowych w
sposób istotny komplikuje się w przypadku
próby modelowania długiego odcinka rzeki
zawierającego szerokie tereny zalewowe,
dopływy, poldery oraz inne budowle
hydrotechniczne. Podstawowym problemem jest
(3)
(4)
tutaj nieadekwatność przyjętego w modelach
jednowymiarowych założenia o jednym
dominującym kierunku przepływu do
rzeczywistych warunków panujących w cieku.
Naturalne, szerokie tereny zalewowe i poldery
mają decydujący wpływ na transformację
przepływu w cieku dla fal wezbraniowych i
powodziowych. Ich poprawne odwzorowanie
stanowi najbardziej istotny i najtrudniejszy
element budowy jednowymiarowego modelu
numerycznego rzeki. Pełne odwzorowanie tych
elementów sieci rzecznej wymagałoby
zastosowania przynajmniej modeli
dwuwymiarowych, lepiej opisujących
rzeczywiste warunki przepływu. Pomimo
znaczącego rozwoju takich modeli ich
zastosowanie praktyczne dla długich odcinków
rzek jest jeszcze mało realne co związane jest
przede wszystkim z kosztami pozyskania
wiarygodnych danych pomiarowych
niezbędnych do budowy modelu i jego
weryfikacji. Istotnym ograniczeniem modeli
bazujących na równaniach de Saint Venanta jest
również zagadnienie stałego w czasie obszaru
przepływu i brak możliwości zmiany topologii
sieci rzecznej w trakcie obliczeń. Uniemożliwia
to modelowanie szeregu istotnych zjawisk
hydrodynamicznych np. przelewania się wody

84
przez koronę wałów przeciwpowodziowych,
przerwania wału, wyznaczenia zasięgu obszaru
zalewowego po przerwaniu obwałowania itp.
Innym znaczącym problemem jest uzyskanie
wiarygodnego bilansu przepływu szczególnie w
sytuacji, gdy jest on szacowany na bazie
granicznych wartości krzywych przepływu w
przekrojach wodowskazowych. Krzywe te są
obarczone błędem, który dla ich górnych
zakresów może sięgać nawet 30% i trudno
przyjąć założenie, że wprowadzone do modelu
na ich podstawie dane są wartości pewnymi.
Istotnym elementem modelowania długiego
odcinka rzeki jest oszacowanie dopływów
jednostkowych na długości cieku, który nie
może być traktowany jako pomijalnie mały i nie
mający znaczącego wpływu na otrzymywane
wyniki. W praktyce numeryczny model
transformacji przepływu powinien być
sprzęgnięty z dobrze zdefiniowanym modelem
hydrologicznym opad-odpływ oraz modelem
wyznaczania dopływów jednostkowych
uwzględniającym spływ powierzchniowy oraz
przepływ filtracyjny.
Jednowymiarowe modele bazujące na
równaniach de Saint-Venanta stanowią zatem
nadal jedyne narzędzie analizy i prognozowania
transformacji przepływów dla długich odcinków
rzek i sieci rzecznych. Poprzez wprowadzenie
dodatkowych parametrów modelu możliwe jest
lepsze odwzorowanie rzeczywistych warunków
przepływu w obrębie szerokich dolin
zalewowych oraz polderów przyrzecznych, w
obrębie których ruch cieczy ma zdecydowanie
charakter przestrzenny.
Jednowymiarowy model dla sieci rzecznej z
szerokimi dolinami zalewowymi i polderami
Wpływ szerokich terenów zalewowych na
transformacje przepływu nieustalonego można
uwzględnić w układzie równań Saint-Venanta
przez umowne podzielenie przekroju rzeki na
przekrój czynny AC (przepływowy) oraz przekrój
całkowity A = AC+AO gdzie AO oznacza pole
powierzchni strefy aktywnej przekroju rzeki.
