Instantoni - phy

gdje suma samo po neparnima ide zbog rubnih uvjeta. Ako ho¢emo F (a, a, T ), tj. da £estica u
svom osciliranju izmežu dviju jama, nakon T, opet zavr²i odakle je i po£ela, onda sumiramo po
parnim N. Kona£ni rezultat je
1
F (±a, a, T ) = F ho
2
= 1 2
( mω
π
[
e JKe−S I / ωT ± e −JKe−S I / ωT ] =
) 1/2 [
e −( 1 2 −JKe−S I / )ωT ± e −( 1 2 +JKe−S I / )ωT ] .
U limesu T → ∞ preºivljavaju dva stanja; |0〉 i |1〉 (vidi dodatak A)
iz £ega se o£itaju njihove energije
norme
i odnos faza
lim
T →∞ F (−a, a, T ) = e−E0T/ 〈±a|0〉〈0|a〉 ± e −E1T/ 〈±a|1〉〈1|a〉,
(1.17)
E 0 = ω 2 − ωJKe−S I / , E 1 = ω 2 + ωJKe−S I / , (1.18)
|〈±a|0〉| 2 = |〈±a|1〉| 2 = 1 2
( mω
) 1/2,
π
〈−a|0〉〈0|a〉 = −〈−a|1〉〈1|a〉 = 1 ( mω
) 1/2.
2 π
S druge strane, znamo da moºemo razvijati oko minimuma obje jame u harmoni£ki oscilator, i
dobiti degenerirane energije E ± = ω/2 i norme
|〈±| ± a〉| 2 =
( mω
) 1/2,
π
gdje smo s |±〉 ozna£ili energijska stanja u lijevoj i desnoj jami. Sad se stanja |0〉 i |1〉 mogu ovako
zapisati
|0〉 = √ 1 (|+〉 + |−〉), |1〉 = √ 1 (|+〉 − |−〉). (1.19)
2 2
Interpretacija je slijede¢a: ako radimo teoriju perturbacije (razvoj) oko jedne jame, ra£unamo
stacionarna stanja i dobiti ¢emo harmoni£ki oscilator. Energije su degenerirane. Tuneliranje cijepa
degeneraciju i stanja harmoni£og oscilatora vi²e nisu stacionarna. Frekvencija oscilacija mežu tim
stanjima je
Ω = E 1 − E 0
= 2JKωe −S I / .
Osnovno stanje pune teorije (koje je stacionarno) je simetri£na linearna kombinacija svojstvenih
stanja. U formalizmu teorije polja to bi bio "pravi" vakuum teorije. Zbog prisutnosti tuneliranja
nema spontanog loma simetrije. U punoj (3 + 1) teoriji polja nau£ili smo na kanonskom primjeru
upravo φ 4 teorije sa "krivim" predznakom mase da je ta teorija spontano slomljena. Za²to
tamo nema tuneliranja? To je zato jer akcija tamo sadrºi jo² i integral po volumenu prostora, pa
je ugrubo akcija proporcionalna volumenu, £ime za beskona£an volumen tuneliranje jednostavno
i²£ezava.
Molekula amonijaka je tipi£an primjer ovakve situacije, imamo atom du²ika koji tunelira kroz barijeru
koja se formira od 3 atoma vodika. Frekvencija tuneliranja je Ω = 24000 MHz. Kako smo
K faktor izra£unali u dodatku B, moºe se dobiti (ako uzmemo a = 10 −10 m) da je ω reda veli£ine
10 12 Hz, pa je vrijeme tuneliranja puno ve¢e od instantonske skale.
Je li instantonski plin zbilja rijedak?
paragrafa je oblika
Eksponencijalni red koji smo sumirali na po£etku ovog
∑
x N /N!
N
8