Instantoni - phy

YM teorija je uz invarijantnost na baºdarnu grupu invarijantna i na konformnu grupu. Ona pak,
uz Poincaréovu grupu, uklju£uje dilatacije
i specijalne konformne transformacije
x µ → ρx µ
x µ → x µ − c µ x 2
1 − 2c · x + x 2 c 2 .
To je sve skupa 15 parametara konformne grupe. Baºdarna simetrija ne generira nove kolektivne
koordinate jer nije u pravom smislu rije£i simetrija. Ako su dva polja povezana baºdarnom transformacijom
bilo koje daje identi£an opis zikalne situacije. Tek globalno, preko Nötherinog teorema,
ona vodi na zakone sa£uvanja.
Da li sve one od danog instantonskog rje²enja mogu dati novo rje²enje? Pa, ispada da se efekt
specijalnih konformnih transformacija moºe poni²titi baºdarnim transformacijama i translacijama.
U ovo i nije tako te²ko povjerovat s obzirom da je specijalna konformna transformacija sloºena od
inverzije
x µ → x µ
x 2 ,
translacije
x µ → x µ − c µ ,
i jo² jedne inverzije. Naravno, A µ se transformira kao i x µ . Tako da sve u ²to treba povjerovati
je da se moºe prona¢i baºdarna transformacija koja glumi inverz ovih inverzija. Od ²est rotacija,
tri se mogu poni²titi baºdarnim transformacijama. Ovo je pak lako vidjeti. S obzirom da je
SO(4) = SU(2) × SU(2) onda se rotacija polja ne mora raditi s 4 × 4 matricama ve¢ s dvije
2 × 2. Ozna£imo jednu s g a drugu s h. Tada je uzastopno djelovanje rotacije i globalne baºdarne
transformacije u
A µ → gA µ h −1 → ugA µ (uh) −1 .
Pa za g = h vidimo da parametre transformacije u moºemo jednostavno odabrat tako da poni²te
djelovanje rotacije 12 . Tako da imamo 15−4−3 = 8 kolektivnih koordinata. Op¢enito instantonsko
rje²enje bi imalo jo² i neki proizvoljni a µ od translacija
(x − a) ν
A µ = −2iΣ µν
(x − a) 2 + ρ 2 . (2.28)
Infracrvena razmatranja Vjerojatnost tuneliranja u nultom redu je proporcionalna e −8π2 |Q|/g 2 .
Ba² direktno ra£unanje uktuacijske determinante nadilazi ovo izlaganje, pa idemo vidjeti koliko
daleko moºemo dogurati bez toga. Koncentrirati ¢emo se na ra£unanje gusto¢e energije vakuuma.
Negdje u pro²lom poglavlju, kad smo razmatrali nulte modove, dobili smo ovakvu formulu
dc 0 ∝ √ S I dt 0 ,
gdje je t 0 bio slobodan parametar, a c 0 kolektivna koordinata. Ista stvar se i ovdje de²ava. Fluktuacijska
determinanta ¢e sadrºavati 8 nultih modova pa ¢emo imati 8 integracija ovoga tipa.
Primjetimo da je "Jacobijan" te transformacije korijen akcije. U YM teoriji akcija ide kao 1/g 2 ,
pa ¢e svaki nulti mod donijeti faktor 1/g u ukutacijsku determinantu. Sve kolektivne koordinate
treba integrirati. Ako integriramo kolektivnu koordinatu vezanu uz translacije dobiti ¢emo faktor
V T, gdje je V volumen prostora. Integracija kolektivne koordinate vezane uz ostale tri rotacije
daje volumen mnogostrukosti-kako je grupa kompaktna (SU(2)) to je kona£an broj koji moºemo
uklju£iti u normu. No skala ρ, ili veli£ina instantona, je ρ ∈ [0, ∞〉. A to ne moºemo samo direktno
integrirati. Za²to? Pa, zbog renormalizacije: g nije konstanta ve¢ funkcija neke skale µ na kojoj
nas zanimaju zikalne pojave. A kako o£ekujemo da ¢e se instantonska zika odvijati na skali ρ
12 To da baºdarne transformacije djeluju na druga£ije stupnjeve slobode od rotacija ovdje ne igra nikakvu ulogu
jer su u kona£nici te matrice jedne te iste, a parametri samo realni brojevi.
24