Podstawowa trudność jaką napotykamy to
określenie sposobu wyznaczenia pola
powierzchni strefy aktywnej. Strefa ta wyznacza
geometrię obszaru przepływu, a obszar ten, w
założeniach, definiowany jest na podstawie
pomiarów bezpośrednich i stanowi parametr
uznawany za pewny i nie podlegający
procedurze identyfikacji.
Analizując proces wymiany mas wody między
korytem głównym a terenami zalewowymi
zauważyć można zmniejszenie prędkości
przepływu w korycie głównym. Jednocześnie
masy wody z koryta głównego przemieszczają
się w kierunku terenów zalewowych o mniejszej
prędkości przepływu, gdzie zostają gwałtownie
wyhamowane wskutek zwiększonych oporów
przepływu. Uwzględnienie tego zjawiska w
modelach jednowymiarowych realizowane jest
poprzez podział złożonego przekroju
poprzecznego koryta za pomocą powierzchni
rozdziału o określonej szorstkości. Stanowiło to
podstawę metody Pasche (Pasche 1984), która
umożliwiła także odwzorowanie aktywnej
części przekroju w jednowymiarowym systemie
modelowania przepływów nieustalonych
SPRUNER (Laks, Kałuża, 2005).
Rys.1. Schemat wyznaczania aktywnej części przekroju w jednowymiarowych modelach
przepływu wg. Metody Pasche.
W systemie przyjmuje się, że czynna część
przekroju składa się z obszaru wyznaczającego
wodę brzegową powiększonego o zasięg strefy
bII (ryc.1)interakcji koryta głównego i terenów
zalewowych obliczanego zgodnie ze wzorem
(5).

4
3
R
b II =
(5)
2
8 g n
hz
0.
56CT
( 0.
068e
− 0.
056)
z
gdzie: Rhz – promień hydrauliczny terenu zalewowego [m], nz – współczynnik szorstkości terenów
zalewowych, CT – parametr określający tzw. prędkość poślizgu ("slip-velocity") w metodzie Pasche
Aktywna strefa przepływu jest wyznaczana
wtedy według schematu:
dla stanów poniżej wody brzegowej strefa
aktywna i obszar całkowitego przepływu
pokrywają się,
powyżej wody brzegowej, dla każdej
tablicowanej wartości, obliczany jest zasięg
strefy aktywnej dla i prawego brzegi
zgodnie ze wzorem (5),
znając zasięg strefy aktywnej obliczane jest
pole powierzchni Ac(h) oraz pozostałe
parametry niezbędne do numerycznego
rozwiązania układu równań de Saint-
Venanta.
Dla każdego przekroju system przechowuje
zatem dwa zestawy danych, osobno dla strefy
aktywnej i obszaru całkowitego przepływu. W
systemie przechowywane są także wartości
parametru CT z równania (5) dla każdego z
przekrojów, osobno dla lewego i prawego
terenu zalewowego. Umożliwia to
wykorzystanie tego parametru jako stałej
modelu, którego wartość może być ustalana w
procesie tarowania modelu.
Numeryczny model sieci rzecznej
uwzględniający oddziaływanie zbiorników
przyrzecznych musi również umożliwiać
analizę złożonych układów polderów
połączonych z korytem cieku przelewami
wałowymi. Poldery mogą być zasilane przez
jeden lub więcej przelewów zlokalizowanych na
różnych odcinkach rzeki lub dopływach.
Trzeba uwzględnić, że ciek może zasilać polder
lub być alimentowany przepływem ze
zbiornika.
