Instantoni - phy

• invarijantna na homotopne deformacije unutar S 3 int,
• neovisna o koordinatnom sustavu,
• I [gg ′ ] = I [g] + I [g ′ ] 3 ,
i ove tvrdnje koristimo bez dokaza. Ako u (2.12) ubacimo g(a) = a 4 + iσa uz a 4 = √ 1 − a 2 ispada
da je I [g] = 24π 2 .
Vratimo se sad na (2.11). Rekli smo da je na rubu F µν = 0, pa je ε µνρσ ∂ ρ A σ = −ε µνρσ A ρ A σ , pa
je
Q = 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr[A ν A ρ A σ ]. (2.14)
S 3 phy
Ako gore ubacimo asimptotsku formu A µ
Q = 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr[g∂ ν g −1 g∂ ρ g −1 g∂ σ g −1 ]
Sphy
3
= 1 ∮
24π 2 dσ µ ε µνρσ Tr
(g ∂g−1
S 3 phy
∂ξ a
g ∂g−1
∂ξ b
)
g ∂g−1 ∂ξa ∂ξ b ∂ξ c
.
∂ξ c ∂x ν ∂x ρ ∂x σ
Deformirajmo sada S 3 phy
u C 3 phy, tj. hiperkocku. Od njenih 8 stranica koncentrirajmo se na stranicu
x 4 → −∞. Na njoj imamo
Kako je
a
slijedi da je
− 1
24π 2 ∫
dx 1 dx 2 dx 3 ε ijk Tr
(g ∂g−1
∂ξ a
g ∂g−1
∂ξ b
∂ξ a ∂ξ b ∂ξ
(
c
∂ξ
)
ε ijk = ε abc det
∂x i ∂x j ∂x k ∂x
( ∂x
)
dx 1 dx 2 dx 3 = det dξ 1 dξ 2 dξ 3 ,
∂ξ
Q ∝ I [g],
)
g ∂g−1 ∂ξa ∂ξ b ∂ξ c
.
∂ξ c ∂x i ∂x j ∂x k
pa ra£unaju¢i Q zbilja ra£unamo koliko ¢e se puta S 3 phy
namotati na S 3 int.
Npr. trivijalna transformacija g (0) = 1 ima Q = 0. Transformacija g (1) = (x 4 + ixσ)/r je jedini£na
transformacija. To je kao da smo jednom "namotali" S 3 phy
na S 3 int, pa ona ima Q = 1. Iako je
norma (2.8) upravo odabrana da to tako ispadne, to vi²e nije proizvoljno za neke druge transformacije
kao npr. g (N) = (g (1) ) N koja daje Q = N.
Schwarzova nejednakost
Za skalarni produkt
∫
(F, F ) = − d 4 xT r(F µν F µν ),
vrijedi Schwarzova nejednakost
[
(F, F )( ˜F , ˜F )
] 1/2
≥ |( ˜F , F )|.
Kako je (F, F ) = ( ˜F , ˜F ), onda slijedi da je (F, F ) ≥ |( ˜F , F )|, odnosno
S ≥ 8π2 |Q|. (2.15)
g2 3 Odnosno I [g] £ini reprezentaciju π 3 (S 3 ). Jo² jedna stvar: u praksi se zapravo brojem namatanja naziva
veli£ina N W = I /24π 2 , dok je Q striktno topolo²ki naboj. Ideja je da je broj namatanja vezan uz to kako se
element baºdarne grupe preslikava na rub zikalnog prostora, a topolo²ki naboj da je svojstvo samog polja.
16