Instantoni - phy

2.2 Instanton
Rje²enje u jednom baºdarenju g (1) ima Q = 1, koje polje odgovara toj situaciji? Na S phy
3
znamo kako ono izgleda. Pretpostavimo da je generalno oblika
A µ = g (1) (∂ µ [g (1) ] −1 )f(r 2 ). (2.17)
f bi mogli na¢i tako da ovaj ansatz uvrstimo u jednadºbe gibanja (2.5). Ali ako nas zanima samo
rje²enje minimalne akcije vidimo da se jednakost u (2.13) postiºe kada je
F µν = ± ˜F µν 5 .
Ovakve konguracije automatski zadovoljavaju jednadºbu gibanja zbog identiteta (2.7) Tako da
umjesto da rje²avamo jednadºbu drugog, rje²avamo jednadºbu prvog reda: traºimo one konguracije
koje su same sebi dualne ili same sebi antidualne 6 . Ove prve ¢emo zvati instanton, a druge
antiinstanton. Kako uzimamo Q = 1 odmah znamo i akciju S = (8π 2 /g 2 ) 7 .
Uz notaciju s µ = (iσ, 1) (2.17) se moºe napisati u ne²to standardnijem obliku
A µ = −2iΣ µν
x ν
r 2 f(r2 ),
gdje je Σ µν = −Σ νµ = −i(s µ s † ν − δ µν )/2. Σ µν zapravo razapinju SO(4) algebru, ne²to vi²e o tome
sakupljeno je u dodatku C. Ovakav A µ sad moºemo uvrstiti u (2.2). Derivaciju polja je lako dobiti
f(r 2 )
∂ µ A ν = −2iΣ νρ ∂ µ (x ρ
r 2 ) = 1 r 2 [δ µν + 2x µν (f ′ − 1 r 2 f)],
gdje je f ′ = df/dr 2 . Komutator se dobije kad se iskoristi SO(4) algebra
Kad se sve skupi
Uz kori²tenje svojstava
[A µ , A ν ] = −4i f 2
r 2 [Σ µν + 1 r 2 (x µx ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )].
F µν = 4i
r 2 {f(1 − f)Σ µν − [f ′ f(1 − f)
−
r 2 ](x µ x ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )}.
dualno polje se moºe dobiti na sli£an na£in
ε µνρσ Σ ρσ = 2Σ µν ,
ε µνρσ Σ στ = −(δ µτ Σ νρ + δ ντ Σ ρµ + δ ρτ Σ µν ),
˜F µν = 4i
r 2 {f ′ r 2 Σ µν + [f ′ f(1 − f)
−
r 2 ](x µ x ρ Σ νρ − x ν x ρ Σ µρ )}.
Uvjet F µν = ˜F µν daje diferencijalnu jednadºbu
£ije je najop¢enitije rje²enje
f ′ −
f(r 2 ) =
f(1 − f)
r 2 = 0.
r2
r 2 + ρ 2 ,
5 Ovakve konguracije postoje samo u Euklidskom prostoru jer je ovdje ˜FE = F E dok u prostoru Minkowskog
vrijedi ˜FM = −F M : tu bi imali ˜F M = ±iF M .
6 Sli£na situacija je bila i u pro²lom poglavlju: nismo rje²avali jednadºbu gibanja ve¢ jednaºbu s Euklidskom
energijom nula, koja je bila prvog reda.
7 To zna£i da ¢e tuneliranje biti forme e −1/α . Ovako ne²to nikako ne moºemo dobiti teorijom smetnje: ona daje
samo razvoje koji su analiti£ki u α, ne²to tipa Taylorov red. Iako e −1/α u okolici nule ima sve derivacije, te su
derivacije jednake nuli: Taylorov red funkcije ne konvergira stvarnom izgledu funkcije.
18