Przy opracowaniu systemu modelowania układu
wielopolderowego przyjmuje się szereg założeń
schematyzujących zagadnienie
(Laks,Wosiewicz, 1996):
oddziaływanie hydrauliczne polderu na
przepływ w rzece oraz rzeki na stany w
zbiorniku odbywa się wyłącznie poprzez
przelewy wałowe (pomija się np. przepływ
filtracyjny),
brak ruchu oraz poziomy układ zwierciadła
wody w zbiorniku, każdy zbiornik
charakteryzuje wyłącznie krzywa
napełnienia V(Hz),
z każdym zbiornikiem musi być związany
przynajmniej jeden przelew boczny (w
85
przeciwnym razie zbiornik nie zostanie
uwzględniony w analizie),
liczba przelewów mk związanym z k - tym
zbiornikiem jest ograniczona wyłącznie
całkowitą liczbą zdefiniowanych
przelewów (mk ≤ m),
brak bezpośredniego oddziaływania
polderów między sobą,
odcinek z przelewem wałowym stanowi
węzeł modelu z odpowiednio dobranymi
równaniami transformacji przepływu.
Model sieci rzecznej bez polderów, opisany
przez N przekrojów poprzecznych, stanowi
system N-1 odcinków i węzłów o Nw
swobodnych końcach. Ogólna liczba
niewiadomych wynosi 2N a liczba równań 2N-
Nw. Domknięcie układu równań jest zapewnione
poprzez zdefiniowanie Nw wymuszeń w
przekrojach brzegowych modelu (warunki
brzegowe). W modelu sieci rzecznej lub sieci
kanałów otwartych uwzględniającym pracę
systemu polderów z M przelewami wałowymi i
Z zbiornikami wprowadzić musimy M
dodatkowych odcinków specjalnych. Dla
każdego z nich musimy zdefiniować
odpowiednie równanie ruchu i bilansu masy.
Łączna liczba równań jest wówczas równa
liczbie niewiadomych. Dodatkowo muszą
zostać wyznaczone wartości wydatków
j
poszczególnych przelewów Q prz oraz
napełnienia polderów V k . Do układu równań
wprowadzonych zostaje więc M+Z nieznanych
parametrów, które wymagają zdefiniowania
dokładnie tej samej liczby równań.
Zależnościami tymi są:
odpowiednio sformułowane równanie
wydatku przelewu wałowego
Q =f(Qg,hg,Qd,hd,Hz) uwzględniające
j
prz
analizowane fazy pracy, parametry
geometryczne oraz lokalizację przewału, w
którym:
Qg, Qd – przepływ przed i za przelewem
[m 3 /s],
hg,hd – rzędne zwierciadła wody przed i za
przelewem [m],
Hz – rzędna zwierciadła wody w zbiorniku
(polderze) [m],

86
- równanie zmiany retencji polderu
k
1
V ( t)
= f ( Q
2
, Q
mk
... Q ) .
prz
prz
Z modelu cieku opartego na zdyskretyzowanych
równaniach de Saint-Venanta, uzupełnionego
układem polderów, otrzymujemy nie tylko
hydrogramy przepływów i stanów, ale również
przebieg wydatków przelewów wałowych,
napełnienia i retencji zbiorników.
Stanowią one integralny składnik rozwiązania.
Informacje te mogą stanowić ponadto zbiór
danych wykorzystywany do dalszej
szczegółowej analizy, na przykład jako warunki
brzegowe dla dwuwymiarowych modeli
przepływu.
Tarowanie modelu długiego odcinka rzeki
System modelowania, który wykorzystuje się do
budowy modelu odcinka cieku musi umożliwiać
identyfikację modelu z obiektem rzeczywistym.
Szersza dyskusja na ten temat została
przedstawiona w pracy Laksa i Wosiewicza
(2008). W dyskusji tej wskazano, że im większa
liczba wolnych parametrów w modelu tym
większe możliwości identyfikacyjne, ale proces
identyfikacji jest trudniejszy. Część parametrów
jest zwykle dobrze zdefiniowana i może być
wyznaczona przez bezpośredni pomiar (np.
geometria przekrojów rzeki, geometria budowli)
a inne oszacowane (np. dopływy boczne
wynikające zwiększenia zlewni). Pewna liczba
parametrów modelu służy do skorygowania
odstępstw w zachowaniu się modelu w stosunku
do obserwacji na obiekcie. Muszą być one
wyznaczone w czasie identyfikacji modelu z
obiektem, w procesie tarowania modelu. Do
takich parametrów w klasycznym podejściu
zalicza się współczynniki szorstkości
definiujące opory ruchu, które w istocie są
parametrami modelu ukrywającymi jego
niedoskonałość i uproszczenia. Zestaw
parametrów podlegających procedurze
tarowania winien być jednak rozszerzony o
między innymi o aktywną szerokość przekroju,
współczynniki wydatków różnego typu
budowli, szczególnie w sytuacji gdy zarówno
formuły wydatku jak i współczynniki zostały
przyjęte na podstawie danych literaturowych.
Wartości te są kolejnymi niepewnymi
parametrami modelu, które w praktyce
inżynierskiej często bywają uznawane za
wartości wiarygodne.
Dla modelu długiego odcinka rzeki z
dopływami i złożoną zabudową liczba
parametrów wymagających takiego
wyznaczenia może być bardzo duża. Ich
określenie wymaga zawsze sformułowania
odpowiednich miar (metryk) służących do
ilościowego określenia różnic pomiędzy
prz
wielkościami wyznaczonymi na modelu od
zaobserwowanych na obiekcie (miary
dopasowania), a następnie wyznaczenie tych
parametrów tak, aby te odstępstwa były
możliwie małe w sensie przyjętych kryteriów.
W ten sposób problem tarowania sprowadza się
do typowego problemu optymalizacyjnego, w
którym należy wyznaczyć pewną liczbę
zmiennych, spełniających układ ograniczeń
(równań lub nierówności) i minimalizujących
pewną funkcję optymalizacyjną (kryterium
jakości, a tu miarę błędu). Należy pamiętać, że
poszukiwane rozwiązanie optymalne jest
zawsze wartością względną, jest to bowiem
rozwiązanie mieszczące się w zbiorze
rozwiązań spełniających przyjęte ograniczenia i
wyznaczone względem sformułowanego
kryterium jakości. Zmiana któregokolwiek
ograniczenia lub kryterium jakości może
prowadzić do innego rozwiązania. Co więcej w
problemach optymalizacji nieliniowej, a do
takich należeć będzie z reguły taki problem
identyfikacji parametrów, uzyskane iteracyjnie
ostateczne rozwiązanie zależeć będzie jeszcze
od metody rozwiązania, punktu startowego i
sposobu uznania rozwiązania za ostateczne
(warunek zakończenia iteracji).
Jest rzeczą oczywistą, że byłoby najlepiej
gdyby wszystkie parametry, występujące w
równaniach model definiujące móc wyznaczyć
bezpośrednio poprzez pomiar lub wyrazić przez
inne mierzalne parametry (np. wymiary
geometryczne przekrojów czy budowli
mostowych). Nie wszystkie jednak można tak
wyznaczyć. Dotyczy to już choćby odległości
obliczeniowych między przekrojami (mogą się
zmieniać z napełnieniem), współczynników
szorstkości (mają dobrze zdefiniowany sens
fizyczny ale nie podlegają bezpośredniemu
pomiarowi). Zwykle zatem część parametrów
trzeba wyznaczyć w procesie identyfikacji
modelu.
Przyjmijmy tu, że przez bezpośredni pomiar
lub przez stosowne analizy można oszacować
wartości wszystkich parametrów modelu poza
aktywną szerokością przekroju, oporami ruchu,
wydatkami przelewów, które różną się
generalnie dla poszczególnych przekrojów i
zależną od zdefiniowanych parametrów.
Oznaczany każdy parametr symbolem c w celu
uproszczenia zapisu zmiennych indeksowanych.
Ponumerujmy nieznane parametry c indeksami
dolnymi (od 1 do N, gdzie N jest całkowitą
liczbą parametrów) i zapiszmy je w postaci
wektora
= c
[ , , , ...,
1 2 3 N c c c c
]
(6)

Zbiór wartości ck, czyli wektor c jest
niewiadomą naszego zadania. Na każdą z nich
można nałożyć pewne ograniczenia, wynikające
z przesłanek fizycznych. Założymy, że znamy te
ograniczenia
ck min≤ck
≤ck
max
gdzie :
k=
1,
2,...,
N
Założymy dalej, że identyfikacji dokonamy
dla jednej tylko fali powodziowej. Uogólnienie
na większą liczbę fal jest formalnie łatwe, ale
zwiększa oczywiście liczbę koniecznych
obliczeń i może przysporzyć pewnych kłopotów
przy algorytmizacji. Załóżmy, że
wykorzystywaną do tarowania modelu fala była
obserwowana w Lp ≥ 1 przekrojach kontrolnych
(wodowskazowych), odpowiednio w każdym
l1, l2, …, lp razy (np. co dobę, lub co kilka
godzin) w czasie tj, gdzie j = 1,2,…,li. Znane są
zatem hydrogramy stanów w przekrojach
kontrolnych (t)
, i =1,2,…,Lp i liczby
H i
H = H ( t ) .
ij i j
Jeżeli umiemy rozwiązać układ równań
Saint-Venanta dysponują stosownym systemem
modelowania, wówczas dla danych wartości
wektora c (znane wszystkie ck) możemy
wyznaczyć obliczeniowe (przybliżone zatem)
hydrogramy stanów w poszczególnych
~
przekrojach, równe H ( t)
oraz liczby
i
87
~ ~
H = H ( t ) . Liczby ij i j
ij H~ są oczywiście
~ ~
funkcjami wektora c, czyli ( c)
H H = .
Podkreślić jeszcze warto, że H ij pochodzą z
pomiaru i są obciążone błędami pomiaru a ij H~
to przybliżone wartości wyznaczone na
podstawie jakieś metody numerycznej np.
programem komputerowym SPRuNeR
(Laks,Kałuża 2005). Aby obliczone liczby ij H~
były bliskie obserwowanym H konieczne
ij
jest, aby przyjęte w obliczeniach wartości liczb
ck w wektorze c były bliskie rzeczywistym
wartościom.
Miarę dopasowania (metrykę dopasowania)
można formułować na podstawie różnych
wielkości (por. np. Haghi-Khatibi 1998). W
problemach analizowanych w prezentowanej
pracy najczęściej dysponujemy jedynie
hydrogramami stanów (wyznaczonymi z różną
dokładnością), stad opierać się będziemy na
tych wielkościach.
Różnica
~ ~
e = H(
t ) −H(
t ) = H −H
ij
i
j
i
j
ij
ij
ij
ij
(8)
jest błędem obliczeń w i-tym przekroju
kontrolnym dla czasu tj (patrz ryc.2).
Rys.2. Hydrogramy w przekroju i: obserwowany H (t)
i obliczony
~
i ( t)
.
Jako miarę błędu dla wszystkich obserwacji
przyjąć można sumę wartości bezwzględnych
wszystkich błędów (z wagami wi
odpowiadającymi wiarygodności obserwacji w
poszczególnych przekrojach kontrolnych), czyli
wielkość
Lp li
Lp li ~
E(
c ) = ∑w ∑ e = ∑w ∑ H ( c)
− H
(9)
i
i=
1 j=
1
(7)
Żądać należy minimalizacji tak zdefiniowanego
błędu (metryki dopasowania).
ij
i
i=
1 j=
1
ij
ij
Zagadnienie zostało zatem sprowadzone do
typowego problemu optymalizacji.
SpośródOOwszystkichOOwartości
H i

88
[ , , , ..., ]
1 2 3 N c c c c = c spełniających układ
ograniczeń (7) należy znaleźć takie, które
minimalizują funkcję (9).
Podkreślić warto, że nie znamy postaci funkcji
E(c), jednakże dla każdego wektora c możemy
wyznaczyć jej wartość. Funkcja E(c) jest
ponadto funkcją nieliniową. Rozwiązania
takiego problemu można poszukiwać znanymi
metodami optymalizacyjnymi (Findeisen 1977).
Proces znajdowania zbioru liczb c,
spełniających układ ograniczeń i
minimalizujących miarę błędu dopasowania,
oparty na klasycznych, sekwencyjnych
metodach optymalizacyjnych, można opisać
następująco: przyjmujemy punkt startowy, tu
wartości wektora c (0) , w którym wszystkie
zmienne c1, c2,…,cN należą do zbioru rozwiązań
dopuszczalnych, czyli spełniają ograniczenia (7)
a następnie generujemy ciąg następujących po
sobie punktów c (k) , k = 1,2,…, na podstawie
jednoznacznego, ściśle określonego algorytmu,
aż do znalezienia punktu c (I+1) należącego do
zbioru rozwiązań problemu, stanowiącego
zatem poszukiwane rozwiązanie problemu (dla
stosowanego algorytmu i punktu startowego).
Warto zwrócić uwagę na kilka ważnych kwestii
dotyczących realizacji konkretnego algorytmu.
Przyjęty sposób wyznaczenia następnego
Wyznaczenie kierunku poszukiwań sprowadza
problem do wyznaczenia ekstremum wzdłuż
tego kierunku. Rozwiązania poszukiwano
metodą systematycznego przeszukiwania ze
zmianą (skróceniem) kroku przy następnym
kierunku poszukiwań.
Istotne znaczenie ma przybliżenie startowe,
im lepsze tym szybciej możemy osiągnąć
rozwiązanie i uznać identyfikację za
zakończoną. Na podstawie materiałów
kartograficznych, literatury i badań terenowych
możliwe jest na ogół oszacowanie przybliżonej
wartości parametrów modelu. Możliwe jest
także określenie zakresu zmian k min
∂ E E(
c + ∆c
) − E(
c )
i i
i
≅
∂c
∆c
i
c i c . k max
2
e = c
1
i
przybliżenia ma istotny wpływ na możliwość
uzyskania rozwiązania (na zbieżność i
stabilność metody) oraz koszt tych obliczeń.
Zwrócić trzeba uwagę na duży zwykle zbiór
zmiennych co stanowi istotne utrudnienie.
W prezentowanych dalej obliczeniach użyto
algorytmu (metody) najszybszego spadku
(Findeisen 1977). Należy ona do metod
gradientowych rzędu pierwszego i była już
stosowana w procesie identyfikacji
hydraulicznych modeli przenoszenia masy
(Szymkiewicz 1983) W tej metodzie przy
generowaniu ciągu przybliżeń c (k) korzysta się
ze złożenia dwóch odwzorowań, tzn.
wyznaczenia kierunku poszukiwań a następnie
określenia punktu c (k+1) realizującego minimum
funkcji w kierunku przyjętego wektora
poszukiwań. W metodzie najszybszego spadku
jako kierunek poszukiwań przyjmuje się
kierunek wyznaczony przez gradient funkcji
dopasowania (ze znakiem minus), czyli
(k )
(k )
− ∇E(
c ) . Postać funkcji E( c ) nie jest
jak wiemy znana. Można tylko obliczyć jej
wartość dla dowolnych argumentów. Stąd zatem
składowe wektora gradientu wyznaczano przez
szacowanie, zastępując pochodne ilorazami
różnicowymi
(10)
Oszacowane wartości mogą posłużyć w
procesie tarowania jako wartość startowa, a
ustalony zakres zmian stanowią ograniczenia
(7).
Następną kwestią jest sprawa uznania
rozwiązania za spełniające warunki zakończenia
obliczeń. Zwykle uznajemy, że osiągnęliśmy
rozwiązanie gdy w kolejnych dwóch iteracjach
(I oraz I+1) zmiany wektora rozwiązań są
niewielkie lub gdy zmiany metryki dopasowania
są niewielkie i można uznać, że ekstremum
zostało osiągnięte. Można zatem przyjąć, że
rozwiązanie zostało osiągnięte, gdy:
( I + 1)
( I )
c − ≤ ε
(11)
1
e = E c − E c <
(12)
( I + 1)
( I )
( ) ( ) ε 2
gdzie ε 1, ε 2 są przyjętymi arbitralnie liczbami a jako normę wektorów można przyjąć
( I + 1)
( I )
( I + ! ) ( I )
c − c = max ci − ci
(13)
1≤i≤
N

Dla uniknięcia pułapek związanych z
charakterem użytej metryki dopasowania typu
„szeroka dolina” lub „wąski wąwóz” zaleca się
(Szymkiewicz 1983) stosowanie obu miar.
Po zakończeniu tego procesu identyfikacji
niezbędne jest jeszcze wykonanie obliczeń dla
fali (fal) i obserwacji nie użytych w procesie
identyfikacji, dla potwierdzenia czy rezultaty są
równie dobre, czy znaleziony zbiór c ma
charakter uniwersalny, niezależny od fali
powodziowej, czyli dokonać weryfikacji
modelu. Jeżeli dla wyznaczonych uprzednio
wartości wektora c różnice pomiędzy stanami
obliczonymi a obserwowanymi, dla innych, nie
wykorzystanych w procesie identyfikacji, fal
powodziowych nie będą zbyt duże (w sensie
przyjętej miary błędów) to taki model uznamy
za poprawny, za model zweryfikowany.
Podsumowanie
Rozwój metod numerycznych oraz ich
implementacja do rozwiązywania zagadnień
modelowania długich odcinaków rzek nizinnych
sprawiły, że proces modelowania stał się
dostępny dla stosunkowo szerokiej grupy
badaczy i projektantów. Dostęp do
komercyjnych i darmowych aplikacji
komputerowych umożliwiających zbudowanie
modelu odcinka cieku jest dziś powszechny a
podstawową barierą ich stosowania jest
pozyskanie wiarygodnego zestawu danych
niezbędnego do poprawnego przeprowadzenia
obliczeń. Pojawił się jednak problem braku
wiedzy wśród użytkowników oprogramowania
na temat podstaw fizycznych zjawiska
przepływu, jego opisu matematycznego,
wprowadzonych uproszczeń do równań
transformacji, błędów generowanych przez
numeryczną metodę poszukiwania rozwiązania.
Przedstawione w pracy wybrane aspekty
procesu numerycznego modelowania
przepływów nieustalonych wskazują, że proces
ten nie jest łatwy i musi zawsze być
poprzedzony wnikliwa analizą wszystkich jego
elementów. Praca koncentruje się na
wykorzystaniu modeli jednowymiarowych i
wskazuje, które elementy sieci rzecznej mogą
sprawić najwięcej problemów w procesie
modelowania oraz jak istotnym jest właściwe
zdefiniowanie procedury identyfikacji
tarowania.
Odwzorowania szerokich dolin zalewowych
oraz polderów wprowadzają do
jednowymiarowych modeli przepływu
nieustalonego bazujących na układzie równań
de Saint-Venanta nowe parametry wymagające
tarowania w procesie identyfikacji modelu z
obiektem rzeczywistym. Przyjęcie
współczynnika oporów ruchu jako jedynego
89
parametru tarowania nie ma zastosowania dla
modeli długich odcinków rzek z obiektami o
zdecydowanie przestrzennym charakterze ruchu
wody w ich obrębie. W praktyce, dla każdej
symulacji, w której analizowana jest fala
wezbraniowa lub powodziowa koniecznym jest
dobór parametru determinującego zasięg strefy
aktywnej (w opisanym powyżej schemacie jest
to wartość CT ) i jej zmienność wraz z
napełnieniem. Unikamy w ten sposób
wprowadzania do modelu wartości
współczynników szorstkości zdecydowanie
odbiegających od ich realnego zakresu co w
istocie wskazuje na nieadekwatność podstaw
fizycznych modelu lub niepewność danych
opisujących geometrię cieku, która to geometria
uznawana jest jako dana wiarygodna.
W przypadku modelowania polderów jako
zbiorników przyrzecznych połączonych z
ciekiem poprzez przelewy wałowe procedurze
tarowania mogą podlegać przede wszystkim
współczynniki wydatku przelewów, które
zazwyczaj przyjmowane są na podstawie
danych literaturowych. Ich końcowa wartość
musi jednak również mieścić się w zakresach,
które nie przekraczają wartości granicznych
determinujących stosowalność przyjętego
równania wydatku przelewu.
LITERATURA
ABBOTT M.A., HAVNØ K., LINDBERG
S.(1991): The forth generation of numerical
modelling in hydraulics, Journal of Hydraulic
Research, Vol 29.
CUNGE J.A. (1989): Recent Developments in
River Modelling, Proc.Int.Conf. Hydraulic and
Environmental Modeling of Coastal, Estarine
and River Water, Bradford, England.
FINDEISEN W., SZYMANOWSKI J.,
WIERZBICKI A.: Teoria i metody
obliczeniowe optymalizacji, Warszawa, PWN,
1977.
HAGHI-KHATIBI R., WILLIAMS J.J.R.,
WORMLEATON P.R.: The Effect of Data
Errors in Optimization of the Saint-Venant
Flood Routing Equations. [in: ] Computer
Methods & Water Resources, 1988, pp. 219-
230.
KUNDZEWICZ: Modele hydrologiczne ruchu
fal powodziowych, Monografie Komitetu
Gospodarki Wodnej, Warszawa 1985.
LAKS I., KAŁUŻA T. (2005), Implementacja
Aktywnej Strefy Przepływu w Komputerowym
Systemie Modelowania Przepływu
Nieustalonego SPRUNER, Gospodarka Wodna,
Zeszyt nr 1, 2005.

90
LAKS I., WOSIEWICZ B.J. (1997):
Uwzględnienie oddziaływania polderów w
jednowymiarowych modelach transformacji
przepływu. Roczniki Akademii Rolniczej w
Poznaniu, Melioracje i Inżynieria Środowiska
19s.159-167,1997 r.
MAIDMENT D.R.(editor) (1992): Handbook of
Hydrology, McGRAW-HILL INC, New York.
OZGA-ZIELIŃSKA M. BRZEZIŃSKI J.
(1995): Hydrologia stosowana, Warszawa$.
PASCHE E. (1984): Turbulenzmechanismen in
naturnahen Fließgewässern und die
Möglichkeiten ihrer mathematischen Erfassung.
Mitt. Institut für Wasserbau und
Wasserwirtschaft, RWTH Aachen, Heft 52.
SAWICKI J.M. (1998): Przepływy ze swobodną
powierzchnią, Wydawnictwo Naukowe PWN
S.A., Warszawa.
SZYMKIEWICZ R.(1983): Przenoszenie masy
w warunkach nieustalonego przepływu ze
swobodnym zwierciadłem – metoda
identyfikacji parametrów. Archiwum
Hydrotechniki, 30, z.3, s.121-138.
SZYMKIEWICZ R(2000).: Modelowanie
matematyczne przepływów w rzekach i
kanałach, Wydawnictwo naukowe
PWN,Warszawa.
WOSIEWICZ J.B. (1996): O modelowaniu i
modelach numerycznych zjawisk
hydraulicznych. Gosp. Wod. 3/1996 s.74-85
WOSIEWICZ B., LAKS I., SROKA Z. (1996):
Computer system of flow simulation for the
Warta river, Prace Naukowe Instytutu
Geotechniki i Hydromechaniki Politechniki
Wrocławskiej, seria Konferencje 38, Wrocław.